Theoretische Informatik für Wirtschaftsinformatik und Lehramt

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1 Theoretische Informatik für Wirtschaftsinformatik und Lehramt Höhere Programmiermodelle Priv.-Doz. Dr. Stefan Milius Theoretische Informatik Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg SS / 53

2 Gliederung 1 Lernziele 2 Höhere Programmiermodelle 3 LOOP-Programme 4 WHILE-Programme 5 Zusammenfassung 2 / 53

3 Worum geht es in diesem Abschnitt? (I) Letzter Abschnitt: Definition, Arbeitsweise und Leistungsfähigkeit von Turing-Maschinen Behauptung: Turing-Maschinen sind genauso leistungsstark im Hinblick auf die Berechnung von Funktionen wie typische Programmiersprachen Jetzt: formale Untersuchung der Behauptung. Dazu betrachte zwei sehr stark vereinfachte Programmiersprachen: LOOP hat einfache Zuweisungen, Sequenzen, Fallunterscheidungen und eine Zählschleife, WHILE hat zusätzlich Schleifen mit Abbruchbedingung. 3 / 53

4 Worum geht es in diesem Abschnitt? (II) Es gibt Funktionen, die nicht mit LOOP programmierbar sind. Z.B. die Ackermann-Funktion. WHILE-Programme sind genauso leistungsstark, wie gängige höhere Programmiersprachen 4 / 53

5 Lernziele die Programmiersprachen LOOP und WHILE mit ihren jeweiligen Eigenschaften kennen und erläutern können arithmetische Funktionen mittels LOOP und/oder WHILE programmieren können (falls möglich) LOOP- bzw. WHILE-Berechenbarkeit am Beispiel der Ackermann-Funktion diskutieren können 5 / 53

6 Programmiersprachen als Berechnungsmodelle Bisher: Funktionen auf allgemeinen Wortmengen Modell der (Turing-)Berechenbarkeit: Berechnungen von Funktionen werden in einer relativ primitiven Maschinensprache programmiert Jetzt: arithmetische Funktionen andere Maschinenmodelle, die den Grundprinzipien realer Computer näher sind wichtigstes Modell: Registermaschine (RAM = Random Access Machine ) 6 / 53

7 Registermaschine (RAM) (potentiell unendlicher) Speicher mit adressierbaren Registern (Speicherzellen): jedes Register speichert eine natürliche Zahl adressierbarer Programmspeicher: speichert Befehle einer Maschinensprache Programmierung auf einer Art Assembler-Ebene typische Befehle: Holen einer Zahl aus dem Speicher Ablegen einer Zahl im Speicher Sprünge auf bestimmte Befehle Befehle für einfache arithmetische Operationen, z. B.: Addition, Subtraktion, Multiplikation, (ganzzahlige) Division 7 / 53

8 RAM, TM und höhere Programmiersprachen TM trotz Einfachheit gleich mächtig wie Registermaschinen Begiff der RAM-Berechenbarkeit ist für eine arithmetische Funktion f formal definierbar Dann gilt: f ist RAM-berechenbar f ist Turing-berechenbar weitergehender Ansatz: ganz von konkretem Maschinenmodell lösen Funktion als (algorithmisch) berechenbar betrachten, wenn es Programm in höherer Programmiersprache zu ihrer Berechnung gibt erforderlich: konkrete Modellsprache, in der essentielle algorithmische Berechnungskonzepte höherer Sprachen in möglichst einfacher Form zusammengefasst sind 8 / 53

9 LOOP-Programme 9 / 53

10 LOOP-Programme Syntax von LOOP Ein LOOP-Programm ist eine nicht-leere endliche Folge von Anweisungen (jeweils durch Semikolon ; getrennt). Jede Anweisung ist entweder eine Zuweisung der Form a := 0 oder a := a oder a := a + 1 oder eine Wiederholungsanweisung (loop-schleife) der Form loop a do P enddo, wobei P wieder ein LOOP-Programm ist und a und a (nicht notwendig verschiedene) Variablen aus einer (fest vorgegebenen) Variablenmenge {a 0, a 1, a 2, a 3,...} sind. 10 / 53

