Stefan Schmid TU Berlin & T-Labs, Berlin, Germany. Reduktionen in der Berechenbarkeitstheorie

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1 Stefan Schmid TU Berlin & T-Labs, Berlin, Germany Reduktionen in der Berechenbarkeitstheorie

2 Problem: Wie komme ich von hier zum Hamburger Hbf? 2

3 Beispiel P1 Wie komme ich von hier zum Hamburger Hbf? kann ich verwende für reduzieren auf Finde jemand, der den Weg kennt! Alternativ: Finde eine Stadtkarte! Alternativ: Finde ein Taxi! P2 3

4 Beispiel P1 Wie komme ich von hier zum Hamburger Hbf? kann ich verwende für reduzieren auf Finde jemand, der den Weg kennt! Alternativ: Finde eine Stadtkarte! Alternativ: Reduziere Bestelle P1 ein auf Taxi! P2! P2 4

5 Reduktionen Ein mächtiges Konzept in der Theoretischen Informatik. Informelle Definition: Reduktion Problem P1 kann in ein Problem P2 transformiert werden (Funktion f), sodass Lösung von P2 zur Lösung von P1 verwendet werden kann. Transformation f P1 P2 verwende Lösung Löse! 5

6 Reduktionen Ein mächtiges Konzept in der Theoretischen Informatik. Informelle Definition: Reduktion Problem P1 kann in ein Problem P2 transformiert werden (Funktion f), sodass Lösung von P2 zur Lösung von P1 verwendet werden kann. P1 Transformation Definiert gerichtete f Relation auf der Menge der Probleme! Löse! P2 verwende Lösung Löse! 6

7 Reduktionen Ein mächtiges Konzept in der Theoretischen Informatik. Informelle Definition: Reduktion Einfach, aber Vorsicht: Richtung Problem P1 kann in ein Problem P2 transformiert der Relation, Eigenschaften der werden (Funktion f), sodass Lösung von P2 zur Reduktion, etc. wichtig! Lösung von P1 verwendet werden kann. P1 Transformation Definiert gerichtete f Relation auf der Menge der Probleme! Löse! P2 verwende Lösung Löse! 7

8 Beispiele Beispiele im Alltag: Rekursiv Das Problem von Berlin nach Hamburg zu kommen reduziert sich auf das Problem, eine Fahrkarte zu kaufen das wiederum reduziert sich darauf, Geld für die Fahrkarte zu verdienen reduziert sich auf das Problem, einen Job zu finden 8

9 Beispiele Beispiele im Alltag: Rekursiv Das Problem von Berlin nach Hamburg zu kommen reduziert sich auf das Problem, eine Fahrkarte zu kaufen das wiederum reduziert sich darauf, Geld für die Fahrkarte zu verdienen reduziert sich auf das Problem, einen Job zu finden Fläche? : P1 Beispiele in der Mathematik: Wie muss ich vorgehen, um Fläche des Rechtecks zu bestimmen? 9

10 Breite? Beispiele Beispiele im Alltag: Rekursiv Das Problem von Berlin nach Hamburg zu kommen reduziert sich auf das Problem, eine Fahrkarte zu kaufen das wiederum reduziert sich darauf, Geld für die Fahrkarte zu verdienen reduziert sich auf das Problem, einen Job zu finden Fläche? : P1 Beispiele in der Mathematik: Das Problem die Fläche eines Rechtecks zu bestimmen reduziert sich auf das Problem, dessen Seitenlängen zu bestimmen. (Einfach!) P2: Länge? 10

11 Breite? Beispiele Beispiele im Alltag: Rekursiv Das Problem von Berlin nach Hamburg zu kommen reduziert sich auf das Problem, eine Fahrkarte zu kaufen das wiederum reduziert sich darauf, Geld für die Fahrkarte zu verdienen reduziert sich auf das Problem, einen Job zu finden P2: Fläche? Länge? : P1 Beispiele in der Mathematik: Das Problem die Fläche eines Rechtecks zu bestimmen reduziert sich auf das Problem, dessen Seitenlängen zu bestimmen. (Einfach!) Das Problem ein lineares Gleichungssystem zu lösen reduziert sich auf das Problem, eine Matrix zu invertieren. 11

