Berechenbarkeit und Komplexität: Erläuterungen zur Turingmaschine

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1 Berechenbarkeit und Komplexität: Erläuterungen zur Turingmaschine Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik Algorithmen und Komplexität 24. Oktober 26

2 Programmierung der TM am Beispiel Beispiel: Wir entwickeln ein TM für die Sprache L = { n n n }. Sei Σ = {, }, Γ = {,, B}, Q = {q,..., q 6, q}. Unsere TM arbeitet in zwei Phasen: Phase : Teste, ob das Eingabewort von der Form i j für i und j ist. Phase 2: Test, ob i = j gilt. Phase verwendet q und q und wechselt bei Erfolg zu q 2. Phase 2 verwendet q 2 und q 6 und akzeptiert bei Erfolg.

3 Programmierung der TM am Beispiel - Phase δ B q (q,, R) (q,, R) reject q reject (q,, R) (q 2, B, L) q : Laufe von links nach rechts über die Eingabe bis ein Zeichen ungleich gefunden wird. Falls dieses Zeichen eine ist, gehe über in Zustand q. Sonst ist dieses Zeichen ein Blank. Verwirf die Eingabe. q : Gehe weiter nach rechts bis zum ersten Zeichen ungleich. Falls dieses Zeichen eine ist, verwirf die Eingabe. Sonst ist das gefundene Zeichen ein Blank. Bewege den Kopf um eine Position nach links auf die letzte gelesene. Wechsel in den Zustand q 2, Phase 2 beginnt.

4 Programmierung der TM am Beispiel - Phase 2 δ B q 2 reject (q 3, B, L) reject q 3 (q 3,, L) (q 3,, L) (q 4, B, R) q 4 (q 5, B, R) reject reject q 5 (q 6,, R) (q 6,, R) accept q 6 (q 6,, R) (q 6,, R) (q 2, B, L) q 2 : Kopf steht auf dem letzten Nichtblank. Falls dieses Zeichen eine ist, so lösche es, gehe nach links, und wechsel in den Zustand q 3. Sonst verwirf die Eingabe. q 3 : Bewege den Kopf auf das erste Nichtblank. Dann q 4. q 4 : Falls das gelesene Zeichen eine ist, ersetze es durch ein Blank und gehe nach q 5, sonst verwirf die Eingabe. q 5 : Wir haben jetzt die linkeste und die rechteste gelöscht. Falls Restwort leer, dann q 7 (akzeptiere), sonst q 6. q 6 : Laufe wieder zum letzten Nichtblank und starte erneut in q 2.

5 Konfigurationen und (direkte) Nachfolgekonfigurationen Definition 2..4 i) Eine Konfiguration einer TM ist ein String αqβ, für q Q und α, β Γ. Bedeutung: auf dem Band steht αβ eingerahmt von Blanks, der Zustand ist q, und der Kopf steht unter dem ersten Zeichen von β. ii) α q β ist direkte Nachfolgekonfiguration von αqβ, falls α q β in einem Rechenschritt aus αqβ ensteht. Wir schreiben αqβ α q β. iii) α q β ist Nachfolgekonfiguration von αqβ, falls α q β in endlich vielen Rechenschritten aus αqβ ensteht. Wir schreiben αqβ α q β. Bemerkung: insbesondere gilt αqβ αqβ.

6 Beispiel zum Umgang mit Konfigurationen Die für die Sprache L = { n n n } beschriebene TM liefert in Phase auf die Eingabe die folgende Konfigurationsfolge. Phase : q q q q q B q 2 Beobachtung: abgesehen von Blanks am Anfang und Ende des Strings sind die Konfigurationsbeschreibungen eindeutig.

7 Techniken zur Programmierung von TMs Trick : Speicher im Zustandsraum Für beliebiges festes k, können wir k Zeichen unseres Bandalphabets im Zustand abspeichern, indem wir den Zustandsraum um den Faktor Γ k vergrößern, d.h. wir setzen Q neu := Q Γ k.

8 Techniken zur Programmierung von TMs Trick 2: Mehrspurmaschinen Bei einer k-spurigen TM handelt es sich um eine TM, bei der das Band in k sogenannte Spuren eingeteilt ist, d.h. in jeder Bandzelle stehen k Zeichen, die der Kopf gleichzeitig einlesen kann. Das können wir erreichen, indem wir das Bandalphabet um k- dimensionale Vektoren erweitern, z.b. Γ neu := Σ Γ k.

