Graphentheorie. Zusammenhang. Zusammenhang. Zusammenhang. Rainer Schrader. 13. November 2007

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1 Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 13. November / 84 2 / 84 Gliederung stest und Schnittkanten älder und Bäume minimal aufspannende Bäume Der Satz von Menger 2-zusammenhängende Graphen Kreise und Schnitte ir betrachten eine Variante des Durchmusterns, die den eines Graphen testet (0) setze E = E, F = (1) wähle e E und setze F = F {e}, E = E {e} (2) wähle e E, die mit mindestens einem Knoten in V (F ) inzidiert (3) setze F = F {e}, E = E {e} (4) wiederhole (2) (3), bis E keine solche Kante mehr enthält Satz 1 Der obige Algorithmus hält genau dann mit E = F und V = V (F ), wenn G zusammenhängend ist. 3 / 84 4 / 84

2 die erzeugten Teilgraphen (V (F ), F ) sind zusammenhängend daher ist G zusammenhängend, wenn der Algorithmus mit E = F und V = V (F ) hält, sei umgekehrt G zusammenhängend und V 2 nach Schritt (1) existiert ein Knoten u V (F ) da G zusammenhängend ist, existiert zu jedem beliebigen Knoten v V ein eg u = v 1, v 2,..., v k = v in G da v 1 V (F ), muss die Kante v 1 v 2 im Schritt (2) zu F hinzugefügt worden sein ebenso die Kanten (v 2, v 3 ),..., (v k 1, v k ), d.h. v V (F ) Dieser einfache Algorithmus folgt dem einfachen Prinzip der Dekomposition (1) wähle Basisgraph (Knoten, Kante, eg, Kreis) Ohren- (2) füge Ohren zu dem bisher konstruierten Graph hinzu (etwa Kanten, ege, die mit den bisher konstruierten Knoten inzidieren) in unserem Algorithmus sind sowohl der Basisgraph als auch die Ohren Kanten das Vorgehen ist im Allgemeinen nicht eindeutig wir werden für einige strukturelle Eigenschaften zeigen, dass sie eine charakteristische Ohrendekomposition haben somit V = V (F ), und wegen Schritt (2) gilt dann auch F = E. 5 / 84 6 / 84 Als Folgerung ergibt sich: Korollar 2 Jeder zusammenhängende Graph mit n Knoten hat mindestens n 1 Kanten. der Basisgraph besteht aus einer Kante und zwei Knoten in jedem Schritt (2) wird eine Kante und höchstens ein neuer Knoten hinzugefügt somit gilt stets F V (F ) 1. Gliederung stest und Schnittkanten älder und Bäume minimal aufspannende Bäume Der Satz von Menger 2-zusammenhängende Graphen Kreise und Schnitte 7 / 84 8 / 84

3 Eine Kante e heißt Schnittkante, falls G e mehr skomponenten hat als G (genauer: eine mehr) Satz 3 Für eine Kante e E sind folgende Aussagen äquivalent: (i) e ist Schnittkante, (ii) es existieren Knoten u, v V, so dass e auf jedem (u, v )-eg liegt, (iii) e liegt in keinem Kreis von G, (iv) in jeder Ohrendekomposition ist genau ein Endknoten von e in V (F ), wenn e zu F hinzugefügt wird. ir können o.b.d.a. annehmen, dass G zusammenhängend ist. (i) e ist Schnittkante (ii) für zwei Knoten u, v V liegt e auf jedem (u, v )-eg: seien u und v zwei Knoten aus verschiedenen skomponenten von G e dann existiert kein (u, v )-eg in G e und jeder (u, v )-eg in G muss e enthalten 9 / / 84 (ii) für zwei Knoten u, v V liegt e auf jedem (u, v )-eg (iii) e liegt in keinem Kreis von G: (iii) e liegt in keinem Kreis von G (iv) in jeder Ohrendekomposition ist genau ein Endknoten von e in V (F ), wenn e zu F hinzugefügt wird. sei ein (u, v )-eg, der e enthält angenommen e liegt auf einem Kreis C wir ersetzen in e durch C e dadurch erhalten wir einen (u, v )-Pfad P der Pfad P enthält einen (u, v )-eg, der e nicht enthält angenommen es existiert eine Ohren-Dekomposition von G, in der beide Endknoten konstruiert worden sind, bevor e zu F hinzugefügt wird dann existiert ein eg in G e, der die Endknoten von e verbindet {e} ist dann ein Kreis 11 / / 84