12 Eigenschaften der Reduktion Nützliche Eigenschaften? Transformation f P1 P2 verwende Lösung Löse! Beispiel: Sei P1: Finde Weg zum Hamburger Hbf. P2: Finde eine City Map. 12

13 Eigenschaften der Reduktion Nützliche Eigenschaften? Transformation f P1 P2 verwende Lösung Löse! Beispiel: Sei P1: Finde Weg zum Hamburger Hbf. P2: Finde eine City Map. Möchte nicht zuerst zu einem Shop am Hbf gehen, um P2 zu lösen! 13

14 Eigenschaften der Reduktion It depends! : Welches Ziel / welche Anwendung? Nützliche Eigenschaften? Transformation f P1 P2 verwende Lösung Löse! Beispiel: Sei P1: Finde Weg zum Hamburger Hbf. P2: Finde eine City Map. Möchte nicht zuerst zu einem Shop am Hbf gehen, um P2 zu lösen! 14

15 Komplexität vs Berechenbarkeit Reduktionen in der Komplexitätstheorie: Will effiziente Lösung für P1 mittels Lösung von P2 Auch Reduktion ( Umweg ) sollte Zeit/Speicher effizient sein Reduktionen in der Berechenbarkeitstheorie Will zeigen, dass es möglich ist, P1 zu lösen (mit P2) Reduktion muss nur berechenbar sein Transformation f P1 P2 verwende Lösung 15

16 Anwendungen (1) Beispiel Komplexitätstheorie: Reduktionen für untere Schranken ( Lower Bounds ) Beispiel: Wenn ich weiss, dass P1 (z.b. SAT) NP-schwer, kann ich durch Reduktion zeigen, dass viele weitere Probleme P2 auch NP-schwer sind. effiziente Transformation f P1 P2 verwende Lösung 16

17 Anwendungen (1) Beispiel Komplexitätstheorie: Reduktionen für untere Schranken ( Lower Bounds ) Beispiel: Wenn ich weiss, dass P1 (z.b. SAT) NP-schwer, kann ich durch Reduktion zeigen, dass viele weitere Probleme P2 auch NP-schwer sind. P1 Komplexität K2? P2 17

18 Anwendungen (1) Beispiel Komplexitätstheorie: Reduktionen für untere Schranken ( Lower Bounds ) Beispiel: Wenn ich weiss, dass P1 (z.b. SAT) NP-schwer, kann ich durch Reduktion zeigen, dass viele weitere Probleme P2 auch NP-schwer sind. Komplexität K1 P1 Komplexität Kf Komplexität K2? P2 Komplexität Kf -1 18

19 Anwendungen (1) Beispiel Komplexitätstheorie: Reduktionen für untere Schranken ( Lower Bounds ) Wenn K1 schwer und Kf und Kf -1 leicht, dann auch K2 schwer. Beispiel: Wenn ich weiss, dass P1 (z.b. SAT) NP-schwer, kann ich durch Reduktion zeigen, dass viele weitere Probleme P2 auch NP-schwer sind. Komplexität K1 P1 Komplexität Kf Komplexität K2? P2 Komplexität Kf -1 19

20 Anwendungen (2) Beispiel Berechenbarkeitstheorie: Reduktionen für negative Resultate ( Impossibility Results ) Beispiel: Wenn ich weiss, dass P1 unentscheidbar ist (z.b. Sprache der durch TMs M akzeptierte Wörter w, A TM : Diagonalisierung), kann ich durch Reduktion zeigen, dass andere Probleme P2 auch unentscheidbar sind. berechenbare Transformation f P1 P2 verwende Lösung 20

