1.5 Turing-Berechenbarkeit
|
|
- Benedikt Kohl
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 A.M. Turing (1937): Maschinenmodell zur exakten Beschreibung des Begriffs effektiv berechenbar Stift Mensch a c b b Rechenblatt a b b c Lese-/Schreibkopf endliche Kontrolle Turingmaschine Eine Turingmaschine arbeitet auf Wörtern, d.h. auf Ketten von Buchstaben (oder Zeichen) über einem endlichen Zeichenvorrat (Alphabet). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 78 / 309
2 Ein Alphabet Σ ist eine endliche, nicht-leere Menge, deren Elemente Buchstaben, Zeichen oder Symbole genannt werden. Beispiele: Σ 1 := {a, b} Σ 2 := {(,),+,,,/, a} Σ 3 := {0, 1,#} Durch Hintereinanderschreiben von Zeichen erhält man Wörter. n 1 : Σ n = Wörter der Länge n über Σ ε = Wort der Länge 0 (leeres Wort) Σ + := Σ n nicht-leere Wörter über Σ n 1 Σ := Σ + {ε} Wörter über Σ Beispiele: Σ 2 1 Σ 1 = {aa, ab, ba, bb} = {ε, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa,} Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 79 / 309
3 Für w Σ ist w die Länge von w: ε = 0 w = n für alle w Σ n, n 1. Für w Σ und a Σ ist w a die a-länge von w: ε a = 0 wb a = w a für b a wa a = w a + 1 Beachte: u Σ m v Σ n : uv Σ m+n u Σ m : εu = u = uε u, v, w Σ : (uv)w = u(vw) (Σ,,ε) ist Halbgruppe mit neutralem Element ε (d.h. ein Monoid) Jedes w Σ lässt sich eindeutig als Folge von Zeichen aus Σ schreiben. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 80 / 309
4 Lemma 1.25 Seien u, v, x, y Σ mit uv = xy. Dann gilt genau einer der drei folgenden Fälle: (1.) u = x und u = x und v = y. (2.) u > x, und es gibt ein z Σ + mit u = xz und y = zv. (3.) u < x, und es gibt ein z Σ + mit x = uz und v = zy. Abkürzende Schreibweise: u 0 = ε, u 1 = u und u n+1 = u n u für alle u Σ, n 1. Mit R : Σ Σ wird die Spiegelungsfunktion (engl.: reversal) bezeichnet: ε R = ε,(ua) R = au R für alle u Σ und a Σ. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 81 / 309
5 Eine Teilmenge L von Σ heißt eine Formale Sprache über Σ. Beispiele: (1.) L 1 := { w Σ 1 w ist eine ungerade Zahl} (2.) L 2 := { korrekt geklammerte arithmetische Ausdrücke über Σ 2 } z.b.: (a a) a+a/(a+a) a L 2 (((a))) L 2 ((a+) a( L 2 Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 82 / 309
6 Turingmaschine (TM) unendliches Band a b c # Lese-/Schreibkopf endliche Kontrolleinheit Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 83 / 309
7 Definition 1.26 Eine Turingmaschine (TM) ist gegeben durch ein 7-Tupel M = (Z,Σ,Γ,δ, z 0,, E): Z endliche Zustandsmenge Σ Eingabealphabet Γ Σ Arbeitsalphabet z 0 Z Startzustand Γ Σ Blank (Leerzeichen) E Z Endzustände δ : ((Z E) Γ) (Z Γ {L, R, N}) Überführungsfunktion Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 84 / 309
8 Rechenschritte von M: δ(z 1, a) = (z 1, b, L): 1 0 a b c z b b c z 1 Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 85 / 309
9 δ(z 2, a) = (z 2, b, R): 1 0 a b c z b b c z 2 Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 86 / 309
10 δ(z 3, a) = (z 3, b, N): 1 0 a b c z b b c z 3 Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 87 / 309
11 Definition 1.27 Eine Konfiguration der TM M ist ein Wort k Γ ZΓ +. k deckt den von verschiedenen Teil des Bandes ab. Beispiele: 10z 1 abc, 1z 1 0bbc, 10z 2 abc, 10bz 2 bc, 10z 3 abc, 10z 3 bbc Startkonfiguration für Eingabe x Σ + : z 0 x Startkonfiguration für Eingabe ε : z 0 Haltekonfiguration: uzv mit z E. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 88 / 309
12 Definition 1.28 (Berechnungsrelation :) a 1 a m z cb 2 b n falls δ(z, b 1 ) = (z, c, N) (m 0, n 1) a a 1 a m zb 1 b n 1 a m cz b 2 b n falls δ(z, b 1 ) = (z, c, R) (m 0, n 2) a 1 a m 1 z a m cb 2 b n falls δ(z, b 1 ) = (z, c, L) (m 1, n 1) Sonderfälle: a 1 a m zb 1 a 1 a m cz falls δ(z, b 1 ) = (z, c, R). zb 1 b n z cb 2 b n falls δ(z, b 1 ) = (z, c, L). bezeichnet den reflexiv-transitiven Abschluss von, d.h. k k gdw. m 0 k 0,,k m : k = k 0 k 1 k m = k Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 89 / 309
13 Eine Rechnung von M bei Eingabe x Σ ist eine Folge z 0 x = k 0 k 1 k 2. Eine Rechnung kann endlich oder unendlich sein. Eine erfolgreiche Rechnung von M bei Eingabe x Σ ist eine endliche Rechnung z 0 x = k 0 k 1 k 2 k m 1 k m, sodass k m eine Haltekonfiguration ist. T(M) = { x Σ erfolgreiche Rechnung von M mit Eingabe x } ist die von M akzeptierte Sprache. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 90 / 309
14 Beispiel TM für binäres +1 : M = ({z 0, z 1, z 2, z e },{0, 1},{0, 1, },δ, z 0,,{z e }) mit δ(z 0, 0) = (z 0, 0, R), δ(z 0, 1) = (z 0, 1, R), δ(z 0, ) = (z 1,, L) δ(z 1, 0) = (z 2, 1, L), δ(z 1, 1) = (z 1, 0, L), δ(z 1, ) = (z e, 1, N) δ(z 2, 0) = (z 2, 0, L), δ(z 2, 1) = (z 2, 1, L), δ(z 2, ) = (z e,, R) Beispielrechnung: z z z z 0 10z 1 1 1z 1 00 z z z e 110, also z z e 110. Bezeichnung für diese TM: Band := Band +1 Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 91 / 309
