Westfälische Wilhelms-Universität Münster. Fachbereich: Mathematik und Informatik. Planare Graphen

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1 Westfälische Wilhelms-Universität Münster Fachbereich: Mathematik und Informatik Planare Graphen Kreuzungslemma und Charakterisierung planarer Graphen nach Kuratowski Andrea Vollmer Seminar: Graphentheorie Dr. Thomas Timmermann Sommersemester 2015 Vortrag vom 22. Juni 2015

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Die Kreuzungszahl und eine erste Abschätzung 2 3 Das Kreuzungslemma 5 4 Charakterisierung planarer Graphen nach Kuratowski Liste nicht planarer Graphen Das Kuratowski-Theorem Anwendung des Kuratowski-Theorems i

3 1 Einleitung Während die Anfänge der Graphentheorie (z.b. das Königsberger Brückenproblem) bereits im 18. Jahrhundert liegen, werden die meisten ihrer Fortschritte erst im letzten Jahrhundert verzeichnet. So auch die Erkenntnisse und Sätze zu planaren Graphen, mit denen ich mich in meinem Vortrag beschäftigt habe. In dieser Ausarbeitung soll es daher zunächst um die Kreuzungszahl von Graphen und möglichen Abschätzungen gehen, um anschließend das lang vermutete Kreuzungslemma zu beweisen. Hierbei werde ich dem Buch der Beweise von Martin Eigner und Günter M. Ziegler folgen. In einem zweiten großen Abschnitt wird es um die Charakterisierung planarer Graphen nach Kuratowski gehen, wobei hier vor allem Vorarbeit für das doch erstaunliche Kuratowski-Theorem geleistet werden soll, was seinerzeit einen Durchbruch der Graphentheorie darstellte. Dieser Teil folgt A Textbuch of Graph theory von Balakrishnan und Ranganathan sowie Combinatorics and Graph theory von Harris, Hirst und Mossinghoff. 1

4 2 Die Kreuzungszahl und eine erste Abschätzung Zu Beginn müssen ein paar grundlegende Definitionen wiederholt sowie auf eine Proposition verwiesen werden, die bereits in einem früheren Vortrag bewiesen wurde und die im späteren Verlauf bei der Abschätzung der Kreuzungszahl benötigt wird. Definition 2.1. Ein Graph heißt planar, wenn er in die Ebene R 2 gezeichnet werden kann, ohne dass sich Kanten kreuzen. Definition 2.2. Ein Graph heißt eben, wenn schon eine Zeichnung des Graphen im R 2 ohne kreuzende Kanten vorliegt. Aus der Eulerschen Polyederformel kann folgende Beziehung geschlussfolgert werden: Proposition 2.3. Sei G = (V,E) ein Graph mit n Knoten und m Kanten. Ein ebener Graph hat dann höchstens 3n-6 Kanten. Nun gehen wir zum eigentlichen Teil dieses Kapitels über und beginnen mit der Definition der Kreuzungszahl. Definition 2.4. Die Kreuzungszahl kr(g) eines Graphen G ist die kleinste Anzahl von Kreuzungen, die für eine Zeichnung von G möglich ist. Bemerkung 2.5. Mit der Definition der Kreuzungszahl folgt schon, dass kr(g) = 0 für einen ebenen Graphen G gilt. Im folgenden betrachten wir so genannte minimale Zeichnungen, d.h Zeichnungen, in denen es so wenig kreuzende Kanten, wie möglich gibt. Solch eine minimale Zeichnung erfüllt offenbar folgende Bedingungen: 1. Keine Kante kann sich selber kreuzen. 2. Kanten mit gemeinsamen Endknoten können sich nicht kreuzen. 2