21 Anwendungen (2) Beispiel Berechenbarkeitstheorie: Reduktionen für negative Resultate ( Impossibility Results ) Wichtiges Konzept: Many-One Reduktion Beispiel: Wenn ich weiss, dass P1 unentscheidbar ist (z.b. Sprache der durch TMs M akzeptierte Wörter w, A TM : Diagonalisierung), kann ich durch Reduktion zeigen, dass andere Probleme P2 auch unentscheidbar sind. berechenbare Transformation f P1 P2 verwende Lösung 21

22 Reduktionen in Berechenbarkeitstheorie Formalisierung der Konzepte: Fokus auf Entscheidungsprobleme In Sprachformalismus: Probleme P der Form w L? Definition: Many-One Reduktion f von L 1 auf L 2 Eine Funktion f heisst many-one Reduktion von Sprache L 1 Σ * auf Sprache L 2 Σ * gdw.: 1. f ist berechenbar und total 2. w Σ * gilt dass w L 1 f(w) L 2 L 1 L 2 L 1 L 2 22

23 Reduktionen in Berechenbarkeitstheorie Formalisierung der Konzepte: Fokus auf Entscheidungsprobleme In Sprachformalismus: Probleme P der Form w L? Definition: Many-One Reduktion f von L 1 auf L 2 D.h. es gibt eine TM M f Eine, die Funktion f berechnet. f heisst many-one total = für Reduktion alle Wörter von definiert Sprache L 1 Σ * auf Sprache L 2 Σ * gdw.: 1. f ist berechenbar und total 2. w Σ * gilt dass w L 1 f(w) L 2 L 1 L 2 L 1 L 2 23

24 Reduktionen in Berechenbarkeitstheorie Formalisierung der Konzepte: Fokus auf Entscheidungsprobleme In Sprachformalismus: Probleme P der Form w L? Definition: Many-One Reduktion f von L 1 auf L 2 D.h. es gibt eine TM M f Eine, die Funktion f berechnet. f heisst many-one total = für Reduktion alle Wörter von definiert Sprache L 1 Σ * auf Sprache L 2 Σ * gdw.: 1. f ist berechenbar und total Funktion muss weder injektiv 2. w Σ * gilt dass w L 1 f(w) noch surjektiv L 2 sein! L 1 L 2 L 1 L 2 24

25 Definition und Repetition Definition: Many-One Reduzierbare Sprachen Die Sprache L 1 heisst many-one reduzierbar auf Sprache L 2 gdw. es eine many-one Reduktion von L 1 auf L 2 gibt. Kurz: L 1 m L 2

26 Definition und Repetition Definition: Many-One Reduzierbare Sprachen Die Sprache L 1 heisst many-one reduzierbar auf Sprache L 2 gdw. es eine many-one Reduktion von L 1 auf L 2 gibt. Kurz: L 1 m L 2 Repetition: Akzeptierbare Sprache A Die Sprache L ist akzeptierbar, wenn es eine TM gibt, die für jedes Eingabewort w L mit «Ja» hält. Repetition: Entscheidbare Sprache E Die Sprache L ist entscheidbar, wenn es eine TM gibt, die für jedes w L mit «Ja» hält und für jedes w L mit «Nein».

27 Sehr mächtiges Theorem: Theorem: Implikationen der Reduktion Sei L 1 m L 2, dann gilt: L 2 E L 1 E. 27

28 Sehr mächtiges Theorem: Theorem: Implikationen der Reduktion Sei L 1 m L 2, dann gilt: L 2 E L 1 E. Beispiel: Wie kann ich damit zeigen, dass eine Sprache L E? 28

29 Sehr mächtiges Theorem: Theorem: Implikationen der Reduktion Sei L 1 m L 2, dann gilt: L 2 E L 1 E. Beispiel: Wie kann ich damit zeigen, dass eine Sprache L E? Zeige, dass es 1. eine many-one Reduktion f von einer 2. unentscheidbaren Sprache L E (=L 1 ) auf L (=L 2 ) gibt: L m L Dann folgt aus Theorem: falls L (=L 2 ) entscheidbar wäre, Widerspruch zu Annahme dass L (=L 1 ) unentscheibar: L E L E : Widerspruch zu L E 29