15 Definition 1.29 Eine Funktion f : Σ Σ heißt Turing-berechenbar, wenn es eine Turingmaschine M gibt, sodass für alle x, y Σ gilt: f(x) = y gdw. z 0 x M z ey (z e E). Ist f(x) undefiniert, so ist die Rechnung von M, die mit der Startkonfiguration z 0 x beginnt, unendlich, d.h., M hält ausgehend von z 0 x nicht an! Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 92 / 309
16 Beispiele: (1) Die Funktion bin_plus1: {0, 1} {0, 1} ist Turing-berechenbar. (2) Die Funktion R : Σ Σ w w R ist Turing-berechenbar. (3) Die Funktion 2 : Σ Σ w ww ist Turing-berechenbar. bin(n) bin(n+1) Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 93 / 309
17 Definition 1.30 Sei A Σ. Die Menge A heißt entscheidbar, wenn ihre charakteristische Funktion χ A Turing-berechenbar ist: χ A (w) = { 1, falls w A, 0, falls w A. Beispiel: Die Menge A = { w {a, b} w ist gerade } ist entscheidbar. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 94 / 309
18 Definition 1.31 Sei A Σ. Die Menge A heißt semi-entscheidbar, wenn die folgende Funktion χ A Turing-berechenbar ist: χ A (w) = { 1, falls w A, undefiniert, falls w A. Die Turingmaschine zur Berechnung von χ A hält also ausgehend von der Startkonfiguration z 0 w (w Σ ) genau dann an, wenn w A ist. Lemma 1.32 Jede entscheidbare Menge ist semi-entscheidbar. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 95 / 309
19 Definition 1.33 Eine Funktion f : N k N heißt Turing-berechenbar, wenn es eine Turingmaschine M gibt, sodass für alle n 1,,n k, m N gilt: f(n 1,,n k ) = m gdw. z 0 bin(n 1 )#bin(n 2 )##bin(n k ) M z ebin(m) (z e E). Ist f(n 1,,n k ) undefiniert, dann hält M ausgehend von der Startkonfiguration z 0 bin(n 1 )#bin(n 2 )##bin(n k ) nicht an! Beispiel: Die Funktion +1: N N n n+1 ist Turing-berechenbar. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 96 / 309
20 Eine Mehrband-Turingmaschine mit k 2 Bändern: a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b 8 b 9 b 10 c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 c 8 c 9 c 10 endliche Kontrolle δ : (Z Γ k ) (Z Γ k {L, R, N} k ) Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 97 / 309
21 Beispiel: Eine 2-Band-Turingmaschine zur Berechnung der Spiegelungsfunktion M = ({z 0, z 1, z 2, z 3, z e },{a, b},{a, b, },δ, z 0,,{z e }) mit: δ z 0 z 1 z 2 z 3 (a, a) (a, b) (a, ) (z 1, a,, R, N) (z 1, a,, R, N) (z 2,, a, L, R) (b, a) (b, b) (b, ) (z 1, b,, R, N) (z 1, b,, R, N) (z 2,, b, L, R) (, a) (z 3,, a, N, L) (, b) (z 3,, b, N, L) (, ) (z e,,, N, N) (z 2,,, L, N) (z 3,,, N, L) (z e,,, N, R) Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 98 / 309
22 Eingabe: w = aab Startkonfiguration: Band 1 a a b Band 2 z 0 Beschreibung: (z 0 aab, z 0 ) Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 99 / 309
23 Rechnung: (z 0 aab, z 0 ) M (az 1 ab, z 1 ) M (aaz 1 b, z 1 ) M (aabz 1, z 1 ) M (aaz 2 b, z 2 ) M (az 2 a, bz 2 ) M (z 2 a, baz 2 ) M (z 2, baaz 2 ) M (z 3, baz 3 a ) M (z 3, bz 3 aa ) M (z 3, z 3 baa ) M (z 3, z 3 baa ) M (z e, z e baa ) Haltekonfiguration: Band 1 b a a z e Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 100 / 309
24 Satz 1.34 Zu jeder Mehrband-TM M gibt es eine (Einband-) Turingmaschine M, die dieselbe Funktion berechnet wie M. Beweis: Mehrband-Turingmaschine M mit k Bändern: a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 Band 1 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b 8 b 9 Band 2 c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 c 8 c 9 Band 3 Zustand: z Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 101 / 309
25 Einband-TM M : a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 * b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b 8 b 9 * c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 c 8 c 9 * Band mit 2k Spuren Arbeitsalphabet: Γ := Γ (Γ { }) 2k Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 102 / 309
26 Arbeitsweise von M : Startkonfiguration: z 0 w (w Σ ) 1. Phase: w * * * 2. Phase: M simuliert M schrittweise. 3. Phase: Ergebnis von Spur 1 auf das gesamte Band kopieren. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 103 / 309
27 Ist M eine 1-Band-TM, so ist M(i, k) (i k) die k-band-tm, die auf Band i M simuliert, wobei alle anderen Bänder unverändert bleiben. Beispiele: (i) Band := Band+1(i, k). Schreibweise: Band i := Band i + 1 (ii) Band i := Band i 1. (iii) Band i := 0. (iv) Band i := Band j. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 104 / 309