5 2 Die Kreuzungszahl und eine erste Abschätzung 3. Zwei Kanten können sich nicht mehrmals kreuzen. Diese Bedingungen lassen sich anhand der folgenden, kleinen Skizzen beweisen. Hierbei findet man immer eine Repräsentation desselben Graphen mit weniger Kreuzungen: Abbildung 2.1: Bedingungen für minimale Zeichnungen Wir wollen nun eine erste Abschätzung der Kreuzungszahl finden und nehmen an, dass alle Zeichnungen die drei Bedingungen erfüllen. Sei nun also eine minimale Zeichnung eines Graphen G mit kr(g) Kreuzungen, n Ecken und m Kanten gegeben. Um eine untere Schranke für die Kreuzungszahl kr(g) festzulegen, betrachten wir den Graphen H, der aus G entsteht, indem man zusätzlich zu den Knoten und Kanten von G die Kreuzungspunkte von G als neue Knoten in H und die Kantenstücke zwischen den Kreuzungspunkten von G als neue Kanten in H nimmt. Dann ist H eben und einfach, da es keine kreuzende Kanten mehr gibt und die drei Bedingungen für minimale Zeichnungen erfüllt sind. Somit besitzt H n H = n G + kr(g) Knoten und m H = m G + 2kr(G) Kanten, weil jeder neuer Knoten von Grad 4 ist. Nun lässt sich Proposition 2.3 auf H übertragen: m H 3n H 6 m G + 2kr(G) 3(n G + kr(g)) 6 kr(g) m G 3n G + 6 Also haben wir unsere erste Abschätzung gefunden: kr(g) m 3n + 6 Aufgabe 2.6. Zeichnet den vollständigen Graphen K 6 auf und erstellt eine minimale Zeichnung. Wie groß ist kr(k 6 )? 3

6 2 Die Kreuzungszahl und eine erste Abschätzung Lösung: n = 6, m =15 kr(g) m 3n + 6 = = 3 Unsere Abschätzung sagt uns also, dass es keine Einbettung des K 6 mit weniger als drei Kreuzungen gibt. Abbildung 2.2: Einbettung des K 6 mit minimaler Anzahl an Kreuzungen 4

7 3 Das Kreuzungslemma Diese erste Abschätzung der Kreuzungszahl ist sinnvoll, wenn die Kantenzahl m nur linear mit der Knotenzahl n wächst. Für den Fall, dass die Kantenzahl echt schneller wächst als die Knotenanzahl, kann man aber eine bessere untere Schranke für die Kreuzungszahl finden, was uns zum Kreuzungslemma führt. Lemma 3.1 (Das Kreuzungslemma). Sei G ein einfacher Graph mit n Ecken und m Kanten und es gelte m 4n. Dann ist kr(g) 1 m 3 64 n 2 Das Kreuzungslemma wurde bereits 1973 von Erdõs und Guy vermutet, wobei sie anstatt 1 64 nur eine Konstante c > 0 wählten. Auch als Leighton, Ajtai, Chvátal, Newborn 1 und Szemerédi 1982 unabhängig voneinander die ersten Beweise mit dem Faktor 100 aufstellten, wurden diese erst anerkannt als Lásló Székely 1997 das Kreuzungslemma auf mehrere geometrische Extremalprobleme anwendete. Der folgende Beweis beruht auf einen -Austausch von Bernard Gazelle, Mich Sharir und Emo Welzl und ist eine Anwendung der probabilistischen Methode nach Erdõs und Rényi. Beweis. Wir betrachten eine minimale Einbettung eines Graphen G und eine Wahrscheinlichkeit p [0, 1]. Wir erzeugen einen Untergraphen von G, in dem wir die einzelnen Ecken unabhängig voneinander mit der Wahrscheinlichkeit p auswählen. So erhalten wir den induzierten Untergraphen G p. Seien n p, m p und X p Zufallsvariablen, wobei n p die Anzahl der Ecken in G p, m p die Anzahl der Kanten in G p und X p die Anzahl der Kreuzungen in G p zählt. Wir haben bereits gesehen, dass kr(g) m + 3n 6 für jeden Graphen G gilt. Daraus folgt insbesondere kr(g) m + 3n 0. Betrachten wir nun den Erwartungswert: E(X p m p + 3n p ) 0 5