30 Theorem: Implikationen der Reduktion Sei L 1 m L 2, dann gilt: L 2 E L 1 E. Wie kann man ein solches Theorem beweisen? 30

31 Theorem: Implikationen der Reduktion Sei L 1 m L 2, dann gilt: L 2 E L 1 E. Beweis. Konstruktiv! Nehme an L 2 E : also gibt es eine TM M 2, die L 2 entscheidet Sei f eine many-one Reduktion m von L 1 auf L 2 : berechenbar! Sei M f die TM, die f berechnet Konstruiere die TM M 1 : eine Hintereinanderschaltung von M f und M 2. Es gilt: M 1 (w) akz. M 2 (f(w)) akz. f(w) L 2 w L 1 Also entscheidet M 1 L 1, und somit: L 1 E. w M 1 f(w) M f M 2 31

32 Beweis. Konstruktiv! Nehme an L 2 E : also gibt es eine TM M 2, die L 2 entscheidet Sei f eine many-one Reduktion m von L 1 auf L 2 : berechenbar! Sei M f die TM, die f berechnet Konstruiere die TM M 1 : eine Hintereinanderschaltung von M f und M 2. Theorem: Implikationen der Reduktion Sei L 1 m L 2, dann gilt: L 2 E L 1 E. Eine solche TM muss existieren, da f per Definition berechenbar. Es gilt: M 1 (w) akz. M 2 (f(w)) akz. f(w) L 2 w L 1 Also entscheidet M 1 L 1, und somit: L 1 E. w M 1 f(w) M f M 2 32

33 Theorem: Implikationen der Reduktion Sei L 1 m L 2, dann gilt: L 2 E L 1 E. Beweis. Konstruktiv! Nehme an L 2 E : also gibt es eine TM M 2, die L 2 entscheidet Sei f eine many-one Reduktion m von L 1 auf L 2 : berechenbar! Sei M f die TM, die f berechnet Konstruiere die TM M 1 : eine Hintereinanderschaltung von M f und M 2. Es gilt: M 1 (w) akz. M 2 (f(w)) akz. f(w) L 2 w L 1 Also entscheidet M 1 L 1, und somit: L 1 E. w M 1 f(w) M f M 2 33

34 Theorem: Implikationen der Reduktion Sei L 1 m L 2, dann gilt: L 2 E L 1 E. Beweis. Konstruktiv! Nehme an L 2 E : also gibt es eine TM M 2, die L 2 entscheidet Sei f eine many-one Reduktion m von L 1 auf L 2 : berechenbar! Sei M f die TM, die f berechnet Konstruiere die Definition TM M 1 : von M 2 eine Hintereinanderschaltung Konstruktion von M f und von M 2. M 1 w M 1 f(w) M f M 2 Es gilt: M 1 (w) akz. M 2 (f(w)) akz. f(w) L 2 w L 1 Also entscheidet M 1 L 1, und somit: L 1 E. Definition Many-One Reduktion 34

35 Theorem: Implikationen der Reduktion Sei L 1 m L 2, dann gilt: L 2 E L 1 E. Beweis. Konstruktiv! Nehme an L 2 E : also gibt es eine TM M 2, die L 2 entscheidet Sei f eine many-one Reduktion m von L 1 auf L 2 : berechenbar! Sei M f die TM, die f berechnet Konstruiere die TM M 1 : eine Hintereinanderschaltung von M f und M 2. Es gilt: M 1 (w) akz. M 2 (f(w)) akz. f(w) L 2 w L 1 Also entscheidet M 1 L 1, und somit: L 1 E. w M 1 f(w) M f M 2 35

36 Beispiel: Das Halteproblem Definition: Sprache A TM Sprache des Problems «Akzeptiert eine gewisse Turing Maschine M einen gegebenen Input w?»: A TM = {<M,w> M akzeptiert w} Definition: Sprache HALT TM Sprache des Problems «Hält eine gewisse Turing Maschine M bei gegebenem Input w?»: HALT TM = {<M,w> M hält auf w} 36

