1.2 LOOP-, WHILE- und GOTO-Berechenbarkeit

Transkript

1 Die Programmiersprache LOOP (i) Syntaktische Komponenten: Variable: x 0, x 1, x 2,... Konstanten: 0, 1, 2,... Trennsymbole: ; := Operationszeichen: + Schlüsselwörter: LOOP DO END (ii) LOOP-Programme: Wertzuweisungen: x i := x j + c x i := x j c (i, j 0, c N) Hintereinanderausführung: P 1 ; P 2 Schleife: LOOP x i DO P END (i 0) Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 25 / 309

2 (iii) Semantik: x i := x j + c x i := x j c x i x j +c x i x j c LOOP x i DO P END P sooft ausführen, wie dies der Wert von x i zu Beginn angibt Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 26 / 309

3 Definition 1.4 Eine Funktion f : N k N heißt LOOP-berechenbar, wenn es ein LOOP-Programm gibt, das folgendes leistet: Wird P mit den Startwerten n 1,...,n k in den Variablen x 1,...,x k gestartet, wobei alle anderen Variablen den Startwert 0 haben, so stoppt P mit dem Wert f(n 1,...,n k ) in der Variablen x 0. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 27 / 309

4 Beispiele LOOP-berechenbarer Funktionen: (i) x i := x j (ii) x i := c (iii) IF x = 0 THEN A END : y := 1; LOOP x DO y := 0 END; LOOP y DO A END (iv) Additionsfunktion: x 0 := x 1 ; LOOP x 2 DO x 0 := x END Bezeichnung: x 0 := x 1 + x 2 (v) Multiplikationsfunktion: x 0 := 0; LOOP x 2 DO x 0 := x 0 + x 1 END Bezeichnung: x 0 := x 1 x 2 Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 28 / 309

5 (vi) MOD- und DIV-Funktionen x 0 := x 1 DIV x 2 : (Hilfsvar: x 3, x 4, x 5 ) x 0 := 0; x 4 := 1; x 5 := x 1 x 2 ; IF x 5 0 THEN x 3 := x 1 + 1; LOOP x 3 DO x 3 := x 3 x 2 ; IF x 3 0 THEN x 0 := x 4 ; x 4 := x END END END Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 29 / 309

6 x 0 := x 1 MOD x 2 : (Hilfsvar: x 6, x 7 ) (x 0 = x 1 (x 1 DIV x 2 ) x 2 ) x 6 := x 1 DIV x 2 ; x 7 := x 6 x 2 ; x 0 := x 1 x 7 ; Abkürzungen: x := (y DIV z)+(x MOD 5) y Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 30 / 309

7 Beobachtung: Jedes LOOP-Programm stoppt für jede Eingabe. Also: nur totale Funktionen können LOOP-berechenbar sein. Frage: Gibt es totale Funktionen, die intuitiv berechenbar sind, die aber nicht LOOP-berechenbar sind? Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 31 / 309

8 Die Programmiersprache WHILE (i) Syntaktische Komponenten: wie in LOOP plus Schlüsselwort WHILE und Trennsymbol (ii) WHILE-Programme: wie LOOP-Programme plus WHILE-Schleife: WHILE x i 0 DO P END (iii) Semantik der WHILE-Schleife: Wiederhole P solange, bis x i den Wert 0 hat Beachte: LOOP x DO P END ist äquivalent zu y := x; ( y neue Variable ) WHILE y 0 DO y := y 1; P END Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 32 / 309

9 Definition 1.5 Eine Funktion f : N k N heißt WHILE-berechenbar, wenn es ein WHILE-Programm P gibt, das folgendes leistet: Wird P mit den Startwerten n 1,...,n k in den Variablen x 1,...,x k gestartet, wobei alle anderen Variablen den Startwert 0 haben, so stoppt P mit dem Wert f(n 1,...,n k ) in der Variablen x 0, falls f(n 1,...,n k ) definiert ist, andernfalls stoppt P nicht. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 33 / 309

10 Beispiele für WHILE-Programme: (i) x 1 := 1; WHILE x 1 0 DO x 0 := x END Dieses WHILE-Programm berechnet die total undefinierte Funktion. WHILE-berechenbare Funktionen sind also nicht notwendigerweise total. (ii) x 0 := 0; x 2 := x 1 ; WHILE x 2 0 DO x 0 := x 0 + 1; x 2 := x 1 (x 0 x 0 ) END Dieses WHILE-Programm berechnet die Funktion n n. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 34 / 309