8 3 Das Kreuzungslemma E(X p ) E(m p ) + 3E(n p ) 0 (wegen der Linearität) Da eine Ecke mit Wahrscheinlichkeit p in G p liegt, folgt E(n p ) = pn. Eine Kante liegt nur in G p, wenn beide Ecken in G p liegen und somit gilt E(m p ) = p 2 m. Und es folgt E(X p ) = p 4 kr(g), da eine Kreuzung wiederum nur in G p liegt, wenn alle ihre vier unterschiedlichen beteiligten Ecken in G p liegen. Somit erhalten wir: p 4 kr(g) p 2 m + 3pn 0 kr(g) m p 2 3n p 3 0 kr(g) m p 2 + 3n p 3 Setze p := 4n 4n m. Nach Voraussetzung gilt m 4n und somit ist p höchstens 4n = 1. Man erhält: kr(g) m 3n ( 4n )2 ( 4n m m )3 kr(g) m3 4 2 n 2 3m3 4 3 n 2 kr(g) 1 m 3 64 m 2 6

9 4 Charakterisierung planarer Graphen nach Kuratowski 4.1 Liste nicht planarer Graphen Nun wollen wir eine Liste nicht planarer Graphen aufstellen, um Kriterien für Planarität von Graphen zu erkennen und Vorbereitung für das Kuratowski-Theorem zu leisten. Aus dem Vortrag zur Eulerschen Polyederformel wissen wir bereits, dass der vollständige Graph K 5 und der bipartite Graph K 3,3 nicht planar sind. Da dies aber nur für den K 5 bewiesen wurde, werde ich den Beweis für den K 3,3 noch einmal vorstellen. (a) K 5 (b) K 3,3 Abbildung 4.1: Die ersten nicht planaren Graphen auf unserer Liste Beweis. Wir nehmen an, der K 3,3 sei planar. Wir wissen, dass die Anzahl der Ecken n = 6 und die Anzahl der Kanten m = 9 = e ist. Die Eulersche Polyederformel besagt, dass n - e + f = 2 gilt und so folgt für die Anzahl der Flächen von K 3,3 f = 5. Nun betrachten wir das durchschnittliche Verhältnis der Seiten pro Fläche: f = 2e f = 18 5 < 4. Da der K 3,3 ein einfacher bipartiter Graph ist, hat jeder seiner Kreise mindestens die Länge 4, d.h. jede Fläche ist mindestens von vier Kanten begrenzt. Somit haben wir einen Widerspruch zur durchschnittlichen Seitenanzahl pro Fläche. Also ist der K 3,3 nicht planar. 7

10 4 Charakterisierung planarer Graphen nach Kuratowski Um die Liste nicht planarer Graphen zu erweitern, fügen wir alle Graphen hinzu, die den K 5 oder K 3,3 als Untergraphen enthalten. Denn wir wissen, dass ein Graph, der einen nicht planaren Untergraphen enthält, nicht planar ist. Doch wie sieht das mit Graphen wie in Abb. 4.2 aus? Abbildung 4.2: Beliebiger nicht planarer Graph Es ist leicht zusehen, dass dieser Graph nicht planar ist, obwohl er weder den K 5 noch den K 3,3 als Untergraphen enthält. Um dies dennoch mit dem noch folgenden Kuratowski-Theorem zu begründen, ist noch ein bisschen Vorarbeit nötig. Definition 4.1. Sei G = (V, E). Eine Unterteilung einer Kante e = {u, v} E ist das Ersetzen dieser Kante durch zwei neue Kanten a und b, die die beiden Knoten u und v der entfernten Kante e mit einem neuen Knoten w / V verbinden. H heißt Unterteilungsgraph von G, wenn H durch eine endliche Reihe von Unterteilungen von G entsteht. (a) Graph G (b) Graph H Abbildung 4.3: H ist Unterteilungsgraph von G Notation 4.2. Entsteht ein Untergraph des Graphen G durch Entfernen einer Kante e = {u, v} G, so schreiben wir G - e. Entsteht dieser Untergraph durch Kontraktion einer Kante e = {u, v} G, d.h. durch das Verschmelzen (auch als Zusammenziehen 8

