Der Vier-Farben-Satz

Transkript

1 , Samuel Hetterich, Felicia Raßmann Goethe-Universität Frankfurt, Institut für Mathematik 21.Juni 2013

2 Wieviele Farben braucht man zum Färben einer Landkarte? Spielregeln Länder mit einer gemeinsamen Grenze bekommen unterschiedliche Farben. Die Länder müssen zusammenhängend sein.

3 Wieviele Farben braucht man zum Färben einer Landkarte? Spielregeln Länder mit einer gemeinsamen Grenze bekommen unterschiedliche Farben. Die Länder müssen zusammenhängend sein.

4 Bei all diesen Karten genügen vier Farben: Funktioniert das immer?

5 Die Vier-Farben-Vermutung Vermutung [Guthrie 1852] Vier Farben genügen!

6 Die Vier-Farben-Vermutung Vermutung [Guthrie 1852] Vier Farben genügen! Das können wir glauben. Aber können wir es auch beweisen? Vielleicht haben wir eine Landkarte, die mehr Farben braucht, nur noch nicht gefunden?

7 Warum Beweise? Vermutung [Euler 1769] Es gibt keine ganzen Zahlen a, b, c, d > 0, so dass a 4 + b 4 + c 4 = d 4.

8 Warum Beweise? Vermutung [Euler 1769] Es gibt keine ganzen Zahlen a, b, c, d > 0, so dass a 4 + b 4 + c 4 = d 4. Gegenbeispiel [Elkies 1986] =

9 Formalisierung des Problems Die Landkarte wird in einen planaren Graphen verwandelt.

10 Sechs-Farben-Satz Sechs Farben genügen.

11 Sechs-Farben-Satz Sechs Farben genügen. Die Eulersche Polyederformel Für einen (zusammenhängenden) planaren Graphen mit gilt immer: v = Anzahl der Knoten e = Anzahl der Kanten f = Anzahl der Flächen v e + f = 2 Kante Fläche Knoten

12 Die Eulersche Polyederformel Die Eulersche Polyederformel v e + f = 2 Beispiele: f 1 f 2 f 1 f 2 f 3 v = 3 e = 3 f = = 2 v = 4 e = 5 f = = 2

13 Beweis der Eulerschen Polyederformel Beweisidee: Induktion.

14 Beweis der Eulerschen Polyederformel Beweisidee: Induktion. Operation 1 Lösche eine Kante und ihren Endknoten, der keine weitere Kante berührt. Operation 1 v = 4 e = 4 f = = 2 v = 3 e = 3 f = = 2 Ein Knoten und eine Kante verschwinden; v e + f bleibt gleich.

15 Operation 2 Lösche eine Kante, die auf einem Kreis liegt. Operation 2 v = 3 e = 3 f = = 2 v = 3 e = 2 f = = 2 Eine Kante und eine Fläche verschwinden; v e + f bleibt gleich.

16 Korollar Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.

17 Korollar Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Beweis durch Widerspruch. Wenn jeder Knoten mindestens sechs Nachbarn hätte, wäre 6v 2e v 1 3 e

18 Korollar Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Beweis durch Widerspruch. Wenn jeder Knoten mindestens sechs Nachbarn hätte, wäre 6v 2e v 1 3 e Außerdem wissen wir 3f 2e f 2 3 e

19 Korollar Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Beweis durch Widerspruch. Wenn jeder Knoten mindestens sechs Nachbarn hätte, wäre 6v 2e v 1 3 e Außerdem wissen wir 3f 2e f 2 3 e Zusammen mit der Eulerschen Polyederformel wäre dann 2 = v e + f 1 3 e e e = 0

20 Korollar Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Beweis durch Widerspruch. Wenn jeder Knoten mindestens sechs Nachbarn hätte, wäre 6v 2e v 1 3 e Außerdem wissen wir 3f 2e f 2 3 e Zusammen mit der Eulerschen Polyederformel wäre dann Widerspruch! 2 = v e + f 1 3 e e e = 0

21 Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.

22 Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.

23 Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.

24 Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.

25 Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.

26 Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.

27 Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.

28 Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.

29 Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.

30 Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.

31 Genügen vier Farben wirklich? Guthrie: die Grafschaften von England Vermutung Cayley: Problem wird der London Math Society vorgestellt. 1879/80 - Kempe/Tait legen vermeintliche Beweise vor. 1890/91 - die zwei fehlerhaften Beweise widerlegt Heawood: Beweis des Fünf-Farben-Satzes.

32 Genügen vier Farben wirklich? 1960/70er - Heesch: Idee eines Computerbeweises Appel, Haken: Erster Computerbeweis Robertson, Sanders, Seymour, Thomas: Stark vereinfachter Computerbeweis. Weitgehend anerkannt Gonthier, Werner: Formaler Beweis des Satzes mit einem Beweisassistenten.

33 Genügen vier Farben wirklich? Bis heute kein analytischer Beweis. Lektüre: R. Wilson: Four colors suffice (2002).