11 Die Programmiersprache GOTO (i) Syntaktische Komponenten: Variable : x 0, x 1, x 2,... Konstanten : 0, 1, 2,... Marken : M 1, M 2,... Operationszeichen : + Trennsymbole : ; = := Schlüsselwörter : IF THEN GOTO HALT (ii) GOTO-Programme: Wertzuweisungen : x i := x j + c x i := x j c unbedingter Sprung : GOTO M; bedingter Sprung : IF x i = c THEN GOTO M j Stoppanweisung : HALT Programm: M 1 : A 1 ; M 2 : A 2 ;...;M k : A k Alle Marken sind verschieden. Nicht angesprungene Marken werden oft weggelassen. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 35 / 309

12 Ein GOTO-Programm Eingabe : x 1, x 2 Ausgabe : x 0 M 1 : x 0 := x 1 + 0; M 2 : IF x 2 = 0 THEN GOTO M 6 ; M 3 : x 0 := x 0 + 1; M 4 : x 2 := x 2 1; M 5 : GOTO M 2 ; M 6 : HALT Dieses Programm berechnet die Addition: x 0 := x 1 + x 2. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 36 / 309

13 Ein GOTO-Programm (vereinfacht) Eingabe : x 1, x 2 Ausgabe : x 0 x 0 := x 1 ; M 1 : IF x 2 = 0 THEN GOTO M 2 ; x 0 := x 0 + 1; x 2 := x 2 1; GOTO M 1 ; M 2 : HALT Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 37 / 309

14 Definition 1.6 Eine Funktion f : N k N heißt GOTO-berechenbar, wenn es ein GOTO-Programm P gibt, das folgendes leistet: Wird P mit den Startwerten n 1,...,n k in den Variablen x 1,...,x k gestartet, wobei alle anderen Variablen den Startwert 0 haben, so stoppt P mit dem Wert f(n 1,...,n k ) in der Variablen x 0, falls f(n 1,...,n k ) definiert ist, andernfalls stoppt P nicht. WHILE x i 0 DO P END wird simuliert durch: M 1 : IF x i = 0 THEN GOTO M 2 ; P; GOTO M 1 ; M 2 :... Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 38 / 309

15 Satz 1.7 Jedes WHILE-Programm kann durch ein GOTO-Programm simuliert werden, d.h. jede WHILE-berechenbare Funktion ist auch GOTO-berechenbar. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 39 / 309

16 Satz 1.8 Jedes GOTO-Programm kann durch ein WHILE-Programm simuliert werden, d.h. jede GOTO-berechenbare Funktion ist auch WHILE-berechenbar. Beweis: GOTO-Programm P: M 1 : A 1 ; M 2 : A 2 ;...,M k : A k WHILE-Programm P : count := 1; WHILE count 0 DO IF count = 1 THEN A 1 END; IF count = 2 THEN A 2 END;. IF count = k THEN A k END END Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 40 / 309

17 A i x j := x l ± c x j := x l ± c; count := count +1 GOTO M n count := n IF x j = c THEN GOTO M n IF x j = c THEN count := n ELSE count := count +1 END HALT count := 0 IF-Anweisungen können durch LOOP-Programme realisiert werden. A i Beachte: P enthält nur eine einzige WHILE-Schleife. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 41 / 309

18 IF x j = c THEN z := n ELSE z := z + 1 END Ein entsprechendes korrektes LOOP-Programm: y 1 := x j ; ( y 1 neue Var. ) y 2 := c; ( y 2 neue Var. ) LOOP y 2 DO y 1 := y 1 1 END; ( y 1 = 0 gdw. x j c ) LOOP x j DO y 2 := y 2 1 END; ( y 2 = 0 gdw. x j c ) y 3 := y 1 + y 2 ( y 3 neue Var. ) ( y 3 = 0 gdw. x j = c ) y 1 := 0; y 2 := 1; LOOP y 3 DO y 1 := 1; y 2 := 0 END; ( y 1 = 1 gdw. x j c ) LOOP y 1 DO z := z + 1 END; LOOP y 2 DO z := n END; Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 42 / 309

19 Satz 1.9 (Kleenesche Normalform für WHILE-Programme) Jede WHILE-berechenbare Funktion kann durch ein WHILE-Programm mit nur einer WHILE-Schleife berechnet werden. Beweis: WHILE-Programm P für Funktion f GOTO-Programm P für Funktion f WHILE-Programm P mit nur einer WHILE-Schleife für Funktion f Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 43 / 309

20 GOTO WHILE LOOP Satz 1.10 Es gibt totale Funktionen f : N N, die nicht WHILE-berechenbar sind. Frage: Ist jede totale Funktion, die WHILE-berechenbar ist, schon LOOP-berechenbar? Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 44 / 309