9 Beispiel: Addition mittels 3-spuriger TM Die Verwendung einer mehrspurigen TM erlaubt es häufig, Algorithmen einfacher zu beschreiben. Wir verdeutlichen dies am Beispiel der Addition. Aus der Eingabe bin(i )#bin(i 2 ) für i, i 2 soll bin(i + i 2 ) bererechnet werden. Wir verwenden eine 3-spurige TM mit den Alphabeten Σ = {,, #} und Γ =,, #,,,,...,, B.

10 Beispiel: Addition mittels 3-spuriger TM Schritt : Transformation in Spurendarstellung: Schiebe die Eingabe so zusammen, dass die Binärkodierungen von i und i 2 in der ersten und zweiten Spur rechtsbündig übereinander stehen. Aus der Eingabe # wird beispielsweise B B. Schritt 2: Addition nach der Schulmethode indem der Kopf das Band von rechts nach links durchläuft. Überträge werden im Zustand gespeichert. Als Ergebnis auf Spur 3 ergibt sich B B. Schritt 3: Rücktransformation von Spur 3 ins Einspur-Format: Ausgabe.

11 Techniken zur Programmierung von TMs Standardtechniken aus der Programmierung können auch auf TMs implementiert werden. Schleifen haben wir bereits in Beispiel 2..3 gesehen. Variablen können realisiert werden, indem wir pro Variable eine Spur reservieren. Felder (Arrays) können ebenfalls auf einer Spur abgespeichert werden. Unterprogramme können implementiert werden indem wir eine Spur des Bandes als Prozedurstack verwenden. Basierend auf diesen Techniken können wir auch auf bekannte Algorithmen z.b. zum Sortieren von Daten zurückgreifen.

12 Turingmaschinen mit mehreren Bändern k-band TM Eine k-band-tm ist eine Verallgemeinerung der Turingmaschine und verfügt über k Arbeitsbänder mit jeweils einen unabhängigen Kopf. Die Zustandsübergangfunktion ist entsprechend von der Form δ : Q Γ k Q Γ k {L, R, N} k. Band fungiert als Ein-/Ausgabeband wie bei der (-Band) TM. Die Bänder 2,..., k sind initial mit B beschrieben.

13 Simulation k-band TM durch -Band TM Satz Eine k-band TM M, die mit Rechenzeit t(n) und Platz s(n) auskommt, kann von einer (-Band) TM M mit Zeitbedarf O(t 2 (n)) und Platzbedarf O(s(n)) simuliert werden. Beweis: Die TM M verwendet 2k Spuren. Nach Simulation des t-ten Schrittes für t t(n) gilt Die ungeraden Spuren, 3,..., 2k enthalten den Inhalt der Bänder,..., k von M. Auf den geraden Spuren, 2,..., 2k sind die Kopfposition auf diesen Bändern mit dem Zeichen # markiert. Diese Initialisierung der Spuren ist in Zeit O() möglich.

14 Simulation k-band TM durch -Band-TM Illustration simulierte 2 Band TM M a r b e i t s b a n d a r b e i t s b a n d 2 simulierende 4 spurige TM M (zu Beginn eines Simulationsschrittes) a r b e i t s b a n d # a r b e i t s b a n d 2 #

15 Simulation k-band TM durch -Band-TM Beweis Jeder Rechenschritt von M wird durch M wie folgt simuliert. Am Anfang stehe der Kopf von M auf dem linkesten # und M kenne den Zustand von M. Der Kopf von M läuft nach rechts bis zum rechtesten #, wobei die k Zeichen an den mit # makierten Spurpositionen im Zustand abgespeichert werden. Am rechtesten #-Zeichen angekommen kann M die Übergangsfunktion von M auswerten und kennt den neuen Zustand von M sowie die erforderlichen Übergänge auf den k Bändern. Nun läuft der Kopf von M zurück, verändert dabei die Bandinschriften an den mit # markierten Stellen und verschiebt, falls erforderlich, auch die #-Markierungen um eine Position nach links oder rechts.

16 Simulation k-band TM durch -Band-TM Beweis Laufzeitanalyse: Wieviele Bandpositionen können zwischen den linkesten und dem rechtesten # liegen? Nach t Schritten können diese Markierungen höchstens 2t Positionen auseinanderliegen. Also ist der Abstand zwischen diesen Zeichen und somit auch die Laufzeit zur Simulation eines Schrittes durch O(t(n)) beschränkt. Insgesamt ergibt das zur Simulation von t(n) Schritten eine Laufzeitschranke von O(t(n) 2 ).