11 Semantik von LOOP (I) Ein (Variablen-) Zustand ist eine Belegung aller Variablen a 0, a 1, a 2, a 3,... mit jeweils einer natürlichen Zahl als Wert. (Formal: eine Funktion B : {a 0, a 1, a 2,...} N) Ein Ablauf eines LOOP-Programms P 1 ; P 2 ;... ; P n startet in einem Zustand und verändert diesen (d. h. die Werte von Variablen) schrittweise durch Nacheinander-Ausführung der Anweisungen P 1, P 2,..., P n. Nach Ausführung von P n ist der Ablauf beendet. 11 / 53

12 Semantik von LOOP (II) Die Wirkung der möglichen Anweisungen ist wie folgt: Zuweisungen: a := 0 a wird mit dem Wert 0 belegt. a := a a wird mit dem (aktuellen) Wert von a belegt. a := a + 1 a wird mit dem um 1 erhöhten (aktuellen) Wert von a belegt. Werte der übrigen Variablen bleiben jeweils unverändert loop-schleifen: (loop a do P enddo) P wird Wert von a zu Beginn -mal ausgeführt loop-schleifen entsprechen den üblichen for-schleifen 12 / 53

13 Semantik von LOOP (III) Beobachtung Da jede Schleife nur endlich viele Schritte ausführt, wird jeder Ablauf eines LOOP-Programms beendet. 13 / 53

14 Implementierung weiterer Sprachkonstrukte (I) a, b und c seien Variablen und n N: Befehl Implementierung a := n a := 0; a := a + 1;... ; a := a + 1 }{{} n-mal a := b + c a := b; loop c do a := a + 1 enddo if a = 0 then P 1 else P 2 endif b := 1; loop a do b := 0 enddo; c := 0; loop a do c := 1 enddo; loop b do P 1 enddo; loop c do P 2 enddo 14 / 53

15 Implementierung weiterer Sprachkonstrukte (II) if a = 0 then P 1 else P 2 endif 1: b := 1; loop a do b := 0 enddo; 2: c := 0; loop a do c := 1 enddo; 3: loop b do P 1 enddo; 4: loop c do P 2 enddo Zeile a b c Ergebnis nicht def P 1 wird ausgeführt P 2 wird nicht ausgeführt nicht def P 1 wird nicht ausgeführt P 2 wird ausgeführt 15 / 53

16 LOOP-berechenbar (I) Definition Sei f : N k N eine Funktion. Ein LOOP-Programm P berechnet f, wenn gilt: Wird der Ablauf von P in einem Zustand gestartet, in dem die Variablen a 1,..., a k mit n 1,..., n k und alle übrigen Variablen mit 0 belegt sind, so hat die Variable a 0 in dem nach Beendigung des Ablaufs erreichten Zustand den Wert f (n 1,..., n k ). f heißt LOOP-berechenbar, wenn es ein LOOP-Programm gibt, das f berechnet. 16 / 53

17 LOOP-berechenbar (II) Beispiel Funktion f (x) = x 1 wobei die arithmetische Differenz allgemein definiert ist durch x y = { x y, falls x > y 0 sonst. LOOP-Programm für f (a 0 : Ergebnis; a 1 : x; a 2 : Hilfsvariable): if a 1 = 0 then a 0 := 0 else a 2 := 0; loop a 1 do a 0 := a 2 ; a 2 := a enddo endif Außer f (x) = x 1 sind auch alle sonstigen üblichen arithmetischen Funktionen (Prädikate) LOOP-berechenbar. 17 / 53

