Unentscheidbarkeit des Halteproblems, Unterprogrammtechnik

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1 Unentscheidbarkeit des Halteproblems, Unterprogrammtechnik Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 26. Oktober 2009 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 26. Oktober / 20

2 Wdh: Das Halteproblem Beim Halteproblem geht es darum, zu entscheiden, ob ein gegebenes Programm mit einer gegebenen Eingabe terminiert. In der Notation der TMen ergibt sich die folgende formale Problemdefinition. H = { M w M hält auf w}. Es wäre äußerst hilfreich, wenn Compiler das Halteproblem entscheiden könnten. Wir werden jedoch sehen, dass dieses elementare Problem nicht entscheidbar ist. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 26. Oktober / 20

3 Wdh: Unentscheidbarkeit der Diagonalsprache Zum Beweis der Unentscheidbarkeit des Halteproblems machen wir einen Umweg über die sogenannte Diagonalsprache. D = {w {0,1} w = w i und M i akzeptiert w nicht}. Anders gesagt, das i-te Wort bzgl. der kanonischen Reihenfolge, also w i, ist genau dann in D, wenn die i-te TM, also M i, dieses Wort nicht akzeptiert. Satz: Die Diagonalsprache D ist nicht rekursiv. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 26. Oktober / 20

4 Wdh: Unentscheidbarkeit der Diagonalsprache Intutition Warum trägt die Sprache den Namen Diagonalsprache? Betrachte eine unendliche binäre Matrix A mit A i,j = { 1 falls Mi akzeptiert w j 0 sonst Beispiel: w 0 w 1 w 2 w 3 w 4 M M M M M Die Diagonalsprache läßt sich auf der Diagonale der Matrix ablesen. Es ist D = {w i A i,i = 0}. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 26. Oktober / 20

5 Wdh: Unentscheidbarkeit der Diagonalsprache Beweis Beweis: Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an, D ist rekursiv. Dann gibt es eine TM M j, die D entscheidet. Wir starten die TM M j mit der Eingabe w j. Es ergeben sich zwei Fälle, die jeweils direkt zum Widerspruch führen. Fall 1: w j D M j entsch. D Def. von D M j akzeptiert w j w j D Fall 2: w j D M j entsch. D M j akzeptiert w j nicht Def. von D Widerspruch! w j D Widerspruch! Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 26. Oktober / 20

6 Unentscheidbarkeit des Komplements der Diagonalsprache Das Komplement zur Diagonalsprache ist Satz: D = {w {0,1} w = w i und M i akzeptiert w} Das Komplement D der Diagonalsprache ist nicht rekursiv. Beweis: Zum Widerspruch nehmen wir an, es gibt eine TM M D, die die Sprache D entscheidet. Gemäß der Def rekursiver Sprachen hält M D auf jeder Eingabe w und akzeptiert genau dann, wenn w D. Wir konstruieren nun eine TM M, die M D als Unterprogramm verwendet: M startet M D auf der vorliegenden Eingabe und negiert anschließend die Ausgabe von M D. Die TM M entscheidet nun offensichtlich D. Ein Widerspruch zur Unentscheidbarkeit von D. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 26. Oktober / 20

7 Unentscheidbarkeit des Komplement der Diagonalsprache Illustration: Aus M D konstruieren wir M D. M D w M D accept reject accept reject Aber die Existenz von M D steht im Widerspruch zur Unentscheidbarkeit von D. Damit kann es M D nicht geben, und D ist nicht entscheidbar. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 26. Oktober / 20

8 Unterprogrammtechnik Die Beweistechnik aus diesem Satz lässt sich allgemein wie folgt zusammenfassen: Unterprogrammtechnik zum Nachweis von Unentscheidbarkeit Um nachzuweisen, dass eine Sprache L nicht rekursiv ist, genügt es zu zeigen, dass man durch Unterprogrammaufruf einer TM M L, die L entscheidet, ein anderers Problem L entscheiden kann, das bereits als nicht rekursiv bekannt ist. Im Folgenden üben wir die Unterprogrammtechnik an einigen Beispielsprachen, die auch das Halteproblem umfassen. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 26. Oktober / 20