4 (iv) in jeder Ohrendekomposition ist genau ein Endknoten von e in V (F ), (i) wenn e zu F hinzugefügt wird e ist Schnittkante ist e keine Schnittkante, so ist G e zusammenhängend betrachte eine beliebige Ohren-Dekomposition von G e füge am Schluss e hinzu nach Satz 1 liefert dies eine Ohren-Dekomposition von G in ihr sind beide Endknoten von e bereits vor Hinzufügen von e konstruiert worden zur Erinnerung: für V ist der induzierte Schnitt die Kantenmenge E (, V ) = {(x, y ) : x, y / } ein Schnitt heißt minimal, wenn er nicht leer ist und per Inklusion minimal ist, d.h. er enthält keine keine echte, nichtleere Teilmenge, die selbst wieder ein Schnitt ist (ein minimaler Schnitt wird oft auch als Kozyklus bezeichnet) insbesondere ist jede Schnittkante {e} ein minimaler Schnitt 13 / / 84 Beispiel: 1 4 Lemma 4 Sei G zusammenhängend und E (, V ) ein nichtleerer Schnitt. E (, V ) ist minimal die Graphen G( ) und G(V ) sind zusammenhängend. 2 6 sei E (, V ) ein minimaler Schnitt 3 5 angenommen G( ) hat k 2 Komponenten G i = ( i, E i ), i = 1,..., k sei = {1, 2, 3} der von induzierte Schnitt ist nicht minimal, V denn {6} und {4, 5} induzieren Schnitte, die in dem von induzierten enthalten sind da G zusammenhängend ist, ist jedes G i mit G i durch mindestens eine Kante verbunden 15 / / 84

5 1 2 3 V Lemma 5 Jeder nichtleere Schnitt eines zusammenhängenden Graphen ist disjunkte Vereinigung von minimalen Schnitten. dann sind die Mengen E ( i, V i ) nichtleere Schnitte, die in E(, V ) echt enthalten sind seien umgekehrt G( ) und G(V ) zusammenhängend und sei E(, V ), dann kann die Entfernung einer echten Teilmenge von E(, V ) den Graphen G nicht unzusammenhängend machen damit ist E(, V ) minimaler Schnitt. sei E (, V ) ein nichtleerer Schnitt seien G i = ( i, E i ), i = 1,..., k die skomponenten von G( ) V offensichtlich sind die Schnitte E ( i, V i ) paarweise kantendisjunkt weiter ist E (, V ) = S k i=1 E ( i, V i ) 17 / / k Gliederung V V V 1 2 l es ist E (, V ) = S k i=1 E( i, V i ) ist V zusammenhängend, so auch V i V- für alle i nach Lemma 4 sind dann die E ( i, V i ) minimale Schnitte andernfalls seien V 1,..., V l die Komponenten von V stest und Schnittkanten älder und Bäume minimal aufspannende Bäume Der Satz von Menger 2-zusammenhängende Graphen Kreise und Schnitte betrachte die von V i induzierten Graphen per Induktion ist E (, V i ) disjunkte Vereinigung von minimalen Schnitten da E(, V ) = S l i=1 E(, V i ), folgt die Behauptung. 19 / / 84

6 wir betrachten jetzt Graphen, in denen jede Kante Schnittkante ist äquivalent dazu ist, dass der Graph keine Kreise enthält ein Graph ohne Kreise heißt ald ein zusammenhängender ald ist ein Baum ein Blatt in einem ald ist ein Knoten vom Grad eins Bäume haben immer mindestens zwei Blätter: Lemma 6 Die Endknoten längster ege in einem Baum haben Grad eins. sei ein eg maximaler Länge, u ein Endknoten von und v der Nachbar von u auf angenommen u hat einen weiteren Nachbarn w wenn w nicht auf liegt, so ist, w oder w, ein längerer eg als falls w auf liegt, so induzieren der eg von w nach u und die Kante (w, u) einen Kreis. Diese einfache Beobachtung führt uns zu den folgenden Charakterisierungen von Bäumen: 21 / / 84 Satz 7 Sei G = (V, E ). Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) G ist zusammenhängend und hat n 1 Kanten, (ii) G ist kreisfrei und hat n 1 Kanten, (iii) G ist zusammenhängend und kreisfrei, (i) G ist zusammenhängend und hat n 1 Kanten (ii) G ist kreisfrei und hat n 1 Kanten: (iv) G ist zusammenhängend und jede Kante von G ist Schnittkante, (v) je zwei Knoten sind durch genau einen eg verbunden, (vi) G ist kreisfrei und das Hinzufügen einer Kante mit Endknoten in G erzeugt genau einen Kreis, (vii) G ist bipartit, je zwei Knoten sind durch genau einen kürzesten eg verbunden, angenommen G hat einen Kreis C dann kann nach Satz 3 keine Kante e C Schnittkante sein d.h. für alle e C ist G e zusammenhängend, hat n Knoten und n 2 Kanten, im iderspruch zu Korollar 2. (viii) G besitzt die folgenden Ohrendekomposition: (a) der Basisgraph ist eine Kante e E, die nicht Schleife ist, (b) die Ohren sind Kanten e = (u, v ) E mit u V (F ), v V V (F ). 23 / / 84