28 Hintereinanderschalten von TMen M i = (Z i,σ,γ i,δ i, z i,, E i ), i = 1, 2 M : start M 1 M 2 stop M = (Z 1 Z 2,Σ,Γ 1 Γ 2,δ, z 1,, E 2 ) mit δ := δ 1 δ 2 {(z e, a, z 2, a, N) z e E 1, a Γ 1 }. Beispiele: (i) start Band := Band + 1 Band := Band + 1 Band := Band + 1 stop Schreibweise: Band := Band + 3 Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 105 / 309
29 Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie (ii) start M z e 1 M 1 stop M 2 z e2 stop (iii) Band = 0? : Z := {z 0, z 1, ja,nein}, E = {ja,nein}, δ : (z 0, a) (nein, a, N) für a 0 (z 0, 0) (z 1, 0, R) (z 1, a) (nein, a, L) für a (z 1, ) (ja,, L) Hieraus: Band i=0? Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 106 / 309
30 (iv) start Band i = 0? M nein ja stop Schreibweise: WHILE Band i 0 DO M. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 107 / 309
31 Beobachtung: Die Turingmaschinen bilden eine einfache Programmiersprache: Die Funktionen +c und c (c N) sowie f(x 1,,x n ) = x i (1 i n) sind TM-berechenbar. Diese Sprache enthält einfache Wertzuweisungen. Sie enthält einfache Abfragen und while-schleifen. Das Hintereinanderschalten von Programmen ist möglich. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 108 / 309
32 Satz 1.35 Turingmaschinen können WHILE-Programme simulieren, d.h. jede WHILE-berechenbare Funktion ist auch Turing-berechenbar. Satz 1.36 Jede Turingmaschine kann durch ein GOTO-Programm simuliert werden, d.h. jede Turing-berechenbare Funktion ist auch GOTO-berechenbar. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 109 / 309
33 Beweis: Sei M = (Z,Σ,Γ,δ, z 1,, E) eine TM, die die Funktion f : N k N berechnet. Für alle n 1,,n k N: f(n 1,,n k ) ist definiert: z 1 bin(n 1 )#bin(n 2 )##bin(n k ) M z ebin(f(n 1,,n k )) f(n 1,,n k ) ist nicht definiert: z 1 bin(n 1 )#bin(n 2 )##bin(n k ) M M M GOTO-Programm M zur Simulation von M: M 1 : P 1 ; M 2 : P 2 ; M 3 : P 3 P 1 : (n 1,,n k ) Darstellung der Konfiguration z 1 bin(n 1 )##bin(n k ) in x, y, z. P 2 : schrittweise Simulation von M auf x, y, z. P 3 : Endwerte von x, y, z f(n 1,,n k ). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 110 / 309
34 Kodierung von TM-Konfigurationen Z = {z 1,,z k }, Γ = {a 1,,a m }, b > Γ Konfiguration: a i1 a i2 a ip z l a j1 a j2 a jq Kodierung: x = (i 1 i 2 i p ) b y = (j q j 2 j 1 ) b z = l p mit (i 1 i p ) b := i µ b p µ und (j q j 1 ) b := µ=1 q ν=1 j ν b ν 1 Beispiel Γ = {a 1, a 2, a 3, a 4 }, b = 5: Konfiguration: a 1 a 2 a 1 z 2 a 3 a 4 Kodierung: x = (a 1 a 2 a 1 ) 5 = = 36 y = (a 4 a 3 ) 5 = = 23 z = 2 P 1 und P 3 : elementare arithmetische Operationen. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 111 / 309
35 Beispiel: Eingabe: (10, 6). Kodierung: 0 a 1, 1 a 2, # a 3, a 4 und b = 5. Eingabekonf.: z 1 bin(10)#bin(6) = z #110 = z 1 a 2 a 1 a 2 a 1 a 3 a 2 a 2 a 1. WHILE-Programm P 1 : z 1; x 0; y 0; WHILE x 2 0 DO x 3 (x 2 MOD 2)+1; x 2 x 2 DIV 2; y y 5+x 3 END; y y 5+3; WHILE x 1 0 DO x 3 (x 1 MOD 2)+1; x 1 x 1 DIV 2; y y 5+x 3 END; Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 112 / 309
36 GOTO-Programm M 2 : P 2 M 2 : a := y MOD b; IF (z = 1) AND (a = 1) THEN GOTO M 1,1 ; IF (z = 1) AND (a = 2) THEN GOTO M 1,2 ;. IF (z = k) AND (a = m) THEN GOTO M k,m ; M 1,1 : Programmstück zur Simulation von δ(z 1, a 1 ) GOTO M 2 ;. M k,m : Programmstück zur Simulation von δ(z k, a m ) GOTO M 2 ; Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 113 / 309
37 Simulation eines TM-Schritts: δ(z i, a j ) = (z i, a j, L): a i1 a ip z i a }{{}}{{} j a j2 a jq }{{} x z y M a i1 a ip 1 }{{} x z i a }{{} ip a j a j2 a jq }{{} z y GOTO-Programmstück: z := i ; y := y DIV b; y := y b + j ; y := y b +(x MOD b); x := x DIV b; Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 114 / 309
38 Übersicht GOTO WHILE TM µ-rekursiv LOOP prim. rekursiv Die Ackermannfunktion a(.,.) ist WHILE-berechenbar und total, aber sie ist nicht LOOP-berechenbar. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 115 / 309
2.4 Kontextsensitive und Typ 0-Sprachen
Definition 2.43 Eine Typ 1 Grammatik ist in Kuroda Normalform, falls alle Regeln eine der folgenden 4 Formen haben: Dabei: A, B, C, D V und a Σ. Satz 2.44 A a, A B, A BC, AB CD. Für jede Typ 1 Grammatik
MehrBerechenbarkeit. Script, Kapitel 2
Berechenbarkeit Script, Kapitel 2 Intuitiver Berechenbarkeitsbegriff Turing-Berechenbarkeit WHILE-Berechenbarkeit Church sche These Entscheidungsprobleme Unentscheidbarkeit des Halteproblems für Turingmaschinen
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Johannes Köbler Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin WS 2011/12 Die Registermaschine (random access machine, RAM) 0 I 0 1 I 1 2 I 2 m I m Programm
MehrLOOP-Programme: Syntaktische Komponenten