18 LOOP-berechenbar (III) Beispiel (Fortsetzung) Berechne f (3) = 3 1 = 2. Programm: (a 0 : Ergebnis; a 1 : x; a 2 : Hilfsvariable): if a 1 = 0 then a 0 := 0 else a 2 := 0; loop a 1 do a 0 := a 2 ; a 2 := a enddo endif Weise a 1 den Wert 3 zu. Durchlauf der loop-schleife (3-mal): 1. Durchlauf: a 0 := 0; a 2 := 1 2. Durchlauf: a 0 := 1; a 2 := 2 3. Durchlauf: a 0 := 2; a 2 := 3 18 / 53

19 LOOP-berechenbare Funktionen und Prädikate (I) Satz 7.1 a) Folgende Funktionen sind LOOP-berechenbar: x + y, x y, x y, x div y, x mod y, x y, max(x, y), min(x, y), x y, x!. b) Folgende Prädikate sind LOOP-berechenbar: x = y, x y, x < y, x y, x > y, x y, x y, istprim(x). Hinweise: x y bedeutet x ist Teiler von y Hinweise: Ein Prädikat ist eine Funktion p : N k {0, 1} N. 19 / 53

20 LOOP-berechenbare Funktionen und Prädikate (II) Beispiele Allgemeine arithmetische Differenz f (x) = x y: (a 0 : Ergebnis; a 1 : x; a 2 : y) a 0 := a 1 ; loop a 2 do a 0 := a 0 1 enddo Prädikat x = y: (a 0 : Ergebnis mit a 0 = 0 bzw. 1 bedeutet false bzw. true ; a 1 : x; a 2 : y; a h : Hilfsvariable) a 0 := a 1 a 2 ; a h := a 2 a 1 ; a 0 := a 0 + a h ; if a 0 = 0 then a 0 := 1 else a 0 := 0 endif 20 / 53

21 LOOP-berechenbare Funktionen und Prädikate (III) Satz 7.1 (Fortsetzung) c) Sei g : N k+1 N eine LOOP-berechenbare Funktion. Dann gelten auch folgende Aussagen: Funktionswertsummen der Funktion g sind LOOP-berechenbar: y f (x, y, x 1,..., x k ) = g(x 1,..., x k, i) Funktionswertprodukte der Funktion g sind LOOP-berechenbar: y f (x, y, x 1,..., x k ) = g(x 1,..., x k, i), i=x i=x 21 / 53

22 LOOP-berechenbare Funktionen und Prädikate (IV) Satz 7.1 (Fortsetzung) c) Seien g 1,..., g m LOOP-berechenbare Funktionen und p 1,..., p m 1 LOOP-berechenbare Prädikate. Dann gilt auch folgende Aussage: Eine fallweise aus g 1,..., g m und p 1,..., p m 1 konstruierte Funktion f ist LOOP-berechenbar: g 1 (x 1,..., x k ), falls p 1 (x 1,..., x k ) = 1 f (x 1,..., x k ) =. g m 1 (x 1,..., x k ), falls p m 1 (x 1,..., x k ) = 1 g m (x 1,..., x k ), sonst 22 / 53

23 LOOP-berechenbare Funktionen und Prädikate (V) Satz 7.1 (Fortsetzung) d) Sind q und r LOOP-berechenbare Prädikate, so sind auch die folgenden Prädikate LOOP-berechenbar: p(x 1,..., x k ) = 1 q(x 1,..., x k ) = 0, p(x 1,..., x k ) = 1 q(x 1,..., x k ) = 1 r(x 1,..., x k ) = 1, p(x 1,..., x k ) = 1 q(x 1,..., x k ) = 1 r(x 1,..., x k ) = 1 23 / 53

24 Die Ackermann-Funktion (I) Bisher: übliche arithmetische Funktionen und Prädikate sind alle LOOP-berechenbar Frage: gibt es überhaupt (totale) Funktionen, die in intuitivem Sinne berechenbar sind (etwa in einer Programmiersprache programmierbar), die jedoch nicht LOOP-berechenbar sind? Antwort: JA! Zum Beispiel die Ackermann-Funktion: ack : N 2 N ack(0, y) = y + 1 ack(x, 0) = ack(x 1, 1) für x > 0 ack(x, y) = ack(x 1, ack(x, y 1)) für x, y > 0 24 / 53