7 Induktion über V (ii) G ist kreisfrei und hat n 1 Kanten (iii) G ist kreisfrei und zusammenhängend: die Aussage ist richtig für n = 2 sei G ein kreisfreier Graph mit n + 1 Knoten und n Kanten dann ist G ein ald und enthält nach Lemma 6 einen Knoten v vom Grad eins G v hat n Knoten, n 1 Kanten und ist kreisfrei nach Induktionsannahme ist G v zusammenhängend und damit auch G. (iii) G ist zusammenhängend und kreisfrei (iv) G ist zusammenhängend und jede Kante von G ist Schnittkante folgt aus Satz 3. (iv) G ist zusammenhängend und jede Kante von G ist Schnittkante (v) je zwei Knoten sind durch genau einen eg verbunden da G zusammenhängend ist, sind je zwei Knoten durch einen eg verbunden angenommen zwei Knoten sind durch zwei ege verbunden diese beiden ege enthalten dann einen Kreis 25 / / 84 (v) (vi) je zwei Knoten sind durch genau einen eg verbunden G ist kreisfrei und das Hinzufügen einer Kante mit Endknoten in G erzeugt genau einen Kreis: (vi) (viii) G ist kreisfrei, für (u, v ) / E enthält G + (u, v ) genau einen Kreis G besitzt eine Ohrendekomposition mit einer Kante e E als Basisgraph, Kanten e = (u, v ) E mit u V (F ), v V V (F ) als Ohren G ist kreisfrei, da sonst zwei Knoten durch 2 ege verbunden wären das Hinzufügen einer Kante e kann somit auch nur genau einen Kreis erzeugen: seien C 1 und C 2 zwei Kreise sei e C 1 C 2 dann existiert ein Kreis C `C 1 C 2 e damit enthält G einen Kreis für (u, v ) / E enthält G + (u, v ) genau einen Kreis d.h. G enthält einen (u, v )-eg und ist damit zusammenhängend der Algorithmus erzeugt einen zusammenhängenden Untergraphen G = (V (F ), F ) da G zusammenhängend ist, ist G aufspannend, d.h. es gilt V (F ) = V angenommen am Ende des Algorithmus existiert eine Kante (u, v ) E F da G = (V, F ) zusammenhängend ist, existiert in G damit existiert in G + (u, v ) G ein Kreis ein (u, v )-eg 27 / / 84

8 (viii) (i) G besitzt eine Ohrendekomposition mit einer Kante e E als Basisgraph, Kanten e = (u, v ) E mit u V (F ), v V V (F ) als Ohren G ist zusammenhängend und hat n 1 Kanten der Algorithmus erzeugt in jedem Schritt zusammenhängende Graphen (V (F ), F ) mit F = V (F ) 1 da am Ende V (F ) = V und F = E gilt, ist G zusammenhängend und hat n 1 Kanten (v) (vi) (vii) je zwei Knoten sind durch genau eine eg verbunden und G ist kreisfrei und das Hinzufügen einer Kante mit Endknoten in G erzeugt genau einen Kreis G ist bipartit, je zwei Knoten sind durch genau einen kürzesten eg verbunden da G kreisfrei ist, ist G bipartit (Lemma 1.7) da G genau einen (u, v )-eg enthält, existiert auch genau ein kürzester (u, v )-eg 29 / / 84 (vii) G ist bipartit, zwischen je zwei Knoten existiert genau ein kürzester eg (iii) G ist zusammenhängend und kreisfrei da die ege existieren, ist G zusammenhängend angenommen G enthält einen Kreis sei C ein Kreis kürzester Länge da G bipartit ist, hat C gerade Länge, C = [v 1,..., v 2k ] die (v 1, v k +1 )-ege 1 = v 1, v 2,..., v k +1 und 2 = v 1, v 2k,..., v k +1 haben beide die Länge k nach Voraussetzung existiert dann ein kürzerer (v 1, v k +1 )-eg v 1 = w 1, w 2,..., w j = v k +1 mit j k dann enthält aber v 1, v 2,..., v k +1, w j 1, w j 2,..., w 2 kürzer als C ist. einen Kreis, der Korollar 8 Ein Graph ist genau dann zusammenhängend, wenn er einen aufspannenden Baum enthält. sei T ein aufspannender Baum eines Graphen G da T zusammenhängend ist, ist auch der Obergraph G zusammenhängend sei umgekehrt G zusammenhängend dann enthält G einen minimal zusammenhängenden Teilgraphen T, bei dem jede Kante Schnittkante ist nach Satz 7 (iv) ist T ein Baum. 31 / / 84