LOOP-Programme: Syntaktische Komponenten LOOP-Programme bestehen aus folgenden Zeichen (syntaktischen Komponenten): Variablen: x 0 x 1 x 2... Konstanten: 0 1 2... Operationssymbole: + Trennsymbole: ; :=
Mehr1.2 LOOP-, WHILE- und GOTO-Berechenbarkeit
Die Programmiersprache LOOP (i) Syntaktische Komponenten: Variable: x 0, x 1, x 2,... Konstanten: 0, 1, 2,... Trennsymbole: ; := Operationszeichen: + Schlüsselwörter: LOOP DO END (ii) LOOP-Programme: Wertzuweisungen:
Mehr1 Einführung. 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen. 3 Berechnungsmodelle. 4 Unentscheidbarkeit. 5 Unentscheidbare Probleme. 6 Komplexitätstheorie
1 Einführung 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen 3 Berechnungsmodelle 4 Unentscheidbarkeit 5 Unentscheidbare Probleme 6 Komplexitätstheorie 15 Ziele vgl. AFS: Berechnungsmodelle für Typ-0- und Typ-1-Sprachen (Nicht-)Abschlußeigenschaften
Mehr1 falls n ein Anfangsabschnitt der Dezimalbruchentwicklung von π ist, f(n) = 0 sonst
21 2 Berechenbarkeit Dieses Kapitel entspricht im Wesentlichen dem Kapitel 2 (Berechenbarkeitstheorie) in [9] Jeder, der programmieren kann, weiß, dass es so etwas wie einen intuitiven Berechenbarkeitsbegriff
MehrTheoretische Informatik SS 03 Übung 3
Theoretische Informatik SS 03 Übung 3 Aufgabe 1 a) Sind die folgenden Funktionen f : partiell oder total: f(x, y) = x + y f(x, y) = x y f(x, y) = x y f(x, y) = x DIV y? Hierbei ist x DIV y = x y der ganzzahlige
Mehr11.1 Kontextsensitive und allgemeine Grammatiken
Theorie der Informatik 7. April 2014 11. Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Theorie der Informatik 11. Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen 11.1 Kontextsensitive und allgemeine Grammatiken Malte Helmert
MehrTheoretische Informatik I (Grundzüge der Informatik I)
Theoretische Informatik I (Grundzüge der Informatik I) Literatur: Buch zur Vorlesung: Uwe Schöning, Theoretische Informatik - kurzgefasst. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin, 4. Auflage, 2001.
MehrFormale Sprachen und Automaten
Turingmaschinen Formale Sprachen und Automaten Das Konzept der Turingmaschine wurde von dem Englischen Mathematiker Alan M. Turing (1912-1954) ersonnen. Turingmaschinen, Typ-0- und Typ-1-Grammatiken Der
MehrTuring-Maschinen. Definition 1. Eine deterministische Turing-Maschine (kurz DTM) ist ein 6- Dem endlichen Alphabet Σ von Eingabesymbolen.
Turing-Maschinen Nachdem wir endliche Automaten und (die mächtigeren) Kellerautomaten kennengelernt haben, werden wir nun ein letztes, noch mächtigeres Automatenmodell kennenlernen: Die Turing-Maschine
MehrMächtigkeit von WHILE-Programmen
Mächtigkeit von WHILE-Programmen Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 26. November 2009 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit
Mehr8. Turingmaschinen und kontextsensitive Sprachen
8. Turingmaschinen und kontextsensitive Sprachen Turingmaschinen (TM) von A. Turing vorgeschlagen, um den Begriff der Berechenbarkeit formal zu präzisieren. Intuitiv: statt des Stacks bei Kellerautomaten
MehrFormale Sprachen. Script, Kapitel 4. Grammatiken
Formale Sprachen Grammatiken Script, Kapitel 4 erzeugen Sprachen eingeführt von Chomsky zur Beschreibung natürlicher Sprache bedeutend für die Syntaxdefinition und -analyse von Programmiersprachen Automaten
MehrTheoretische Informatik 2
Theoretische Informatik 2 Johannes Köbler Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin WS 2009/10 Die Chomsky-Hierarchie Definition Sei G = (V, Σ, P, S) eine Grammatik. 1 G heißt vom Typ 3 oder
MehrTuring-Maschine. Berechenbarkeit und Komplexität Turing-Maschinen. Turing-Maschine. Beispiel
Berechenbarkeit und Komplexität Turing-Maschinen Wolfgang Schreiner Wolfgang.Schreiner@risc.jku.at Research Institute for Symbolic Computation (RISC) Johannes Kepler University, Linz, Austria http://www.risc.jku.at
MehrKapitel: Die Chomsky Hierarchie. Die Chomsky Hierarchie 1 / 14
Kapitel: Die Chomsky Hierarchie Die Chomsky Hierarchie 1 / 14 Allgemeine Grammatiken Definition Eine Grammatik G = (Σ, V, S, P) besteht aus: einem endlichen Alphabet Σ, einer endlichen Menge V von Variablen
MehrAlgorithmen mit konstantem Platzbedarf: Die Klasse REG
Algorithmen mit konstantem Platzbedarf: Die Klasse REG Sommerakademie Rot an der Rot AG 1 Wieviel Platz brauchen Algorithmen wirklich? Daniel Alm Institut für Numerische Simulation Universität Bonn August
MehrRekursiv aufzählbare Sprachen
Kapitel 4 Rekursiv aufzählbare Sprachen 4.1 Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Durch Zulassung komplexer Ableitungsregeln können mit Grammatiken größere Klassen als die kontextfreien Sprachen beschrieben
MehrDefinition (Reguläre Ausdrücke) Sei Σ ein Alphabet, dann gilt: (ii) ε ist ein regulärer Ausdruck über Σ.