37 Beispiel: Das Halteproblem Definition: Sprache A TM Sprache des Problems «Akzeptiert eine gewisse Turing Maschine M einen gegebenen Input w?»: A TM = {<M,w> M akzeptiert w} A TM ist unentscheidbar: A TM E Auch unentscheidbar: wie beweisen? Definition: Sprache HALT TM Sprache des Problems «Hält eine gewisse Turing Maschine M bei gegebenem Input w?»: HALT TM = {<M,w> M hält auf w} 37

38 Beispiel: Das Halteproblem Definition: Sprache A TM Sprache des Problems «Akzeptiert eine gewisse Turing Maschine M einen gegebenen Input w?»: A TM = {<M,w> M akzeptiert w} A TM ist unentscheidbar: A TM E Auch unentscheidbar: wie beweisen? Definition: Sprache HALT TM Sprache des Problems «Hält eine gewisse Turing Maschine M bei gegebenem Input w?»: HALT TM = {<M,w> M hält auf w} Zeige: A TM m HALT TM 38

39 Theorem: HALT TM E Das Problem HALT TM ist unentscheidbar. Beweis: Zeige Reduktion f: A TM m HALT TM. Daraus folgt das Theorem! Idee: Reduziere P1=«Akzeptiert M w?» auf P2=«Hält M auf w?» wobei M (w): w M M(w) akz.: stopp verw.: zykel 1. Simuliere M(w) 2. Wenn M(w) verwirft, dann zykel 3. Sonst stopp Reduktion f(<m,w>):=<m,w> ist berechenbar und total, ausserdem: <M,w> A TM M akz. w M (w) hält f(<m,w>) HALT TM Also: A TM m HALT TM HALT TM E 39

40 Theorem: HALT TM E Das Problem HALT TM ist unentscheidbar. Beweis: Zeige Reduktion f: A TM m HALT TM. Daraus folgt das Theorem! Idee: Reduziere P1=«Akzeptiert M w?» auf P2=«Hält M auf w?» wobei M (w): w M M(w) akz.: stopp verw.: zykel 1. Simuliere M(w) 2. Wenn M(w) verwirft, dann zykel 3. Sonst stopp Reduktion f(<m,w>):=<m,w> ist berechenbar und total, ausserdem: <M,w> A TM M akz. w M (w) hält f(<m,w>) HALT TM Also: A TM m HALT TM HALT TM E 40

41 Theorem: HALT TM E Das Problem HALT TM ist unentscheidbar. Beweis: Zeige Reduktion f: A TM m HALT TM. Daraus folgt das Theorem! Idee: Reduziere P1=«Akzeptiert M w?» auf P2=«Hält M auf w?» wobei M (w): w M M(w) Definition von M akz.: stopp verw.: Konstruktion zykel 1. Simuliere M(w) 2. Wenn M(w) verwirft, dann zykel 3. Sonst stopp Reduktion f(<m,w>):=<m,w> ist berechenbar und total, ausserdem: <M,w> A TM M akz. w M (w) hält f(<m,w>) HALT TM Also: A TM m HALT TM HALT TM E 41

42 Theorem: HALT TM E Das Problem HALT TM ist unentscheidbar. Beweis: Zeige Reduktion f: A TM m HALT TM. Daraus folgt das Theorem! Idee: Reduziere P1=«Akzeptiert M w?» auf P2=«Hält M auf w?» wobei M (w): w M M(w) akz.: stopp verw.: zykel 1. Simuliere M(w) 2. Wenn M(w) verwirft, dann zykel 3. Sonst stopp Reduktion f(<m,w>):=<m,w> ist berechenbar und total, ausserdem: <M,w> A TM M akz. w M (w) hält f(<m,w>) HALT TM Also many-one Reduktion: A TM m HALT TM HALT TM E 42