9 Ein ald F G heißt maximal, wenn für jede Komponente G Teilgraph F G ein aufspannender Baum ist. Beispiel: von G der die aufspannenden Bäume in einem zusammenhängenden Graphen haben sehr viel Struktur sie erinnert an die Eigenschaften linear unabhängiger Vektoren Korollar 9 Die blauen Kanten bilden einen aufspannenden, nicht-maximalen ald. Seien G ein Graph mit k Komponenten und F G. F ist genau dann ein maximaler ald, wenn F k Komponenten und n k Kanten hat. jede Kante eines aufspannenden Baums kann durch eine geeignete Kante eines anderen aufspannenden Baumes ersetzt werden: Korollar 10 Seien T, T zwei aufspannende Bäume eines zusammenhängenden Graphen. Dann existiert zu jedem e E (T ) E(T ) ein e E (T ) E (T ), so dass T e e wieder ein aufspannender Baum ist. folgt aus Satz 7 und Korollar / / 84 nach Satz 7 ist e Schnittkante von T damit zerfällt der Graph (V, E (T ) e) in zwei skomponenten U und da T ein aufspannender Baum ist, existiert in T ein eg, der die Endknoten von e verbindet dieser eg enthält mindestens eine Kante e, die U mit verbindet per Konstruktion ist e E (T ) E (T ) und T e e ist wieder ein aufspannender Baum. Umgekehrt können wir auch beliebige fremde Kanten in einen Baum zwingen: Korollar 11 Seien T, T zwei aufspannende Bäume eines zusammenhängenden Graphen. Zu jedem e E (T ) E(T ) existiert dann ein e E (T ) E(T ), so dass T e e wieder ein aufspannender Baum ist. nach Satz 7 enthält T e genau einen Kreis die Kanten dieses Kreises können nicht alle in E (T ) liegen, da T kreisfrei ist dieser Kreis enthält somit mindestens eine Kante e E (T ) E (T ). wenn wir e entfernen, erhalten wir wieder einen kreisfreien und zusammenhängenden Graphen nach Satz 7 ist also T e e wieder ein aufspannender Baum. 35 / / 84

10 Gliederung stest und Schnittkanten älder und Bäume minimal aufspannende Bäume Der Satz von Menger 2-zusammenhängende Graphen Kreise und Schnitte die Struktureigenschaften aufspannender Bäume ermöglichen es, Bäume mit möglichst geringem Gewicht zu bestimmen sei dazu G = (V, E) ein zusammenhängender Graph auf den Kanten seien Gewichte c(e) gegeben wir suchen einen aufspannenden Baum T = (V, F ) von G, so dass c(t ) = X e F c(e) minimal ist unter allen aufspannenden Bäumen wir können dieses Problem mit einer der Variante der Ohren-Dekomposition lösen: 37 / / 84 Algorithmus von Prim (1) wähle v V beliebig und setzte U = {v }, T = (2) wähle eine minimal-gewichtete Kante e = (u, v ) E mit u U, v V U (3) setze U = U v und T = T e (4) wiederhole (2) (3) so lange, bis keine solche Kante mehr existiert Algorithmus von Kruskal (1) Setze F = (2) for i = 1 to V 1 do (3) wähle eine minimal-gewichtete Kante e E F, die keinen Kreis in F schließt. (4) setze F = F e, E = E e end do wir zeigen nicht die Korrektheit dieses Verfahrens und betrachten eine zweites Verfahren Satz 12 Der Algorithmus von Kruskal berechnet einen minimalen aufspannenden Baum. 39 / / 84

11 offensichtlich bildet der erzeugte Teilgraph T = (V, F ) einen aufspannenden Baum angenommen T hat nicht minimales Gewicht sei T ein minimal-aufspannender Baum mit E (T ) E(T ) maximal Kruskals Algorithmus lässt sich mit geeigneten Datenstrukturen so implementieren, dass er eine Laufzeit von O(m log m) = O(m log n) hat wir beenden damit den Abschnitt über Bäume und wenden uns wieder Fragen des s zu betrachte eine minimal-gewichtete Kante e E (T ) E(T ) nach Korollar 11 existiert eine Kante e E (T ) E (T ), so dass S = T e e ein aufspannender Baum ist da der Algorithmus die Kante e der Kante e vorgezogen hat, gilt c(e) c(e ) und somit c(s) c(t ) dann ist S ein minimal-aufspannender Baum, der mehr Kanten mit T gemeinsam hat als T. 41 / / 84 seien s, t V zwei beliebige Knoten in einem (gerichteten) Graphen Gliederung stest und Schnittkanten älder und Bäume minimal aufspannende Bäume Der Satz von Menger 2-zusammenhängende Graphen Kreise und Schnitte wieviele Kanten bzw. Knoten müssen mindestens entfernt werden, um alle ege von s nach t zu zerstören? für den Fall gerichteter Graphen und Kanten kennen wir die Antwort schon die Frage ist äquivalent zu einem Fluss-Problem mit Kantenkapazität / / 84