25 Die Ackermann-Funktion (II) ack(x, y) y = x = y y y y ack(3, 0) = ack(2, 1) = ack(1, ack(2, 0)) = ack(1, 3) = ack(0, ack(1, 2)) = ack(0, 4) = 5 ack(2, 0) = ack(1, 1) = ack(0, ack(1, 0)) = ack(0, 2) = 3 ack(1, 0) = ack(0, 1) = 2 ack(1, 2) = ack(0, ack(1, 1)) = ack(0, 3) = 4 ack(1, 1) = ack(0, ack(1, 0)) = ack(0, 2) = 3 25 / 53

26 Eigenschaften der Ackermann-Funktion (I) Bereits ack(1, y) = y + 2 ack(2, y) = 2y + 3 ack(3, y) = 2 y+3 3 ack(4, y) = }{{} 3 y+2 viele Potenzen ack(4, 2) = ist größer als die geschätzte Anzahl der Atome im Universum. 26 / 53

27 Eigenschaften der Ackermann-Funktion (II) Frage: Ist die Ackermann-Funktion total und intuitiv berechenbar? Totalität (per Induktion): ack ist für alle Werte x und y definiert Induktionsanfang: Für x = 0 und beliebiges y ist ack(x, y) direkt definiert. Induktionsschritt: Für x > 0 wird ack(x, y) auf Kombination verschiedener Werte ack(x, y ) zurückgeführt, die gemäß Induktionsvoraussetzung bereits definiert sind (eigentlicht jetzt Induktion in y) Intuitive Berechenbarkeit: durch Angabe eines Programms in einer höheren Programmiersprache leicht möglich (z.b. Haskell) Also: ack ist eine totale, intuitiv berechenbare Funktion. 27 / 53

28 Eigenschaften der Ackermann-Funktion (III) Ziel: beweisen, dass Ackermann-Funktion (mit wachsendem ersten Argument) über jede LOOP-berechenbare Funktion hinauswächst ack(0, y) = y + 1 ack(x, 0) = ack(x 1, 1) für x > 0 ack(x, y) = ack(x 1, ack(x, y 1)) für x, y > 0 Lemma 7.2 (Monotonie) Für alle x, y N gilt: a) y < ack(x, y) b) ack(x, y) < ack(x, y + 1) c) ack(x, y + 1) ack(x + 1, y) d) ack(x, y) < ack(x + 1, y) Aus b) und d) folgt: x x, y y : ack(x, y) ack(x, y ) 28 / 53

29 Max. Variablenwachstum der Ackermann-Funktion (I) Wir ordnen jedem LOOP-Programm P eine Funktion f P : N N zu. Seien a 0, a 1,..., a k die in P vorkommenden Variablen. Seien ferner n i die jeweiligen Startwerte der Variablen a i und n i deren Endwerte nach Ablauf von P. Wir setzen nun: f P (n) = max n i n i n i 0 i 0 Informell: f P ist die größtmögliche Summe der Variablen-Endwerte, wenn P mit Anfangswerten gestartet wurde, deren Summe n nicht übersteigt (nicht verwendete Variablen haben den Wert 0 und beeinflussen Wert der Summe nicht) 29 / 53

30 Max. Variablenwachstum der Ackermann-Funktion (II) Zeige nun, dass für k genügend groß (in Abhängigkeit von P) gilt: f P (n) < ack(k, n) für alle n N. Lemma 7.3 Für jedes LOOP-Programm P gibt es eine Konstante k, so dass für alle n N gilt: f P (n) < ack(k, n). 30 / 53

