Probeklausuraufgaben GuDS

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1 TU Ilmenau WS 2014/15 Institut für Mathematik Probeklausuraufgaben GuDS Achtung: Die Auswahl der Aufgaben ist nicht repräsentativ für die tatsächlichen Klausuraufgaben, sondern sollte lediglich als Übungsmöglichkeit zu einzelnen Teilbereichen angesehen werden. Die für die Klausur genauso relevanten, aber hier nicht abgedeckten Bereiche werden in jedem Kapitel angegeben (für Aufgaben zu diesen Bereichen verweisen wir auf die Übungs- und Hausaufgabenserie). Aussagenlogik Nicht abgedeckt: Syntax/Semantik, DNF, KNF, Signaturen und funktionale Vollständigkeit. Stellen Sie die Wahrheitstafel für die aussagenlogische Formel ((p q) p) q auf und untersuchen Sie, ob es sich um eine Tautologie handelt. (a) Untersuchen Sie, ob die folgenden aussagenlogischen Ausdrücke äquivalent sind. Begründen Sie ihre Entscheidung. ϕ 1 = (p r) ( r q) ϕ 2 = (p q) r) (b) Negieren Sie die folgenden Aussagen: x N : y N : y < x,,in jeder Matrikel gibt es einen Studierenden, der die Negation von Aussagen nicht beherrscht. (Hinweis: Eine Aussage der Form,,Nicht in jeder Matrikel... wird dabei nicht als korrekte Lösung gewertet.) (a) Für welche Variablenbelegungen ist der folgende logische Ausdruck wahr? (p q) ( q p) (q p) (b) Betrachtet seien die folgenden Aussagen: A: Alle Autos auf dem Parkplatz sind rot. B: Wenn ein Auto auf dem Parkplatz steht, dann ist es rot. C: Der Parkplatz ist leer. 1

2 Negieren sie die Aussage A (ohne Verwendung von,,nicht alle..,. ) Welche der folgenden Aussagen sind wahr? A B, A C, C A, A C Beweistechniken und Mengenlehre Nicht abgedeckt: Beweistechniken (insbesondere Induktion), Arithmetik auf N, Funktionen und Abzählbarkeit. Es sei ε > 0 eine reelle Zahl. Auf der Menge R der reellen Zahlen werden zwei binäre Relationen R 1, R 2 betrachtet. R 1 = {(x, y) R 2 y x > ε} und R 2 = {(x, y) R 2 (x = y) (y x > ε)}. (a) Man untersuche die Relationen R 1, R 2 hinsichtlich der Eigenschaften Reflexivität, Transitivität, Symmetrie und Antisymmentrie. (b) Ist eine der beiden Relationen eine Halbordnung? Wenn ja, welche? Für eine natürliche Zahl n bezeichne t(n) = {p N p ist Primzahl und p n} die Menge der Primteiler von n Weiterhin sei R N 2 die folgende Relation auf N R = {(m, n) t(m) t(n)} Welche der folgenden Aussagen sind wahr? R ist reflexiv und transitiv (so etwas nennt man auch Quasiordnung). R ist eine Totalordnung. R ist eine Äquivalenzrelation. Begründen Sie jeweils ihre Entscheidung. Es sei R A eine Äquivalenzrelation auf der Menge A und R B eine Äquivalenzrelation auf der Menge B. Auf der Menge A B wird die Relation R erklärt durch: (x 1, y 1 )R(x 2, y 2 ) x 1 R A x 2 y 1 R B y 2 Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation auf A B ist. 2