12 sei G = (V, A) ein gerichteter Graph und s, t V wir wollen eine maximale Anzahl kantendisjunkter (s, t)-ege konstruieren eine Teilmenge X A von Kanten trennt s und t, falls in G(V, A X ) kein gerichteter (s, t)-eg existiert Korollar 13 (Menger, Kanten, gerichtet) In einem zusammenhängenden, gerichteten Graphen ist die maximale Anzahl von kantendisjunkten (s, t)-egen gleich der kleinsten Anzahl von Kanten, die s und t trennen. ir stellen die gleiche Frage jetzt für Knotenmengen: zwei (s, t)-ege heißen knotendisjunkt, wenn sie keine anderen Knoten als s und t gemeinsam haben eine Teilmenge S V trennt s und t, falls G(V S) keinen gerichteten (s, t)-eg enthält Korollar 14 (Menger, Knoten, gerichtet) Sei G = (V, A) ein zusammenhängender, gerichteter Graph und s, t zwei nichtbenachbarte Knoten. Die maximale Anzahl von knotendisjunkten (s, t)-egen ist gleich der kleinsten Anzahl von Knoten, die s und t trennen. wir erzeugen einen zweiten gerichteten Graphen G dazu ersetzen wir jeden Knoten in u V {s, t} durch eine gerichtete Kante (u 1, u 2 ) wie folgt: 45 / / 84 Analoge Ergebnisse gelten in ungerichteten Graphen: u u u 1 2 knotendisjunkte (s, t)-ege in G entsprechen kantendisjunkten egen in G sei A(S, T ) ein minimaler Kantenschnitt in G angenommen beide Knotenkopien u 1 und u 2 liegen in S ist A(u 2, T ) 1, so können wir u 2 nach T verschieben, ohne den Schnitt zu erhöhen also ist A(u 2, T ) = 0 und u 2 trägt nicht zum Schnittwert bei Korollar 15 (Menger, Kanten, ungerichtet) In einem zusammenhängenden ungerichteten Graphen ist die maximale Anzahl von kantendisjunkten (s, t)-egen gleich der kleinsten Anzahl von Kanten, die s und t trennen. wir konstruieren einen gerichteten Graphen G = (V, A), indem wir jede Kante in E durch ein Paar antiparalleler Kanten in A ersetzen offensichtlich bilden kantendisjunkte ege in G ege in G, die keine gerichteten Kanten und keine antiparallelen Kanten gemeinsam haben damit bilden die Knoten u V für die u 1 S und u 2 T oder A(u 2, T ) = 0 einen Knotenschnitt in G, dessen Kardinalität mit dem minimalen Kantenschnitt in G übereinstimmt 47 / / 84

13 umgekehrt können wir gerichtete kantendisjunkte ege, die antiparallele Kanten gemeinsam haben wie folgt entkreuzen : weiter wird ein minimaler Kantenschnitt A(S, T ) in G durch die Menge von Kanten definiert, die von S nach T führen. damit enthält der Schnitt höchstens eine der beiden antiparallelen Kanten und definiert somit einen ungerichteten Schnitt in G gleicher Kardinalität. Entsprechend gilt der Satz von Menger für ungerichtete Graphen und Knoten: Korollar 16 (Menger, Knoten, ungerichtet) Sei G = (V, E ) ein zusammenhängender ungerichteter Graph und s, t zwei nichtbenachbarte Knoten. Die maximale Anzahl von knotendisjunkten (s, t)-egen ist gleich der kleinsten Anzahl von Knoten, die s und t trennen. wie vorher konstruieren wir den gerichteten Graphen G = (V, A), indem wir jede Kante in E durch ein Paar antiparalleler Kanten in A ersetzen dann entsprechen knotendisjunkte ege in G knotendisjunkten ege in G und trennende Knotenmengen in G trennenden Knotenmengen in G. 49 / / 84 Sei G = (V, E ) ein ungerichteter Graph Sei G = (V, E ) ein ungerichteter Graph für u, v V bezeichne sei G k -, aber nicht (k + 1)-zusammenhängend λ G (u, v ) die Anzahl der knotendisjunkten (u, v )-ege κ G (u, v ) die Größe einer kleinsten (u, v )-trennenden Knotenmenge G heißt k -zusammenhängend, wenn mindestens k Knoten entfernt werden müssen, um den Graph unzusammenhängend zu machen Zur Beachtung: für einen k -zusammenhängenden Graphen gilt: er ist auch (k 1)-zusammenhängend er kann auch (k + 1)-zusammenhängend sein dann ist κ G = k die szahl oder der von G damit gilt: die Entfernung von k 1 Knoten zerstört den nicht es gibt eine k -elementige Teilmenge S von Knoten, so dass G S unzusammenhängend ist weiter ist κ G = min{κ G (u, v ) : (u, v ) / E }. entsprechend ist λ G durch das größte k gegeben, so dass je zwei Knoten durch mindestens k knotendisjunkte ege verbunden sind 51 / / 84