Reguläre Ausdrücke Definition (Reguläre Ausdrücke) Sei Σ ein Alphabet, dann gilt: (i) ist ein regulärer Ausdruck über Σ. (ii) ε ist ein regulärer Ausdruck über Σ. (iii) Für jedes a Σ ist a ein regulärer
MehrTheoretische Informatik 1
heoretische Informatik 1 uringmaschinen David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung echnische Universität Graz 11.03.2016 Übersicht uring Maschinen Algorithmusbegriff konkretisiert
MehrGTI. Hannes Diener. 6. Juni - 13. Juni. ENC B-0123, diener@math.uni-siegen.de
GTI Hannes Diener ENC B-0123, diener@math.uni-siegen.de 6. Juni - 13. Juni 1 / 49 Die Turingmaschine war das erste (bzw. zweite) formale Modell der Berechenbarkeit. Sie wurden bereits 1936 (also lange
Mehr11. Woche: Turingmaschinen und Komplexität Rekursive Aufzählbarkeit, Entscheidbarkeit Laufzeit, Klassen DTIME und P
11 Woche: Turingmaschinen und Komplexität Rekursive Aufzählbarkeit, Entscheidbarkeit Laufzeit, Klassen DTIME und P 11 Woche: Turingmaschinen, Entscheidbarkeit, P 239/ 333 Einführung in die NP-Vollständigkeitstheorie
MehrTheoretische Informatik. Alphabete, Worte, Sprachen
Theoretische Informatik Alphabete, Worte, Sprachen Alphabete, Worte, Sprachen 1. Alphabete und Worte Definitionen, Beispiele Operationen mit Worten Induktionsbeweise 2. Sprachen Definition und Beispiele
MehrAusgewählte unentscheidbare Sprachen
Proseminar Theoretische Informatik 15.12.15 Ausgewählte unentscheidbare Sprachen Marian Sigler, Jakob Köhler Wolfgang Mulzer 1 Entscheidbarkeit und Semi-Entscheidbarkeit Definition 1: L ist entscheidbar
MehrZusammenfassung Grundzüge der Informatik 4
Zusammenfassung Grundzüge der Informatik 4 Sommersemester 04 Thorsten Wink 21. September 2004 Version 1.2 Dieses Dokument wurde in L A TEX 2εgeschrieben. Stand: 21. September 2004 Inhaltsverzeichnis 1
MehrEinführung in Berechenbarkeit, Komplexität und formale Sprachen
Johannes Blömer Skript zur Vorlesung Einführung in Berechenbarkeit, Komplexität und formale Sprachen Universität Paderborn Wintersemester 2011/12 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 1.1 Ziele der Vorlesung...................................
MehrDeterministische Turing-Maschinen (DTM) F3 03/04 p.46/395
Deterministische Turing-Maschinen (DTM) F3 03/04 p.46/395 Turing-Machine Wir suchen ein Modell zur formalen Definition der Berechenbarkeit von Funktionen und deren Zeit- und Platzbedarf. Verschiedene Modelle
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik Musterlösungen zu ausgewählten Übungsaufgaben
Dieses Dokument soll mehr dazu dienen, Beispiele für die formal korrekt mathematische Bearbeitung von Aufgaben zu liefern, als konkrete Hinweise auf typische Klausuraufgaben zu liefern. Die hier gezeigten
MehrTheoretische Informatik 1
heoretische Informatik 1 eil 2 Bernhard Nessler Institut für Grundlagen der Informationsverabeitung U Graz SS 2009 Übersicht 1 uring Maschinen uring-berechenbarkeit 2 Kostenmaße Komplexität 3 Mehrband-M
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Dr. Werner Meixner, Dr. Alexander Krauss Sommersemester 2 Lösungsblatt 3. April 2 Einführung in die Theoretische Informatik
Mehr3. Turingmaschinen FORMALISIERUNG VON ALGORITHMEN. Turingmaschinen Registermaschinen Rekursive Funktionen UNTERSCHEIDUNGSMERKMALE DER ANSÄTZE:
FORMALISIERUNG VON ALGORITHMEN Wegen der beobachteten Zusammenhänge zwischen Berechnungs-, Entscheidungs- und Aufzählungsverfahren genügt es Berechnungsverfahren zu formalisieren. Weiter genügt es Verfahren
MehrSyntax von LOOP-Programmen
LOOP-Berechenbarkeit Syntax von LOOP-Programmen Definition LOOP-Programme bestehen aus: Variablen: x 0, x 1, x 2, x 3,... Konstanten: 0, 1, 2, 3,... Trennsymbolen:; und := Operationen: + und Befehlen:
MehrTheoretische Informatik Mitschrift
Theoretische Informatik Mitschrift 2. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Beispiel: Syntaxdefinition in BNF :=
MehrFormale Methoden 1. Gerhard Jäger 9. Januar Uni Bielefeld, WS 2007/2008 1/23
1/23 Formale Methoden 1 Gerhard Jäger Gerhard.Jaeger@uni-bielefeld.de Uni Bielefeld, WS 2007/2008 9. Januar 2008 2/23 Automaten (informell) gedachte Maschine/abstraktes Modell einer Maschine verhält sich
MehrTheoretische Informatik II
Theoretische Informatik II Einheit 5 Theorie der Berechenbarkeit 1. Turing-Berechenbarkeit 2. Rekursive Funktionen 3. Funktionale und logische Programme 4. Elementare Berechenbarkeitstheorie 5. Unlösbare
MehrFormale Sprachen. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie. Rudolf FREUND, Marian KOGLER
Formale Sprachen Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Rudolf FREUND, Marian KOGLER Grammatiken Das fundamentale Modell zur Beschreibung von formalen Sprachen durch Erzeugungsmechanismen sind Grammatiken.
MehrWortproblem für kontextfreie Grammatiken
Wortproblem für kontextfreie Grammatiken G kontextfreie Grammatik. w Σ w L(G)? Wortproblem ist primitiv rekursiv entscheidbar. (schlechte obere Schranke!) Kellerautomat der L(G) akzeptiert Ist dieser effizient?