43 Theorem: HALT TM E Beweis: Das Problem HALT TM ist unentscheidbar. Zeige Reduktion f: A TM m HALT TM. Daraus folgt das Theorem! Idee: Reduziere P1=«Akzeptiert M w?» auf P2=«Hält M auf w?» wobei M (w): M 1. Simuliere M(w) akz.: stopp 2. Wenn M(w) verwirft, dann zykel w M(w) verw.: zykel 3. Sonst stopp Widerspruch zu Unentscheidbarkeit von A Reduktion f(<m,w>):=<m,w> TM ist berechenbar und total, ausserdem: <M,w> A TM M akz. w M (w) hält f(<m,w>) HALT TM Also many-one Reduktion: A TM m HALT TM HALT TM E 43

44 Ende

45 Anwendungen: Weiteres Beispiel Komplexitätstheorie: Viele negative Resultate ( Lower Bounds ) Beispiel: Lower Bound des Konvexe Hülle Problems CH ist auch eine Lower Bound für das Sortierungsproblem SORT Transformation: O(n) SORT Sortiere zahlen {x 1,, x n }! CH Finde konvexe Hülle von Punkten {(x 1, x 12 ),, {(x n, x n2 ) }! 45

46 Beispiel: Matching (1) Definition: Maximales Matching Input: Ungerichteter Graph G=(V,E) Output: Eine Teilmenge an Kanten M E ist ein gültiges Matching, gdw. keine zwei Kanten in M einen gemeinamen Knoten haben. M ist maximal gdw. es gültig ist und es keine Kante e E\M gibt, sodass {e} M auch ein gültiges Matching ist. Gültig? Maximal? Gültig? Maximal? Gültig? Maximal?

47 Beispiel: Matching (1) Definition: Maximales Matching Input: Ungerichteter Graph G=(V,E) Output: Eine Teilmenge an Kanten M E ist ein gültiges Matching, gdw. keine zwei Kanten in M einen gemeinamen Knoten haben. M ist maximal gdw. es gültig ist und es keine Kante e E\M gibt, sodass {e} M auch ein gültiges Matching ist. Ungültig! Gültig, nicht maximal! Gültig und maximal

48 Beispiel: Matching (2) Definition: Maximales Independent Set Input: Ungerichteter Graph G=(V,E) Output: Eine Teilmenge an Knoten I V ist ein gültiges Independent Set, gdw. es keine zwei Knoten in I gibt, die benachbart sind. I ist maximal gdw. es gültig ist und es keinen Knoten v V\I gibt, sodass {v} I auch ein gültiges Independent Set ist. Gültig? Maximal? Gültig? Maximal? Gültig? Maximal?

49 Beispiel: Matching (2) Definition: Maximales Independent Set Input: Ungerichteter Graph G=(V,E) Output: Eine Teilmenge an Knoten I V ist ein gültiges Independent Set, gdw. es keine zwei Knoten in I gibt, die benachbart sind. I ist maximal gdw. es gültig ist und es keinen Knoten v V\I gibt, sodass {v} I auch ein gültiges Independent Set ist. Gültig, nicht maximal! Ungültig! Gültig und maximal

50 Beispiel: Matching (3) Beispiel Gegeben: Algorithmus für maximales Independent Set Gesucht: Algorithmus für maximales Matching Methode: Effiziente Reduktion Maximales Matching? Transformation f Maximales Independent Set verwende Lösung 50

51 Beispiel: Matching (3) Beispiel Gegeben: Algorithmus für maximales Independent Set Gesucht: 1. Ersetze Algorithmus Kanten für durch maximales Knoten Matching Methode: 2. Verbinde Effiziente Knoten, Reduktion deren Kanten Maximales Matching? inzident sind im urspr. Graphen Transformation f Maximales Independent Set verwende Lösung