31 Beweis von Lemma 7.3 (I) Induktion über den Aufbau des LOOP-Programms P Fall 1: P ist eine Wertzuweisung a i := 0 oder a i := a j + c Fall 1: (mit c = 0, 1) P ist Wertzuweisung, also: zwei Variablen a 0, a 1 Ergebnisvariable a 0 startet mit Belegung 0 gemäß Definition von f P gilt: a 0 + a 1 n Nach der Zuweisung gilt: f P (n) = a 0 + a 1 2n + 1 Schlimmstenfalls: {a 0 = 0, a 1 = n} a 0 := a {a 0 = n + 1, a 1 = n} Wir wissen: Wähle also k = 2, dann gilt: ack(1, y) = y + 2 ack(2, y) = 2y + 3 f P (n) 2n + 1 < 2n + 3 = ack(k, n). 31 / 53

32 Beweis von Lemma 7.3 (II) Fall 2: P ist eine Sequenz der Form P 1 ; P 2 Nach Induktionsvoraussetzung gibt es Konstanten k 1, k 2, so dass gilt: f P1 (n) < ack(k 1, n) und f P2 (n) < ack(k 2, n). Mit k 3 := max{k 1 1, k 2 } gilt nun die Abschätzung: f P (n) f P2 (f P1 (n)) < ack(k 2, ack(k 1, n)) ack(k 3, ack(k 3 + 1, n)) (Monotonie, weil k k 1 ) = ack(k 3 + 1, n + 1) (Definition von ack) ack(k 3 + 2, n) (Lemma 7.2.c) Wähle also k = k 3 + 2, dann gilt: f P (n) < ack(k, n). 32 / 53

33 Beweis von Lemma 7.3 (III) Fall 3: P ist eine loop-schleife der Form loop a i do Q enddo. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Konstante k 1, so dass f Q (n) < ack(k 1, n) für alle n N gilt. O.B.d.A. komme die Variable a i in Q nicht vor. Die Funktion f P (n) wird durch eine Maximumsbildung definiert. Sei m n eine Wahl für Variablenwert a i, bei der das Maximum eingenommen wird. Fall 3a: m = 0 (d.h. Schleife wird nicht ausgeführt) damit: f P (n) = n < ack(0, n) = n + 1 (Def. von ack) Wähle also k = 0, dann gilt: f P (n) < ack(k, n). Fall 3b: m = 1 (d.h. Schleife wird einmal ausgeführt) damit: f P (n) f Q (n 1) + 1 ack(k 1, n 1) < ack(k 1, n) Wähle also k = k 1, dann gilt: f P (n) < ack(k, n). 33 / 53

34 Beweis von Lemma 7.3 (IV) Fall 3c: m 2 (d.h. Schleife wird mehrfach ausgeführt) Da a i nicht in Q vorkommt, können wir abschätzen: f P (n) f Q (f Q ( f Q (n }{{}}{{} m ) )) + }{{} m m-mal a i kommt in Q nicht vor a i < ack(k 1, f Q (f Q ( f Q (n m) )) + m }{{} (m 1)-mal. < ack(k 1, ack(k 1, ack(k 1, n m) )) + m }{{} m-mal Da m-mal ein Kleiner-Zeichen vorkommt (es wurde zuvor m-mal abgeschätzt) erhalten wir: / 53

35 Beweis von Lemma 7.3 (V) Fall 3c: m 2 (Fortsetzung) Da m-mal ein Kleiner-Zeichen vorkommt (es wurde m-mal abgeschätzt), erhalten wir: f P (n) ack(k 1, ack(k 1, ack(k 1, n m) )) }{{} m-mal < ack(k 1, ack(k 1, ack(k 1 + 1, n m) )) }{{} (m 1)-mal = ack(k 1, ack(k 1 + 1, n m + 1) )) }{{} (m 1)-mal. = ack(k 1 + 1, n 1) (Definition von ack) < ack(k 1 + 1, n) (Monotonie) Wähle also k = k 1 + 1, dann gilt: f P (n) < ack(k, n). 35 / 53