MehrReferat rekursive Mengen vs. rekursiv-aufzählbare Mengen
Kapitel 1: rekursive Mengen 1 rekursive Mengen 1.1 Definition 1.1.1 informal Eine Menge heißt rekursiv oder entscheidbar, wenn ihre charakteristische Funktion berechenbar ist. 1.1.2 formal Eine Menge A
Mehrb) Eine nd. k-band-turingmaschine M zur Erkennung einer m-stelligen Sprache L (Σ ) m ist ein 8-Tupel
2. Turingmaschinen Zur Formalisierung von Algorithmen benutzen wir hier Turingmaschinen. Von den vielen Varianten dieses Konzeptes, die sich in der Literatur finden, greifen wir das Konzept der on-line
MehrTheoretische Informatik. Grammatiken. Grammatiken. Grammatiken. Rainer Schrader. 9. Juli 2009
Theoretische Informatik Rainer Schrader Institut für Informatik 9. Juli 2009 1 / 41 2 / 41 Gliederung die Chomsky-Hierarchie Typ 0- Typ 3- Typ 1- Die Programmierung eines Rechners in einer höheren Programmiersprache
Mehr7 Endliche Automaten. 7.1 Deterministische endliche Automaten
7 Endliche Automaten 7.1 Deterministische endliche Automaten 7.2 Nichtdeterministische endliche Automaten 7.3 Endliche Automaten mit g-übergängen Endliche Automaten 1 7.1 Deterministische endliche Automaten
MehrLemma Für jede monotone Grammatik G gibt es eine kontextsensitive
Lemma Für jede monotone Grammatik G gibt es eine kontextsensitive Grammatik G mit L(G) = L(G ). Beweis im Beispiel (2.): G = (V,Σ, P, S) : P = {S asbc, S abc, CB BC, ab ab, bb bb, bc bc, cc cc}. (i) G
MehrEinführung in die Informatik
Universität Innsbruck - Institut für Informatik Datenbanken und Informationssysteme Prof. Günther Specht, Eva Zangerle 24. November 28 Einführung in die Informatik Übung 7 Allgemeines Für die Abgabe der
MehrBuK 2000 Lösungen Übungen
BuK 2000 Lösungen Übungen Dies sind private Lösungen, KEINE Musterlösungen, und somit nicht unbedingt korrekt! Trotzdem helfen Sie vielleicht. Wenn jemand die Musterlösungen hat her damit! http://s-inf.de
MehrDeterministischer endlicher Automat A ohne Ausgabe (deterministischer endlicher Akzeptor)
Deterministischer endlicher Automat A ohne Ausgabe (deterministischer endlicher Akzeptor) wobei A = (E, Z, f, z 0, F ) E Z f : Z E Z z 0 Z Eingabealphabet Zustandsmenge (Zustands )Überführungsfunktion
MehrWir suchen Antworten auf die folgenden Fragen: Was ist Berechenbarkeit? Wie kann man das intuitiv Berechenbare formal fassen?
Einige Fragen Ziel: Wir suchen Antworten auf die folgenden Fragen: Wie kann man das intuitiv Berechenbare formal fassen? Was ist ein Algorithmus? Welche Indizien hat man dafür, dass ein formaler Algorithmenbegriff
MehrMotivation natürliche Sprachen
Motivation natürliche Sprachen (Satz) (Substantivphrase)(Verbphrase) (Satz) (Substantivphrase)(Verbphrase)(Objektphrase) (Substantivphrase) (Artikel)(Substantiv) (Verbphrase) (Verb)(Adverb) (Substantiv)
Mehra n b n c n ist kontextsensitiv kontextfreie Sprachen (Typ 2) Abschnitt 3.3 kontextfreie Sprachen: Abschlusseigenschaften Chomsky NF und binäre Bäume
Kap 3: Grammatiken Chomsky-Hierarchie 32 Kap 3: Grammatiken Kontextfreie 33 a n b n c n ist kontextsensiti Beispiel 3111 modifizieren: Σ = {a, b, c G = (Σ, V, P, X ) V = {X, Y, Z P : X ε X axyz ZY YZ ay
MehrTheoretische Informatik 2 (WS 2006/07) Automatentheorie und Formale Sprachen / Kontextfreie Sprachen und Kellerautomaten
Inhalt 1 Einführung 2 Automatentheorie und Formale Sprachen Grammatiken Reguläre Sprachen und endliche Automaten Kontextfreie Sprachen und Kellerautomaten Kontextsensitive und Typ 0-Sprachen 3 Berechenbarkeitstheorie
MehrKonfiguration einer TM als String schreiben: Bandinschrift zwischen den Blank-Zeichen Links von der Kopfposition Zustand einfügen.
H MPKP Konfiguration einer TM als String schreiben: Bandinschrift zwischen den Blank-Zeichen Links von der Kopfposition Zustand einfügen. Beispiel: 1234q567 bedeutet: Kopf steht auf 5, Zustand ist q. Rechnung:
MehrTheorie der Informatik (CS206) Kellerautomat, Postfix-Notation, Turing-Maschine, Busy Beaver
Theorie der Informatik (CS206) Kellerautomat, Postfix-Notation, Turing-Maschine, Busy Beaver 20. März 2013 Proff Malte Helmert und Christian Tschudin Departement Mathematik und Informatik, Universität
Mehr... = für δ(z, a i ) = z. Abbildung 4.4: Interpretation der Arbeitsweise eines endlichen Automaten
3 Reguläre Sprachen 63 3 Reguläre Sprachen In diesem Kapitel beschäftigen wir uns etwas näher mit den regulären Sprachen, insbesondere mit der Möglichkeit verschiedener Charakterisierungen und den Eigenschaften
MehrTheoretische Informatik Testvorbereitung Moritz Resl
Theoretische Informatik Testvorbereitung Moritz Resl Bestandteile einer Programmiersprache: a) Syntax (Form): durch kontextfreie Grammatik beschrieben b) Semantik (Bedeutung) 1.) Kontextfreie Sprachen
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Johannes Köbler Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin WS 2011/12 Deterministische Kellerautomaten Von besonderem Interesse sind kontextfreie Sprachen,
MehrTheorie der Informatik
Theorie der Informatik 6. Formale Sprachen und Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 17. März 2014 Einführung Beispiel: Aussagenlogische Formeln Aus dem Logikteil: Definition (Syntax
MehrTeil V. Weiterführende Themen, Teil 1: Kontextsensitive Sprachen und die Chomsky-Hierarchie
Teil V Weiterführende Themen, Teil 1: Kontextsensitive Sprachen und die Chomsky-Hierarchie Zwei Sorten von Grammatiken Kontextsensitive Grammatik (CSG) (Σ, V, P, S), Regeln der Form αaβ αγβ α, β (Σ V ),
MehrTheorie der Informatik
Theorie der Informatik 13. LOOP-, WHILE- und GOTO-Berechenbarkeit Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 9. April 2014 Überblick: Vorlesung Vorlesungsteile I. Logik II. Automatentheorie und formale
MehrTheoretische Informatik
Theoretische Informatik Lektion 10: Entscheidbarkeit Kurt-Ulrich Witt Wintersemester 2013/14 Kurt-Ulrich Witt Theoretische Informatik Lektion 10 1/15 Inhaltsverzeichnis Kurt-Ulrich Witt Theoretische Informatik