14 Sei G = (V, E ) ein ungerichteter Graph G heißt k -kantenzusammenhängend, falls jeder Schnitt E(, V ), der den Graph unzusammenhängend macht, mindestens k Kanten enthält wieder gilt für einen k -kantenzusammenhängenden Graphen: er ist auch (k 1)-kantenzusammenhängend er kann auch (k + 1)-kantenzusammenhängend sein der Kanten- ist das größte k, so dass G k -kantenzusammenhängend ist Als Zusammenfassung der bisherigen Resultate folgt dann der eigentliche: Korollar 17 (Satz von Menger) Sei G ein gerichteter oder ungerichteter Graph. Dann gilt: (i) der von G ist das größte k, so dass zu je zwei Knoten u, v mindestens k knotendisjunkte (u, v )-ege existieren (ii) der Kantenzusammenhang ist das größte k, so dass zu je zwei Knoten u, v mindestens k kantendisjunkte (u, v )-ege existieren. die zugehörigen Größen werden mit λ bzw. κ bezeichnet für gerichtete Graphen ist der die kleinste Anzahl von Kanten bzw. Knoten, deren Entfernung den Graphen nicht stark zusammenhängend macht 53 / / 84 (ii) folgt unmittelbar aus den Korollaren 13 und 15 (i) für (u, v ) / E bzw. (u, v ) / A gilt nach den Korollaren 14 und 16, dass λ G (u, v ) = κ G (u, v ). ist (u, v ) E bzw. (u, v ) A, so betrachte G = G (u, v ) in G folgt aus den Korollaren 14 und 16: λ G (u, v ) = λ G (u, v ) + 1 = κ G (u, v ) + 1 κ G + 1 κ G, Gliederung stest und Schnittkanten älder und Bäume minimal aufspannende Bäume Der Satz von Menger 2-zusammenhängende Graphen Kreise und Schnitte die letzte Ungleichung folgt, da die szahl nicht um mehr als eins fallen kann, wenn eine Kante entfernt wird. 55 / / 84

15 wir wollen zeigen, dass jeder 2-zusammenhängende Graph eine spezielle Ohrendekomposition hat zur Vorbereitung betrachten wir zwei Operationen, die den 2- erhalten Lemma 18 Sei G ein k -zusammenhängender Graph und G der Graph, der dadurch entsteht, dass wir einen neuen Knoten x hinzufügen, den wir mit mindestens k Knoten von G verbinden. Dann ist G ebenfalls k -zusammenhängend. S S G G G x x x sei S eine trennende Menge in G liegt x S, so ist S x trennende Menge in G und somit S k + 1 ist x / S, aber N(x) S, so folgt S k andernfalls ist S auch trennende Menge in G und daher S k. 57 / / 84 wir wissen bereits, dass in einem 2-zusammenhängenden Graphen je zwei Knoten auf einem Kreis liegen als Folgerung ergibt sich, dass diese Aussage auch für je zwei Kanten gilt: sei umgekehrt G 2-zusammenhängend betrachte zwei Kanten (u, v ), (x, y ) E füge zwei neue Knoten a, b hinzu mit N(a) = {u, v }, N(b) = {x, y } v y Korollar 19 a b Ein Graph ist genau dann 2-zusammenhängend, wenn d (v ) 2 für alle Knoten v V und je zwei Kanten auf einem gemeinsamen Kreis liegen. u x der neue Graph G ist nach Lemma 18 wieder 2-zusammenhängend betrachte zwei Knoten u, v V daher liegen die Knoten a, b auf einem gemeinsamen Kreis in G da beide Knoten Grad mindestens 2 haben, existieren Kanten (u, x), (v, y ) E da a und b genau zwei Nachbarn haben, enthält dieser Kreis die Knoten {u, v, x, y }, aber nicht die Kanten (u, v ), (x, y ) nach Voraussetzung liegen beide Kanten auf einem gemeinsamen Kreis und damit auch die beiden Knoten u und v 59 / 84 wenn wir die Pfade u, a, v und x, b, y durch die Kanten (u, v ), (x, y ) ersetzen, erhalten wir den gesuchten Kreis in G. 60 / 84

16 Als zweite Operation betrachten wir eine Unterteilung einer Kante (u, v ), bei der wir die Kante durch einen Pfad (u, w, v ) der Länge 2 ersetzen. Lemma 20 Sei G eine 2-zusammenhängender Graph und G der Graph, der durch Unterteilung einer Kante entsteht. Dann ist auch G 2-zusammenhängend. Man macht sich leicht klar, dass in G wieder je zwei Kanten auf einem gemeinsamen Kreis liegen. Satz 21 Ein Graph G ist genau dann 2-zusammenhängend, wenn er folgende Ohrenkomposition besitzt: starte mit einem Kreis auf dem bereits konstruierten Graphen wähle iterativ zwei Knoten u v und füge einen (u, v )-eg hinzu Damit können wir eine Ohren(de)komposition für 2-zusammenhängende Graphen formulieren: C 61 / / sei umgekehrt G 2-zusammenhängend wähle einen beliebigen Kreis C G als Startkreis C angenommen wir haben bereits einen Teilgraph G i G durch Hinzufügen von Ohren aufgebaut falls E (G i ) E (G), so wähle eine Kante (u, v ) E (G) E (G i ) und eine Kante (x, y ) E (G i ) sei G ein Graph mit Ohrendekomposition C, 1,..., k wir zeigen induktiv, dass die dabei entstehenden Graphen 2-zusammenhängend sind: dies gilt sicherlich für den Startkreis C wenn wir zu einem 2-zusammenhängenden Graphen eine Kante hinzufügen, so bleibt er offensichtlich 2-zusammenhängend nach Lemma 20 gilt dies auch, wenn wir die Kante unterteilen, d.h. einen eg hinzufügen. nach Lemma 19 liegen beide auf einem gemeinsamen Kreis von G sei der eg, der in diesem Kreis enthalten ist und die Kante (u, v ) sowie genau zwei Knoten von G i enthält dieser eg ist das gesuchte nächste Ohr. 63 / / 84