11 4 Charakterisierung planarer Graphen nach Kuratowski bezeichnet) ihrer Endpunkte u und v, so schreiben wir G e. Insbesondere schreiben wir G H, wenn dieser Untergraph durch Kontraktion eines Untergraphen H von G entsteht. 4.2 Das Kuratowski-Theorem Theorem 4.3 (Kuratowski-Theorem). Ein Graph G=(V,E) ist genau dann planar, wenn er keine Unterteilung von K 5 oder K 3,3 enthält. Beweis. Wir nehmen an, dass der Graph G eine Unterteilung H von K 5 oder K 3,3 als Untergraphen enthält. Da bereits gezeigt wurde, dass K 5 und K 3,3 nicht planar sind, folgt schon, dass die Unterteilung H nicht planar ist. G enthält also einen nicht planaren Untergraphen und ist somit schon nicht planar. Also gilt: Ist G planar, so enthält er keine Unterteilung von K 5 oder K 3,3. Diese Richtung ist deutlich schwieriger, sodass wir diesen Teil des Theorems ohne Beweis stehen lassen und stattdessen einen weiteren Satz (4.5) mit Erläuterungen nennen werden, der in der Rückrichtung benutzt werden könnte und eine Beweisidee erkennen lässt. Definition 4.4. Wenn G H = K, so nennen wir K eine Kontraktion von G oder sagen, dass G zu K zusammenziehbar ist. Wir nennen G zu K subzusammenziehbar, wenn G einen Untergraphen H enthält, der zu K zusammenziehbar ist. Dabei nennen wir K eine Subkontraktion von G. (a) G (b) K Abbildung 4.4: K ist Kontraktion von G Satz 4.5. Ein Graph ist genau dann planar, wenn er nicht zu K 5 oder K 3,3 subzusammenziehbar ist. 9

12 4 Charakterisierung planarer Graphen nach Kuratowski Die Idee des Satzes soll kurz erläutert werden. Durch Entfernen von Knoten und anschließener Kantenkontraktion kann man jeden nicht planaren Graphen G zu einem einfacheren nicht planaren Graphen verkleinern. Dabei entfernt man solange Knoten und die zugehörigen Kanten, bis der nächste Schritt den Graphen planar machen würde. Auf diese Weise erhält man einen Untergraphen, der den K 5 oder K 3,3 darstellt. Somit ist G subzusammenziehbar zum K 5 oder K 3,3. Um dies anschaulich nochmal darzustellen, wollen wir anhand des Satzes 4.5 und den gerade genannten Schritten zeigen, dass der Petersen-Graph nicht planar ist. 4.3 Anwendung des Kuratowski-Theorems Abbildung 4.5: Der Petersen-Graph P Zunächst vereinfachen wir den Petersen-Graph P, indem wir einen beliebigen Knoten und seine zugehörigen Kanten entfernen. Wir nennen unseren neuen Graph nun P 0. Das Entfernen eines weiteren Knotens würde P 0 planar machen. Abbildung 4.6: Der vereinfachte Petersen-Graph P 0 Nun führen wir mehrere Kantenkontraktionen in P 0 durch. Hierbei ziehen wir jeweils 10

13 4 Charakterisierung planarer Graphen nach Kuratowski die drei Knoten, die von Grad 2 sind, auf einen ihrer zwei Nachbarn und erhalten den Graph in Abbildung 4.7. Abbildung 4.7: P 0 nach Kontraktionsschritt Betrachtet man nun Anzahl und Grad der verbliebenen Knoten, fällt auf, dass alle sechs Knoten von Grad 3 sind. Dies lässt schon auf den K 3,3 schließen und ist nach Verschieben der Knoten auch schnell zu sehen. Somit haben wir gezeigt, dass der Petersen-Graph P subzusammenziehbar ist zum K 3,3, da unser vereinfachter Graph P 0 ein Untergraph von P ist und zusammenziehbar zum K 3,3 ist. Hiermit folgt, dass der Petersen-Graph nicht planar ist. 11

14 Literaturverzeichnis [BdB] Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. Das Buch der Beweise, Springer: Berlin, Heidelberg, [BaRa] Blakrishnan, R.; Ranganathan, K. A textbook of Graph theory, Springer: New York, [HaHiMo] Harris, John M.; Hirst, Jeffry L.; Mossinghoff, Michael J. Combinatorics and Graph theory, Springer: New York,