Kap. IV: Färbungen von Graphen

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1 Chr.Nelius: Graphentheorie (WS 2016/17) 46 Kap. IV: Färbungen von Graphen 12. Eckenfärbungen Bereits im 6 ten Paragraphen haben wir Eckenfärbungen benutzt, um bipartite Graphen charakterisieren zu können. Wesentlich war dabei, dass adjazente Ecken immer unterschiedlich gefärbt werden konnten. (12.1) BEISPIEL: Eine Eckenfärbung von G mit 3 Farben, bei der adjazente Ecken unterschiedlich gefärbt sind: G : (12.2) DEF: Sei G ein Graph. a) Bei einer Eckenfärbung von G wird jeder Ecke von G genau eine Farbe zugeordnet (oder anschaulicher: jede Ecke wird mit genau einer Farbe gefärbt). b) Eine Eckenfärbung von G heißt zulässig, wenn adjazente Ecken immer mit unterschiedlichen Farben gefärbt sind. c) Sei k 1 eine natürliche Zahl. G heißt k eckenfärbbar, wenn es eine zulässige Eckenfärbung von G mit höchstens k verschiedenen Farben gibt. Man sagt dann auch, dass G eine k Eckenfärbung besitzt. d) Die kleinste Zahl l, für die es eine l Eckenfärbung von G gibt, heißt die chromatische Zahl von G, in Zeichen l =: χ(g) (χ (lies: chi), griechischer Buchstabe ch ). Man nennt G dann auch l chromatisch. (12.3) BEM: a) Der Graph G aus (12.1) lässt sich mit 6,5,4,3 Farben zulässig färben, nicht aber mit 2 Farben. Folglich gilt χ(g) = 3 und G ist 3 chromatisch. b) Ein Graph G mit einer Schlinge in einer Ecke v besitzt keine zulässige Eckenfärbung, da v zu sich selbst adjazent ist, aber nicht mit unterschiedlichen Farben gefärbt werden darf. c) Ein Graph besitzt genau dann eine zulässige Eckenfärbung (und damit eine chromatische Zahl), wenn er schlingenlos ist. d) Für jeden schlingenlosen Graphen G mit n Ecken gilt 1 χ(g) n. e) Da für die Adjazenzbeziehung zwischen zwei Ecken Mehrfachkanten keine Rolle spielen, genügt es, für die Untersuchung von zulässigen Eckenfärbungen schlichte Graphen zu betrachten. Ein schlingenloser Graph G ist genau dann k eckenfärbbar, wenn sein aufspannender schlichter Untergraph S(G) k eckenfärbbar ist.

2 Chr. Nelius: Graphentheorie (WS 2016/17) 47 (12.4) SATZ: G sei ein Graph mit n Ecken. Dann gilt: a) χ(g) = 1 G ist der Nullgraph. b) χ(g) = 2 G ist bipartit und nicht der Nullgraph. (12.5) FOLG: a) Der vollständig bipartite Graph K m,n ist 2 chromatisch. b) Jeder Baum Graph mit mindestens 2 Ecken ist 2 chromatisch. (12.6) SATZ: Für jedes n Æ gilt χ(k n ) = n, d.h. K n ist n chromatisch. (12.7) SATZ: a) Ist U ein Untergraph eines schlingenlosen Graphen G, so gilt χ(u) χ(g). b) Ist G ein schlingenloser Graph mit den r Zusammenhangskomponenten Z 1,Z 2,...,Z r, so gilt: χ(g) = max(χ(z 1 ),χ(z 2 ),...,χ(z r )). (12.8) BEM: Um zu beweisen, dass χ(g) = l für einen schlingenlosen Graphen G gilt, kann man häufig folgendermaßen vorgehen: 1) Man sucht eine l Eckenfärbung von G (das bedeutet dann χ(g) l) 2) Man sucht einen Untergraphen U mit χ(u) = l (das bedeutet dann l χ(g)). Insgesamt ergibt sich dann χ(g) = l. (12.9) SATZ: Ist G ein schlichter Graph mit Maximalgrad d := (G), so ist G (d+1) eckenfärbbar. Der Beweis wird durch vollständige Induktion (1. Variante) nach der Anzahl der Ecken geführt. Dieser Satz besagt, dass χ(g) d+1 gilt, es muss aber nicht die Gleichheit gelten. Eine Verschärfung dieses Ergebnisses ist der folgende Satz, den wir hier nicht beweisen werden: (12.10) SATZ: (Brooks, 1941) Ist G ein schlichter zusammenhängender Graph, der nicht vollständig ist und dessen Maximalgrad d := (G) 3 ist, so ist G d eckenfärbbar. Auch hier gilt nur χ(g) d, die Gleichheit muss wieder nicht gelten