MehrEndliche Sprachen. Folgerung: Alle endlichen Sprachen sind regulär. Beweis: Sei L={w 1,,w n } Σ*. Dann ist w 1 +L+w n ein regulärer Ausdruck für
Endliche Sprachen Folgerung: Alle endlichen Sprachen sind regulär. Beweis: Sei L={w 1,,w n } Σ*. Dann ist w 1 +L+w n ein regulärer Ausdruck für L. 447 Zusammenfassung Beschreibungsformen für reguläre Sprachen:
Mehr1 Σ endliches Terminalalphabet, 2 V endliche Menge von Variablen (mit V Σ = ), 3 P (V (Σ ΣV )) {(S, ε)} endliche Menge von Regeln,
Theorie der Informatik 8. März 25 8. Reguläre Sprachen I Theorie der Informatik 8. Reguläre Sprachen I 8. Reguläre Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger 8.2 DFAs Universität Basel 8. März 25 8.3 NFAs
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik Turing-Maschine, Berechenbarkeit INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 07.11.2011 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen
MehrEinführung in Berechenbarkeit, Komplexität und Formale Sprachen
Einführung in Berechenbarkeit, Komplexität und Formale Sprachen V7, 3.11.09 Willkommen zur Vorlesung Einführung in Berechenbarkeit, Komplexität und Formale Sprachen Friedhelm Meyer auf der Heide 1 Rückblick
MehrWas bisher geschah: Formale Sprachen
Was bisher geschah: Formale Sprachen Alphabet, Wort, Sprache Operationen und Relationen auf Wörtern und Sprachen Darstellung unendlicher Sprachen durch reguläre Ausdrücke (Syntax, Semantik, Äquivalenz)
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2016 20.04.2016 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Terminologie 2. Endliche Automaten und reguläre Sprachen
MehrTheoretische Informatik SS 03 Übung 4
Fakten aus Übung 3 Theoretische Informatik SS 03 Übung 4 In Übung 3 wurden einigen Fakten bewiesen, die für diese Übung benötigt werden. Folgende Konstrukte können mit LOOP-Programmen simuliert werden:
MehrInformatik II. Registermaschinen. Registermaschinen. Registermaschinen. Rainer Schrader. 7. Dezember 2005
Informatik II Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 7. Dezember 25 / 82 2 / 82 Gliederung Aufbau und Eigenschaften universelle RAM s RAM-Berechenbarkeit Nichtentscheidbarkeit Reduzierbarkeit
MehrRekursive Funktionen Basisfunktionen
Rekursive Funktionen Basisfunktionen die nullstellige Funktion Z, die den konstanten Wert 0 liefert, die Funktion S : N N, bei der jeder natürlichen Zahl ihr Nachfolger zugeordnet wird, die Funktion P
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 22.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Terminologie 2. Endliche Automaten und reguläre Sprachen
MehrTheoretische Informatik für Wirtschaftsinformatik und Lehramt
Theoretische Informatik für Wirtschaftsinformatik und Lehramt Reguläre Sprachen Priv.-Doz. Dr. Stefan Milius stefan.milius@fau.de Theoretische Informatik Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg
MehrGrammatiken. Eine Grammatik G mit Alphabet Σ besteht aus: Variablen V. Startsymbol S V. Kurzschreibweise G = (V, Σ, P, S)
Grammatiken Eine Grammatik G mit Alphabet Σ besteht aus: Variablen V Startsymbol S V Produktionen P ( (V Σ) \ Σ ) (V Σ) Kurzschreibweise G = (V, Σ, P, S) Schreibweise für Produktion (α, β) P: α β 67 /
MehrSprachen und Automaten. Tino Hempel
Sprachen und Automaten 11 Tino Hempel Bisherige Automaten Automat mit Ausgabe/Mealy-Automat Akzeptor, Sprache eines Akzeptors Grenze: L = {a n b n } Kellerautomat erkennt L = {a n b n } Grenze:? T. Hempel
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Dr. Werner Meixner, Dr. Alexander Krauss Sommersemester 2010 Lösungsblatt 3 14. Mai 2010 Einführung in die Theoretische
MehrBerechenbarkeits- und Komplexitätstheorie
Berechenbarkeits- und Komplexitätstheorie Verschiedene Berechenbarkeitsbegriffe, Entscheidbarkeit von Sprachen, Wachstumsordnungen und Komplexitätsklassen Inhaltsübersicht und Literatur Verschiedene Berechenbarkeitsbegriffe:
Mehr(Prüfungs-)Aufgaben zu formale Sprachen
(Prüfungs-)Aufgaben zu formale Sprachen (siehe auch bei den Aufgaben zu endlichen Automaten) 1) Eine Grammatik G sei gegeben durch: N = {S, A}, T = {a, b, c, d}, P = { (S, Sa), (S, ba), (A, ba), (A, c),
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 23.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Terminologie 2. Endliche Automaten und reguläre Sprachen
MehrFORMALE SYSTEME. Sprachen beschreiben. Wiederholung. Wie kann man Sprachen beschreiben? 2. Vorlesung: Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie
Wiederholung FORMALE SYSTEME 2. Vorlesung: Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Markus Krötzsch Formale Sprachen sind in Praxis und Theorie sehr wichtig Ein Alphabet ist eine nichtleere, endliche Menge
MehrAutomaten und Formale Sprachen
Automaten und Formale Sprachen Prof. Dr. Dietrich Kuske FG Theoretische Informatik, TU Ilmenau Wintersemester 2011/12 WS 11/12 1 Organisatorisches zur Vorlesung Informationen, aktuelle Version der Folien
MehrSuche nach einem solchen Kreis. Endlichkeitstest. Vereinigung und Durchschnitt. Abschlusseigenschaften
Endlichkeitstest Eingabe: DFA/NFA M. Frage: Ist die von M akzeptierte Sprache endlich? Nahe liegende Beobachtung: In einem DFA/NFA, der eine unendliche Sprache akzeptiert, muss es einen Kreis geben, der
MehrUniversität des Saarlandes Theoretische Informatik (WS 2015) Lösungsvorschlag 4
Universität des Saarlandes Theoretische Informatik (WS 2015) Fakultät 6.2 Informatik Team der Tutoren Lösungsvorschlag 4 Aufgabe 4.1 (16 Punkte) Klassifizieren Sie die folgenden Sprachen nach den Kategorien
MehrDeterministische endliche Automaten - Wiederholung
Deterministische endliche Automaten - Wiederholung Die folgende Klasse Zahl stellt einen endlichen Automaten dar. Ermittle die Größen des Automaten und zeichne den Zustandsgraphen. Gib Zeichenfolgen an,
MehrFormale Sprachen. Spezialgebiet für Komplexe Systeme. Yimin Ge. 5ahdvn. 1 Grundlagen 1. 2 Formale Grammatiken 4. 3 Endliche Automaten 5.
