Hamilton-Pfad auf Gittergraphen ist NP vollständig

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1 Hamilton-Pfad auf Gittergraphen ist NP vollständig von Stephanie Wilke 1. Einleitung Ein Hamilton-Pfad in einem ungerichteten Graphen ist ein Pfad, der jeden Knoten genau einmal enthält. Es soll nun gezeigt werden, dass das Hamilton-Pfad Problem für Gittergraphen NP vollständig ist, wobei hier nur die Reduktion gezeigt wird. Man geht davon aus, dass das Problem in NP liegt, dies kann ohne weiteres mit Hilfe eines Zeugen bewiesen werden. So wird gezeigt, wie das Hamilton-Pfad Problem für planare bipartite Graphen auf das Hamilton-Pfad Problem in Gittergraphen reduziert wird. Für diese Reduktion werden verschiedene Umwandlungen benötigt, die im Vorhinein als Teilprobleme erläutert werden. Der Beweis wird mit dem Hamilton-Kreis Problem durchgeführt, wobei anschließend das Hamilton-Kreis Problem in das Hamilton-Pfad Problem umgewandelt wird. Folgende Definitionen werden im späteren Verlauf benötigt: 1.1 Definitionen Ein Grittergraph ist ein Graph G[w,h] mit Breite w + 1 und Höhe h + 1, definiert als der Graph mit der Knotenmenge V = {0,...,w} {0,..., h} und der Kantenmenge E wobei E = {{(x, y), (x, y )} V x x + y y = 1} ist x und y sind die Koordinaten eines Knotens v Ein Knoten ist gerade, wenn x + y 0 (mod 2) ist s und t sind verschiedene Knoten von G Ein planar bipartiter Graph B = ((V 0 V 1 ), E) mit dem Grad 3 2. Teilprobleme Zuerst wird ein planarer bipartiter Graph B in einen Gittergraphen G umgewandelt. Diese Umwandlung wird mit einer Funktion durchgeführt, die eine paritätserhaltende Einbettung erzielt. Diese Umwandlung wird nur abstrakt dargestellt, da sie für diesen Vortrag zu komplex ist. Sie kann jedoch in der Quelle [S] nachgelesen werden. 1

2 Weitere Umwandlungsschritte sind dann die Erstellung eines Clusters und das Erstellen von Streifen und Tentakel. 2.1 Umwandlung vom planaren bipartiten Graphen zum Gittergraphen Mit dieser Funktion, kann man in polynomieller Zeit einen planaren bipartiten Graphen B in einen Gittergraphen G umwandeln. Dabei werden alle Knoten von V 0 auf gerade Knoten von G abgebildet und alle Knoten von V 1 auf ungerade Knoten von G abgebildet. Die Kanten von B werden in Wege in G umgewandelt, wobei die Knoten nur zu einem Weg gehören dürfen. Diese Wege werden in der Abbildung 1 mit durchgezogenen Linien dargestellt. B G 1 Abbildung 1 Daraus folgt das folgende Lemma. Lemma 1: Wenn B ein planarer bipartiter Graph mit n Knoten ist, kann man daraus in polynomieller Zeit einen Gittergraphen erstellen. 2

3 2.2 Erstellen eines Clusters Ein 9-Cluster besteht aus neun Knoten und ist ein Quadrat der Größe 2, wie Abbildung 2 zeigt. Abbildung 2 Lemma 2: Jedes 9 Cluster hat einen Hamilton-Pfad, für alle 1 i<j 4 von p i nach p j, der die Kanten (e1, e2, e3, e4) enthält. Da es sich bei diesem Beweis um endlich viele Möglichkeiten handelt, kann man sie leicht vollständig darstellen, was ist Abbildung 3 gezeigt wird. Abbildung 3 3

4 2.3 Erstellen von Streifen und Tentakel Ein Streifen ist ein rechteckiger Graph, der über seine Länge und Breite definiert ist. Eine Tentakel T ist ein Weg in einem Gittergraph, wobei die Kanten in diesem Weg aus Streifen bestehen, dargestellt in Abbildung 4. Abbildung 4 Die Tentakel können auf zwei verschiedene Arten durchlaufen werden. Die eine Möglichkeit ist mit einem Rückkehrpfad, der in Abbildung 7 gezeigt ist. Die andere Möglichkeit liegt darin, die Tentakel mit einem Zickzackpfad zu durchlaufen, wie Abbildung 7 zeigt. Abbildung 7 Lemma 3: Wenn s und t zwei verschiedene Ecken von T sind, dann hat T einen Hamilton-Pfad, sobald die Koordinaten von s und t unterschiedliche Parität haben. Dieser Beweis ist einfach zu zeigen, indem man die Kanten zwischen den Knoten zählt. Abbildung 5 und 6 zeigt dies an zwei Beispielen. 4