17 ein ähnliches Resultat gilt für den 2-Kantenzusammenhang hierzu müssen wir zusätzlich fordern, dass der neue eg mit nur einem Knoten im alten Graph inzidiert im Kapitel über planare Graphen werden wir eine Dekomposition von 3-zusammenhängenden Graphen betrachten ebenfalls dort spielen Kreise und Schnitte eine wichtige Rolle wir werden daher als nächstes die Beziehung zwischen ihnen untersuchen Gliederung stest und Schnittkanten älder und Bäume älder und Bäume Der Satz von Menger 2-zusammenhängende Graphen Kreise und Schnitte 65 / / 84 Lemma 22 Sei C ein Kreis und B ein inklusionsminimaler Schnitt eines Graphen G. Dann ist E (C) B gerade. o.b.d.a. sei G zusammenhängend sei B = E (, V ) ein inklusionsminimaler Schnitt nach Lemma 4 zerfällt G B in zwei Komponenten G( ) und G(V ) sei C = (v 1, v 2,..., v k ) ein Kreis mit E(C) B sei o.b.d.a. v 1, v k V und (v k v 1 ) E (C) B dieses Ergebnis lässt sich auch so formulieren: die Inzidenzvektoren von Kreisen und Schnitten stehen im Vektorraum über F 2 senkrecht aufeinander wir kommen auf ein ähnliches Resultat zurück Satz 23 Sei G = (V, E ) ein zusammenhängender Graph und e E. Färbe die Kanten in E e beliebig mit den Farben rot und gelb. Dann gilt genau eine der folgenden Aussagen: (i) G enthält einen Kreis aus roten Kanten und e (ii) G enthält einen inklusionsminimalen Schnitt aus gelben Kanten und e dann ist P = v 1,..., v k ein (v 1, v k )-Pfad, der mit V verbindet E (P) B muss dann ungerade sein und somit E (C) B gerade. 67 / / 84

18 angenommen (i) und (ii) gelten dann enthält G einen Kreis C und einen inklusionsminimalen Schnitt B mit C B = {e} zu Lemma 22 sei e = (u, v ) und (ii) gelte nicht dann sind u und v in G {E g e} verbunden, wobei E g die Menge der gelben Kanten ist damit existiert ein roter (u, v )-eg, der zusammen mit e den Kreis bildet. Auf den engen zwischen Kreisen und Schnitten werden wir im Kapitel über planare Graphen zurückkommen. ir übertragen die Ergebnisse über Kreise und Schnitte auf gerichtete Graphen: wir betrachten zuerst den zugrunde liegenden ungerichteten Graphen sei G = (V, A) ein gerichteter Graph und G der zugrunde liegende ungerichtete Graph ein Kreis von G ist ein Kreis in G ein (minimaler) Schnitt ist ein (minimaler) Schnitt in G Schnitte A(, V ) in G zerfallen in G A + (, V ) und A (, V ) in zwei Teilmengen analog zu Lemma 5 gilt, dass jeder Schnitt eines gerichteten Graphen Vereinigung von kantendisjunkten inklusionsminimalen Schnitten ist 69 / / 84 Lemma 24 (Lemma von Minty) Sei G = (V, A) ein gerichteter Graph und e A färbe die Kante e schwarz (i) und (ii) können nicht gleichzeitig gelten: sei C ein solcher rot/schwarzer Kreis färbe alle anderen Kanten beliebig in den Farben rot, grün und schwarz. Dann gilt genau eine der folgenden Aussagen: (i) es existiert ein Kreis aus roten und schwarzen Kanten, der e enthält und in dem alle schwarze Kanten die gleiche Richtung haben, V \ e (ii) es existiert ein minimaler Schnitt aus grünen und schwarzen Kanten, der e enthält und in dem alle schwarzen Kanten die gleiche Richtung haben. sei A(, V ) ein grün/schwarzer Schnitt mit e A (, V ) A(, V ) muss entweder eine rote Kreiskante enthalten oder eine schwarze Kreiskante in A + (, V ) sei e = (u, v ) wir markieren die Knoten in folgender eise: 71 / / 84