3 Kombinatorik Für die schon genügend behandelten Aufgaben zur Kombinatorik verweisen wir auf die Übungen und Hausaufgaben. Wahrscheinlichkeitsrechnung Nicht abgedeckt: Produkträume, Markow-Ungleichung, Linearität des Erwartungswertes und Coupon-Collector Problem. Aufgrund einer wichtigen Klausur kommt Anna später zu einer Faschingsparty. Sechs ihrer Bekannten, darunter auch ihr Freund befinden sich bereits auf der Party. Drei davon haben sich als maskierte Superhelden verkleidet, zwei sind als Jediritter verkleidet und einer als Doppler-Effekt. Nur die Personen im Superheldenkostüm würde Anna nicht sofort erkennen. Ihren Freund erkennt sie aber in jedem Kostüm. (a) Eine der sechs Personen spricht sie an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erkennt sie sie? (b) Anna erkennt die Person. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie als Jediritter verkleidet? Ein Studierender muss in die mündliche GUDS Prüfung. Dort bekommt er Fragen zu zwei der sechs Teilgebiete gestellt, wobei die Gebiete zufällig gewählt werden. Die Fragen zu wenigstens einem der beiden Gebiete muss er beantworten können, um zu bestehen. Der Studierende bereitet sich nicht auf Wahrscheinlichkeitsrechnung vor. Bei den anderen Gebieten kann er die Fragen zu 50% beantworten. (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht der Studierende? (b) Der Studierende hat bestanden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kam dann eine Frage zur Wahrscheinlichkeitsrechnung dran? Bei einer Klausur werden 6 Aufgaben geschrieben. Ein Studierender kann jede der Aufgaben mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% lösen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 3 Aufgaben lösen kann. Aufgabe 4 In einer WG wohnen 3 Studierende, 2 Informatiker und 1 AMW ler. Alle kandidieren 3

4 für den jeweiligen Fakultätsrat. In beiden Fakultätsräte werden jeweils 2 Studierende gewählt und es gibt jeweils 10 Kandidaten. Es sei angenommen, dass jeder Kandidat die gleichen Erfolgsaussichten hat. Es bezeichne X die Anzahl der WG-Bewohner, die gewählt werden. Bestimmen Sie die Einzelwahrscheinlichkeiten P (X = k) sowie den Erwartungswert und die Varianz von X. Algebraische Strukturen Nicht abgedeckt: Halbgruppen, Monoide, Symmetrische Gruppen, Erzeugende Elemente, Diedergruppen, Nebenklassen, Satz von Lagrange, Ringe und Körper. Gegeben sei die Menge G = {2, 4, 6, 8}. Auf G wird eine Operation definiert durch a b := (a b) mod 10, d.h. a b ist der eindeutig bestimmte Rest von a b bei Division durch 10. Zeigen Sie, dass (G, ) eine Gruppe ist. Ist die Gruppe kommutativ? Gegeben sei die Menge G = {( a b 0 c ) } R (2,2) a 0, c 0, wobei R (2,2) die Menge der 2 2-Matrizen über R ist. Zeigen Sie, dass G eine Gruppe bezüglich der Matrizenmultiplikation ist. Rechengesetze der Matrizenmultiplikation dürfen vorausgesetzt werden. Die Operation : Q 2 Q sei definiert durch x y = x + y xy. Beweisen Sie, dass (Q \ {1}, ) eine Gruppe ist. Modulare Arithmetik Für die schon genügend behandelten Aufgaben zur ganzzahligen und modularen Arithmetik verweisen wir auf die Übungen und Hausaufgaben. 4

5 Graphentheoretische Grundlagen Nicht abgedeckt: Repräsentationen, Bipartite Graphen, Breitensuche, Tiefensuche. Es sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph mit der Eigenschaft, dass für je zwei verschiedene Knoten x, y V (G) gilt: xy E(G) deg(x) + deg(y) n 1 Beweisen Sie, dass G dann zusammenhängend ist. Es sei G = (V, E) ein (schlichter) Graph mit n Knoten. Zeigen Sie, dass G zwei Knoten gleichen Grades besitzt. Beweisen Sie, dass in einem nicht-leeren Graphen G, dessen Knoten alle einen geraden Grad haben, die folgenden Aussagen gelten. 1) G enthält einen Kreis. 2) Es gibt eine Partition der Kantenmenge E(G), deren Klassen die Kantenmengen von Kreisen in G sind. Aufgabe 4 Zeigen Sie, dass in jedem Baum je zwei Knoten durch genau einen Weg verbunden sind. Aufgabe 5 Zeigen Sie, dass die Knoten jedes Baumes so mit (höchstens) zwei Farben gefärbt werden können, dass benachbarte Knoten stets unterschiedliche Farben haben. 5