5 Abbildung 5 Abbildung 6 3. Beweis Vorausgesetzt wird, dass das Hamilton-Kreis Problem für planare bipartite Graphen NP vollständig ist. Dann wird gezeigt, dass das Hamilton-Kreis Problem auch für Gittergraphen NP vollständig ist mit einer Umwandlung eines planaren bipartiten Graphen in einen Gittergraphen in polynomieller Zeit. Zum Schluss wird gezeigt, wenn das Hamilton-Kreis Problem NP-vollständig ist, ist auch das Hamilton-Pfad Problem NP-vollständig. Dieser letzte Beweisschritt wird durch die Reduktion vom Hamilton-Kreis Problem für Gittergraphen auf das Hamilton-Pfad Problem für Gittergraphen gezeigt. Theorem: Das Hamilton-Kreis Problem ist für Gittergraphen NP-vollständig. Wir gehen davon aus, dass das Hamilton-Kreis Problem für planare bipartite Graphen mit dem Grad 3 NP vollständig ist. Wir konstruieren einen Gittergraphen G, so dass G genau dann einen Hamilton-Kreis enthält, wenn B einen Hamilton-Kreis enthält. 5

6 Um zu zeigen, dass das Hamilton-Kreis Problem NP vollständig ist, macht man aus einem planaren bipartiten Graphen einen Gittergraphen G mit Hilfe der Funktion. Diese Umwandlung wird in Abbildung 1 gezeigt. Wir erzeugen aus dem Gittergraphen G 1 einen Gittergraphen G 9, indem wir die Größe (die Anzahl der Knoten) von G 1 mit 9 multiplizieren. Dadurch hat jeder Knoten von B ein entsprechendes 9 Cluster in G 9. Dann werden allen Kanten von B in Tentakel umgewandelt, der resultierende Graph ist in Abbildung 9 dargestellt. Abbildung 9 Dabei muss man darauf achten, wie die Tentakel an die 9-Cluster angehängt werden. Angenommen, wir haben eine Kante k von Knoten v nach Knoten u in G, mit v ist gerade und u ungerade. Wenn k den geraden Knoten v unten verlässt, dann wird der Tentakel, wie in der Abbildung 10, befestigt (andere Fälle durch Drehen symmetrisch). An das ungerade u wird der Tentakel, wie in der Abbildung 11 dargestellt, befestigt (andere Fälle durch Drehen symmetrisch). Abbildung 10 6

7 Abbildung 11 Der planare bipartite Graph B hat einen Hamilton-Kreis => der Gittergraph G einen Hamilton-Kreis hat Der Hamilton-Kreis von G wird wie folgt konstruiert Die entsprechenden Tentakel von Kanten, die zum Hamilton-Kreis von B gehören, werden für den Hamilton-Kreis im Gittergraphen durch Zickzackpfade abgedeckt Die anderen Kanten werden in G durch Rückkehrpfade abgedeckt Die Knoten (9-Cluster) des Gittergraphen können, wie vorher gezeigt im Lemma 2, durchlaufen werden Der fertige Gittergraph mit dem Hamilton-Kreis ist in Abbildung 12 dargestellt. Abbildung 12 7

8 Der Gittergraph G hat einen Hamilton-Kreis => der planare bipartite Graph B einen Hamilton-Kreis hat Jeder Tentakel aus B wird in G entweder durch einen Zickzackpfad oder einen Rückkehrpfad abgedeckt. Aus der Konstruktion der Tentakel folgt: Der Hamilton-Kreis in B besteht nur aus Kanten, deren zugehörige Tentakel in G mit Zickzackpfaden abgedeckt sind. Dieser Kreis ist ein Hamilton-Kreis, weil jedes 9-Cluster nur dann zum Hamilton- Kreis gehören kann, wenn das 9-Cluster genau zwei Zickzackpfade verbindet. Durch den Beweis in beide Richtungen ist gezeigt worden, dass das Hamilton-Kreis Problem für planare bipartite Graphen polynomialzeitreduzierbar auf das Hamilton-Kreis Problem für Gittergraphen ist. So wurde gezeigt, dass das Hamilton-Kreis Problem NP-vollständig ist. 3.1 Reduktion des Hamilton-Kreis Problems auf das Hamilton-Pfad Problem Wenn G ein Gittergraph mit Hamilton-Kreis ist, der keine Knoten mit Grad < 2 hat, muss ein Eckknoten s existieren mit Grad = 2 und t ein Nachbar von s sein. Entfernt man die Kante zwischen s und t aus dem Hamilton-Kreis, hat man einen Hamilton- Pfad. Das Hamilton-Pfad Problem für Gittergraphen hat genau dann eine Lösung, wenn der Gittergraph einen Hamilton-Kreis hat. 4. Quellen [HP] Hamilton-Pfade auf Gittergraphen (Alon Itai, Christos H. Papadimitriou, Jayme Luiz Szwarcfiter: Hamilton-Paths in Grid Graphs. SIAM J. Comput. 11 (1982), ) [S] Y. Shiloach, -linear and planar arrangements of graphs, Ph.D. dissertation, Appl. Math. Dept., Weizmann Institute of Science, Rehovot, Israel,