Formale Sprachen Spezialgebiet für Komplexe Systeme Yimin Ge 5ahdvn Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 2 Formale Grammatien 4 Endliche Automaten 5 4 Reguläre Sprachen 9 5 Anwendungen bei Abzählproblemen
MehrFormale Sprachen. Script, Kapitel 4. Grammatiken
Formale Sprachen Grammatiken Script, Kapitel 4 erzeugen Sprachen eingeführt von Chomsky zur Beschreibung natürlicher Sprachen bedeutend für die Syntaxdefinition von Programmiersprachen (Compilerbau) Automaten
MehrDef.: Die Menge der LOOP-Programme ist induktiv wie folgt definiert:
3. LOOP-, WHILE- und GOTO-Berechenbarkeit 3.1 LOOP-Programme Komponenten: Variablen: x 0, x 1, x 2,, y, z, Konstanten: 0, 1, 2, Trennsymbole: ; := Operationszeichen: +, - Schlüsselwörter: LOOP, DO, END
MehrDie Ackermannfunktion
Die Ackermannfunktion Slide 1 Die Ackermannfunktion Hans U. Simon (RUB) Email: simon@lmi.rub.de Homepage: http://www.ruhr-uni-bochum.de/lmi Die Ackermannfunktion Slide 2 Eine Frage zu Anfang Ist jede intuitiv
MehrKontextsensitive und Typ 0 Sprachen
Kontextsensitive und Typ 0 Sprachen Slide 1 Kontextsensitive und Typ 0 Sprachen Hans U. Simon (RUB) Email: simon@lmi.rub.de Homepage: http://www.ruhr-uni-bochum.de/lmi Kontextsensitive und Typ 0 Sprachen
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
1 Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg Wintersemester 2014/15 2 Kontextfreie Grammatiken Definition: Eine Grammatik G
MehrGrundbegriffe der Informatik Tutorium 2
Grundbegriffe der Informatik Tutorium 2 Tutorium Nr. 32 Philipp Oppermann 13. November 2013 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum
MehrBerechenbarkeit und Komplexität Endliche Automaten
Berechenbarkeit und Komplexität Endliche Automaten Wolfgang Schreiner Wolfgang.Schreiner@risc.uni-linz.ac.at Research Institute for Symbolic Computation (RISC) Johannes Kepler University, Linz, Austria
MehrDKA und dkfs (mit Übungen)
DKA und dkfs (mit Übungen) Prof.Dr.Christian Wagenknecht mit Beiträgen von Herrn Dr.Michael Hielscher Prof.Dr.Chr. Wagenknecht Formale Sprachen und Automaten 1/15 kurz DKA Analog zu endlichen Automaten
MehrTheoretische Informatik II
Theoretische Informatik II Einheit 4.2 Rekursive Funktionen 1. Primitiv- und µ-rekursive Funktionen 2. Analyse und Programmierung 3. Äquivalenz zu Turingmaschinen Berechenbarkeit auf N ohne Maschinenmodelle
MehrFormale Sprachen. Formale Grundlagen (WIN) 2008S, F. Binder. Vorlesung im 2008S
Formale Grundlagen (WIN) Franz Binder Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2008S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Inhalt Das Alphabet Σ sei eine endliche
MehrTheoretische Informatik 1
Theoretische Informatik 1 Registermaschine David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung TU Graz SS 2012 Übersicht Registermaschinen Algorithmusbegriff konkretisiert formale Beschreibung
MehrUmformung NTM DTM. Charakterisierung rek. aufz. Spr. Chomsky-3-Grammatiken (T5.3) Chomsky-0-Grammatik Rek. Aufz.
Chomsky-0-Grammatik Rek. Aufz. Satz T5.2.2: Wenn L durch eine Chomsky-0- Grammatik G beschrieben wird, gibt es eine NTM M, die L akzeptiert. Beweis: Algo von M: Schreibe S auf freie Spur. Iteriere: Führe
MehrTheoretische Informatik I
heoretische Informatik I Einheit 2 Endliche Automaten & Reguläre Sprachen. Deterministische endliche Automaten 2. Nichtdeterministische Automaten 3. Reguläre Ausdrücke 4. Grammatiken 5. Eigenschaften regulärer
Mehr2. Berechnungsmächtigkeit von Zellularautomaten. Ziele Simulation von Schaltwerken Simulation von Turingmaschinen
2. Berechnungsmächtigkeit von Zellularautomaten Ziele Simulation von Schaltwerken Simulation von Turingmaschinen Beispiel WIREWORLD Elektronen laufen über Drähte von einem Gatter zum nächsten 2.3 Satz
Mehr9 Theoretische Informatik und Compilerbau
9 Theoretische Informatik und Compilerbau Theoretische Informatik und Mathematik schaffen die Basis für viele der technischen Entwicklungen, die wir in diesem Buch besprechen. Die boolesche Algebra (S.
MehrÜbung Theoretische Grundlagen
Übung Theoretische Grundlagen Berechenbarkeit/Entscheidbarkeit Nico Döttling November 26, 2009 INSTITUT FÜR KRYPTOGRAPHIE UND SICHERHEIT KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Laboratory
Mehr