9 Unentscheidbarkeit des Halteproblems Satz: Das Halteproblem H ist nicht rekursiv. Beweis: Wir nutzen die Unterprogrammtechnik: Sei M H eine TM die H entscheidet, also eine TM, die auf jede Eingabe hält, und nur Eingaben der Form M w akzeptiert, bei denen M auf w hält. Wir konstruieren eine TM M D mit M H als Unterprogramm, die D entscheidet, was im Widerspruch zur Nicht-Berechenbarkeit von D steht. Aus diesem Widerspruch ergibt sich die Unmöglichkeit der TM M H. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 26. Oktober / 20

10 Unentscheidbarkeit des Halteproblems Forts. Beweis Algorithmus der TM M D mit Unterprogramm M H: 1) Auf Eingabe w, berechne i, so dass gilt w = w i. 2) Berechne nun die Gödelnummer der i-ten TM, also M i. 3) Jetzt starte M H als Unterprogramm mit Eingabe M i w. 3.1) Falls M H akzeptiert, so simuliere das Verhalten von M i auf w (genau wie die universelle TM U dies tun würde). 3.2) Falls M H verwirft, so verwirf die Eingabe. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 26. Oktober / 20

11 Unentscheidbarkeit des Halteproblems Illustration: Aus M H konstruieren wir M D. w M D <M i> w i w=w i M H <M i> w i accept U accept reject reject Aber die Existenz von M D steht im Widerspruch zur Unntscheidbarkeit von D. Damit kann es M H nicht geben, und das Halteproblem H ist nicht entscheidbar. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 26. Oktober / 20

12 Unentscheidbarkeit des Halteproblems Forts. Beweis Wir müssen zeigen, dass M D korrekt arbeitet. Für die Korrektheit ist zu zeigen: 1 w D M D akzeptiert w 2 w D M D verwirft w Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 26. Oktober / 20

13 Unentscheidbarkeit des Halteproblems Forts. Beweis Sei w = w i. w D M D akzeptiert w Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 26. Oktober / 20

14 Unentscheidbarkeit des Halteproblems Forts. Beweis w D M D verwirft w Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 26. Oktober / 20

15 Unentscheidbarkeit des speziellen Halteproblems Das spezielle Halteproblem ist definiert durch H ɛ = { M M hält auf Eingabe ɛ}. Satz: Das spezielle Halteproblem H ɛ ist nicht rekursiv. Beweis: Wir nutzen die Unterprogrammtechnik. Aus einer TM M ɛ, die H ɛ entscheidet, konstruieren wir eine TM M H, die das nicht rekursive Halteproblem entscheiden würde. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 26. Oktober / 20

16 Unentscheidbarkeit des speziellen Halteproblems Beweis Die TM M H mit Unterprogramm M ɛ arbeitet wie folgt 1) Falls die Eingabe nicht mit einer korrekten Gödelnummer beginnt, verwirft M H die Eingabe. 2) Sonst, also auf Eingaben der Form M w, berechnet M H die Gödelnummer einer TM M w mit den folgenden Eigenschaften. Eigenschaften von M w Falls Mw die Eingabe ɛ erhält, so schreibt sie das Wort w aufs Band und simuliert die TM M mit der Eingabe w. Bei anderen Eingaben kann sich M w beliebig verhalten. 3) M H startet nun M ɛ mit der Eingabe M w und akzeptiert (verwirft) genau dann, wenn M ɛ akzeptiert (verwirft). Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 26. Oktober / 20

17 Unentscheidbarkeit des speziellen Halteproblems Illustration: Aus M ɛ konstruieren wir M H. M H x <M> w accept <M * w > M ε accept reject reject (Syntax) Aber die Existenz von M H steht im Widerspruch zur Unentscheidbarkeit von H. Damit kann es M ɛ nicht geben, und das spezielle Halteproblem H ɛ ist nicht entscheidbar. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 26. Oktober / 20

18 Unentscheidbarkeit des speziellen Halteproblems Beweis Wir müssen zeigen, dass M H korrekt arbeitet. Falls die Eingabe x nicht von der Form x = M w ist, so verwirft M H die Eingabe. Wir gehen nun davon aus, dass eine Eingabe der Form x = M w vorliegt. Für die Korrektheit ist somit noch zu zeigen: 1 M w H M H akzeptiert M w 2 M w H M H verwirft M w Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 26. Oktober / 20

19 Unentscheidbarkeit des speziellen Halteproblems Beweis M w H M H akzeptiert M w Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 26. Oktober / 20

20 Unentscheidbarkeit des speziellen Halteproblems Beweis M w H M H verwirft M w Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 26. Oktober / 20