52 Beispiel: Matching (3) Beispiel Gegeben: Algorithmus für maximales Independent Set Gesucht: 1. Ersetze Algorithmus Kanten für durch maximales Knoten Matching Methode: 2. Verbinde Effiziente Knoten, Reduktion deren Kanten Maximales Matching? inzident sind im urspr. Graphen Transformation f Maximales Independent Set verwende Lösung

53 Beispiel: Matching (3) Beispiel Gegeben: Algorithmus für maximales Independent Set Gesucht: 1. Ersetze Algorithmus Kanten für durch maximales Knoten Matching Methode: 2. Verbinde Effiziente Knoten, Reduktion deren Kanten Maximales Matching? inzident sind im urspr. Graphen Transformation f Maximales Independent Set verwende Lösung

54 Beispiel: Matching (3) Beispiel Gegeben: Algorithmus für maximales Independent Set Gesucht: Algorithmus für maximales Matching Methode: Effiziente Reduktion Maximales Matching? Berechne maximales Transformation Independent f Set! Maximales Independent Set verwende Lösung

55 Beispiel: Matching (3) Beispiel Gegeben: Algorithmus für maximales Independent Set Gesucht: Algorithmus für maximales Matching Methode: Effiziente Reduktion Ist maximales Berechne maximales Maximales Matching? Matching! Transformation Independent f Set! Maximales Independent Set verwende Lösung

56 Beweisidee Gültig: Durch Widerspruch. Falls Matching ungültig, existiert Knote mit zwei anliegenden Kanten. Dann sind aber auch die entsprechenden Kantenknoten nicht independent. 1 Matching Independent Set Max. Matching Max. Independent Set Maximal: Durch Widerspruch. Falls eine weitere Kante hinzugefügt werden kann, muss ein weiterer unabhängiger Knote existieren im transformierten Graphen. Verletzt Maximalität.

57 Bemerkung Transformation ist nicht nur effizient, sondern auch lokal kann in einem verteilten System (z.b. Computer Netzwerk) lokal emuliert werden Verteilter Algorithmus für Independent Set als verteilter Algorithmus für Matching benutzbar Maximales Matching effiziente und lokale Transformation f Maximales Independent Set verwende Lösung

58 Reduktionen in Berechenbarkeitstheorie Funktion muss weder injektiv noch Formalisierung mit Fokus auf Entscheidungsprobleme: hat ein surjektiv sein: ein Element in Zielmenge Objekt eine gewünschte Eigenschaft oder nicht? kann beliebig viel mal angenommen werden! Definition: Many-One Reduktion von L 1 auf L 2 D.h. Es gibt eine TM M f Die, die Funktion f berechnet. f heisst many-one total = für Reduktion alle Wörter von definiert Sprache L 1 Σ * auf Sprache L 2 Σ * gdw.: 1. f ist berechenbar und total 2. w Σ * : w L 1 f(w) L 2 L 1 L 2 L 1 L 2 58

59 Reduktionen in Berechenbarkeitstheorie Injektiv ( linkseindeutig ): Jedes Element der Formalisierung Zielmenge höchstens Funktion mit Fokus einmal muss weder injektiv noch auf Entscheidungsprobleme: hat ein angenommen. surjektiv sein: ein Element in Zielmenge Objekt eine gewünschte Eigenschaft oder nicht? kann beliebig viel mal angenommen werden! Definition: Many-One Reduktion von L 1 auf L 2 D.h. Es gibt eine TM M f Die, die Funktion f berechnet. f heisst many-one Reduktion von Sprache total total = = für für alle alle Wörter Wörter definiert definiert L 1 Σ * auf Sprache L 2 Σ * gdw.: Surjektiv 1. f ist ( rechtstotal ): berechenbar und Jedes total Element der Zielmenge wird mindestens einmal 2. w Σ * : w L 1 angenommen. f(w) L 2 L 1 L 1 L 2 L 1 L 2 59

60 Implikationen der Reduktion Theorem: Implikationen der Reduktion Sei L 1 m L 2, dann gilt 1. L 2 E L 1 E 2. L 2 A L 1 A 3. L 2 A co L 1 A co Beweis? 60