3 Chr. Nelius: Graphentheorie (WS 2016/17) 48 BEM: Es gibt Gegenbeispiele dafür, dass man auf keine der Voraussetzungen des Satzes von Brooks verzichten kann. (12.11) SATZ: Der Sechsfarben Satz Jeder schlichte planare Graph ist 6-eckenfärbbar. Bew: Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion (1.Variante) nach der Anzahl n der Ecken und basiert auf ähnlichen Überlegungen wie der Beweis von (12.9). (IA) Die Aussage ist für n = 1 richtig. Klar (IV)Sein Æbeliebigaberfest, undjederschlichte planaregraphmitnecken ist6 eckenfärbbar. (IB) Jeder beliebige schlichte planare Graph G mit n + 1 Ecken ist 6 eckenfärbbar. Nach (11.10a)enthält G eine Ecke v vom Grade 5. Dann ist H := G v ein schlichter planarer Graph mit n Ecken, der daher nach (IV) 6 eckenfärbbar ist. Es gibt also eine 6 Eckenfärbung von H = G v. Die Ecke v hat höchstens 5 Nachbarecken. Dafür werden bei der vorhandenen 6 Eckenfärbung von H höchstens 5 Farben benötigt. Mindestens eine der 6 Farben wird daher nicht benutzt. Mit dieser Farbe wird die Ecke v gefärbt, so dass wir insgesamt eine 6 Eckenfärbung von G erhalten (für die nicht zu v adjazenten Ecken liegt eine 6 Eckenfärbung nach (IV) vor und die Ecke v wird unterschiedlich zu allen Nachbarecken von v gefärbt). Im folgenden wird die Situation beim Induktionsschritt durch ein Beispiel illustriert: v 5 v 1 v 2 v v 5 v 1 v 2 v v 4 v 3 v 4 v 3 6 Eckenfärbung von G v 6 Eckenfärbung von G Links ist ein Ausschnitt des Graphen G v mit einer 6 Eckenfärbung zu sehen. Es gilt deg G (v) = 5. Für die Färbung der 5 Nachbarecken v 1,...,v 5 von v werden höchsten 5 Farben benötigt (hier sind es sogar nur 3 Farben). Von den 6 Farben der 6 Eckenfärbung von G v wird also mindestens eine Farbe für die Färbung der Nachbarecken nicht benutzt, hier etwa rot. Mit dieser Farbe wird v gefärbt. Man erhält damit eine 6 Eckenfärbung des gesamten Graphen G, da auch v unterschiedlich zu allen Nachbarecken gefärbt ist.

4 Chr. Nelius: Graphentheorie (WS 2016/17) 49 (12.12) BEM: a) Für nichtplanare schlichte Graphen muss die Aussage des Sechsfarben Satzes nicht mehr richtig sein: Der vollständige Graph K 7 hat die chromatische Zahl 7, ist also nicht 6 eckenfärbbar. b) Für den Induktionsschritt ist entscheidend, dass es in dem Graphen eine Ecke vom Grade 5 gibt, was sich nach (11.11a) aus der Planarität ergibt und was für K 7 falsch ist, da δ(k 7 ) = 6 gilt. (12.13) SATZ: Der Fünffarben Satz (Heawood, 1890) Jeder schlichte planare Graph ist 5-eckenfärbbar. Der Beweis beruht auf einer Verfeinerung der Beweismethoden für den Sechsfarben Satz. BEM: Für nichtplanare schlichte Graphen muss die Aussage des Fünffarben Satzesnichtmehrrichtigsein: DervollständigeGraphK 6 hatdiechromatische Zahl 6, ist also nicht 5 eckenfärbbar. Und nun kommt der krönende Abschluss: (12.14) SATZ: Der Vierfarben Satz Jeder schlichte planare Graph ist 4-eckenfärbbar. Dieses Ergebnis wurde schon seit der Mitte des 19. Jahrhunderts vermutet. Es konnte jedoch erst im Jahre 1976 von Kenneth Appel und Wolfgang Haken bewiesen werden. Leider reicht unsere Zeit nicht für einen Beweis des Vierfarben Satzes (die Originalarbeit umfasst mehr als 100 Seiten). BEM: Für nichtplanare schlichte Graphen muss die Aussage des Vierfarben Satzesnichtmehrrichtigsein: DervollständigeGraphK 5 hatdiechromatische Zahl 5, ist also nicht 4 eckenfärbbar. Wir können hier nur den folgenden Spezialfall des Vierfarben Satzes beweisen.

5 Chr. Nelius: Graphentheorie (WS 2016/17) 50 (12.15) SATZ: Jeder schlichte planare Graph ohne Dreiecke ist 4 eckenfärbbar. Bew: Wir führen vollständige Induktion (1.Var.) nach der Anzahl n der Ecken des Graphen. (IA) Die Aussage ist für n = 1 richtig. Klar (IV)Sei n Æbeliebig aberfest, undjeder schlichte planaregraphmitnecken, derkeine Dreiecke enthält, sei 4 eckenfärbbar. (IB) Jeder beliebige schlichte planare Graph G mit n + 1 Ecken, der keine Dreiecke enthält, ist 4 eckenfärbbar. Nach (11.10b) enthält G eine Ecke v vom Grade 3. Dann ist H := G v ein schlichter planarer Graph mit n Ecken, der keine Dreiecke enthält und der daher nach (IV) 4 eckenfärbbar ist. Es gibt also eine 4 Eckenfärbung von H = G v, bei der die höchstens 3 Nachbarecken von v durch höchstens 3 unterschiedliche Farben gefärbt sind. Wähle nun für v eine Farbe, die von den Farben, die für die Nachbarecken von v benötigt werden, verschieden ist. Damit erhalten wir dann eine 4 Eckenfärbung von G. Mit verfeinerten Beweismethoden lässt sich sogar das folgende Ergebnis beweisen: (12.16) SATZ: Grötzsch (1959) Jeder schlichte planare Graph ohne Dreiecke ist 3 eckenfärbbar.