19 markiere Knoten v ist Knoten x markiert und y nicht, so markiere y, falls a) u ist markiert: eine schwarze Kante (x, y ) existiert, oder eine rote Kante (x, y ) oder (y, x ) existiert. per Induktion zeigt man: im zugrunde liegenden ungerichteten Graphen gibt es zu jedem markierten Knoten z einen (v, z)-eg v = z 0, z 1,..., z k = z mit (z i 1, z i ) E, schwarz = (z i 1, z i ) A (z i 1, z) E, rot = (z i 1, z i ) A oder (z i, z i 1 ) A v r s s r V \ e der (v, u)-eg zusammen mit e bildet einen rot/schwarzen Kreis, in dem alle schwarzen Kanten gleichgerichtet sind d.h. es gilt (i) nach Beendigung des Verfahrens unterscheiden wir 2 Fälle: 73 / / 84 b) u ist nicht markiert: sei V die Menge der markierten Knoten per Konstruktion enthält A(, V ) die Kante e und nur schwarze Kanten, die nach hineingehen, oder grüne Kanten sei G = (V, A) ein gerichteter Graph ein Kreis in G heißt gerichteter Kreis, wenn alle Kanten gleichgerichtet sind ein Schnitt heißt gerichteter Schnitt, wenn alle Kanten gleichgerichtet sind, d.h. A + (, V ) = oder A (, V ) = (in der Literatur werden gerichtete Kreise auch als circuit und gerichtete Schnitte als cocircuit bezeichnet) e dann existiert auch ein minimaler Schnitt mit diesen Eigenschaften d.h. es gilt (ii). Korollar 25 In einem gerichteten Graphen liegt jede Kante entweder in einem gerichteten Kreis oder einem gerichteten Schnitt, aber nicht in beiden. folgt aus Lemma 24, indem alle Kanten schwarz gefärbt werden. 75 / / 84

20 Lemma 26 Sei G = (V, A) ein gerichteter Graph und s V. Dann gibt es (s, v )-ege für alle v V genau dann, wenn A + (S, V S) für alle S V mit s S. sei S die Menge der Knoten, die von s aus auf einem gerichteten eg erreicht werden können dann ist S V A + (S, V S) =. Korollar 27 Für einen gerichteten Graphen G = (V, A) sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) G ist stark zusammenhängend, (ii) G enthält keinen gerichteten Schnitt A (, V ), (iii) G ist zusammenhängend und jede Kante liegt in einem gerichteten Kreis. (i) (ii) folgt aus Lemma 26 (ii) (iii) ergibt sich Korollar / / 84 (i) G ist stark zusammenhängend, (ii) G enthält keinen gerichteten Schnitt A (, V ), (iii) G ist zusammenhängend und jede Kante liegt in einem gerichteten Kreis. (iii) (i): sei s V ein beliebiger Knoten angenommen zu einem v V existiert kein (s, v )-eg nach Lemma 26 existiert ein gerichteter Schnitt S mit s S und A + (S, V S) = da G einfach zusammenhängend ist, folgt A(S, V S) eine Kante e A (S, V S) kann aber auf keinem gerichteten Kreis liegen, da keine Kante diesen Schnitt wieder verlässt. im nächsten Kapitel werden wir Graphen untersuchen, die so in der Ebene dargestellt werden können, dass sich keine zwei Kanten schneiden im Vorgriff auf dieses Kapitel ordnen wir Kreisen und Schnitten Größen der linearen Algebra zu sei G = (V, A) ein gerichteter Graph mit A = {a 1,..., a m } jeder Kreis C A von G zerfällt in zwei Teilmengen C + und C (wobei wir vorher eine beliebige Orientierung gewählt haben) wir können dann C einen Vektor ζ(c) R m 8 < 0, falls i / C + C ζ i (C) = 1, falls i C + : 1, falls i C wie folgt zuordnen: 79 / / 84

21 analog für Schnitte und minimale Schnitte E (, V ): 8 < 0, falls i / A(, V ) ζ i ( ) = 1, falls i A + (, V ) : 1, falls i A (, V ) beide Vektoren sind sicherlich bis auf das Vorzeichen eindeutig definiert in jedem Fall sind aber die Vekorräume, die von den Kreis- bzw. Schnittvektoren erzeugt werden, eindeutig definiert Lemma 28 Sei G = (V, A) ein gerichteter Graph. Dann stehen die ζ-vektoren über F 2 von Kreisen und Schnitten senkrecht aufeinander. das Skalarprodukt ändert sich nicht, wenn wir eine Kante umorientieren wir können somit annehmen, dass der von einer Menge induzierte Schnitt ein gerichteter Schnitt ist jeder Kreis, der berührt, muss aus genau so oft herausführen, wie er hineinführt. 81 / / 84 sei K eine Menge von Kreisen K heißt Kreisbasis, falls gilt: ihre ζ-vektoren sind linear unabängig sie spannen den von allen ζ-vektoren erzeugten Raum auf entsprechend sei S eine Menge von minimalen Schnitten S heißt Schnittbasis, falls gilt: ihre ζ-vektoren sind linear unabängig sie spannen den von allen Schnitten erzeugten Raum auf Satz 29 Sei G = (V, A) ein gerichteter Graph und T ein maximaler ald im zugrunde liegenden ungerichteten Graphen. Dann bilden die A A(T ) Kreise, die durch Hinzufügen der fehlenden Kanten entstehen, eine Kreisbasis und die A(T ) Schnittkanten eine Schnittbasis. die Kreise sind linear unabhängig, da sie sich mindestens um eine Kante unterscheiden das gleiche gilt für die Schnitte da die insgesamt A ζ-vektoren nach Lemma 28 orthogonal sind, sind sie maximal linear unabhängig und bilden damit eine Basis. 83 / / 84