36 Die Ackermann-Funktion ist nicht LOOP-berechenbar Satz 7.4 Die Ackermann-Funktion ack ist nicht LOOP-berechenbar. Widerspruchsbeweis: Annahme: ack ist LOOP-berechenbar. Dann ist auch g(n) = ack(n, n) LOOP-berechenbar. Sei P ein LOOP-Programm für g. Es gilt g(n) f P (n). Aus Lemma 7.3 folgt: es gibt k N mit f P (n) < ack(k, n). Für n = k gilt somit: g(k) f P (k) < ack(k, k) = g(k). Widerspruch! Also ist die Annahme falsch, d.h. ack ist nicht LOOP-berechenbar. 36 / 53

37 WHILE-Programme 37 / 53

38 WHILE-Programme Feststellung: LOOP-Berechenbarkeit ist zu schwach, um alle intuitiv als (durch Programme) berechenbar empfundenen Funktionen zu erhalten. Abhilfe: Erweiterung der Sprache LOOP zur Sprache WHILE: Syntax von WHILE Ein WHILE-Programm ist genauso aufgebaut wie ein LOOP-Programm. Zusätzlich zu beliebigen LOOP-Anweisungen dürfen Wiederholungsanweisungen (while-schleifen) verwendet werden: while a 0 do P enddo (a Variable, P WHILE-Programm) 38 / 53

39 Semantik von WHILE Ablauf eines WHILE-Programms ist definiert wie bei LOOP-Programmen. Zusätzliche Festlegung der Wirkung einer Schleife while a 0 do P enddo: P wird so lange nacheinander ausgeführt, wie der Wert der Variablen a nicht 0 ist. Wird der Wert von a nie 0, so wird die Schleife und damit der gesamte Programmablauf nicht beendet. (Das Programm terminiert für den betreffenden Startzustand nicht.) Wesentlicher Unterschied zu LOOP-Programmen: WHILE-Programme können ggf. nicht terminieren. 39 / 53

40 WHILE-berechenbar (I) Wegen möglicher Nicht-Terminierung berechnen WHILE-Programmen i. Allg. partielle Funktionen: Definition Sei f : N k N eine Funktion. Ein WHILE-Programm P berechnet f, wenn gilt: Wird der Ablauf von P in einem Zustand gestartet, in dem die Variablen a 1,..., a k mit n 1,..., n k und alle übrigen Variablen mit 0 belegt sind, so terminiert P genau dann, wenn f (n 1,..., n k ) definiert ist, und falls P terminiert, hat die Variable a 0 in dem nach Beendigung des Ablaufs erreichten Zustand den Wert f (n 1,..., n k ). f heißt WHILE-berechenbar, wenn es ein WHILE-Programm P gibt, das f berechnet. 40 / 53

41 WHILE-berechenbar (II) Jede LOOP-berechenbare Funktion ist auch WHILE-berechenbar. WHILE-Berechenbarkeit ist mächtiger als LOOP-Berechenbarkeit, denn: Satz 7.5 Die Ackermann-Funktion ist WHILE-berechenbar. 41 / 53

42 Beweis von Satz 7.5 (I) Zur Erinnerung: ack(0, y) = y + 1 ack(x, 0) = ack(x 1, 1) für x > 0 ack(x, y) = ack(x 1, ack(x, y 1)) für x, y > 0 Beweis des Satzen durch Angabe eines WHILE-Programms Für den Beweis benötigen wir einen Stack (d.h. folgende Unterprogramme) INIT(stack) /* initialisiert leeren Stack */ PUSH(x, stack) /* legt x auf den Stack ab */ y := POP(stack) /* oberstes Stackelement entfernen */ /* und dessen Wert in y liefern */ 42 / 53

43 Beweis von Satz 7.5 (II) WHILE-Programm für ack(x, y): INPUT(x,y); INIT(stack); PUSH(x, stack); PUSH(y, stack); while size(stack) 1 do Noch ein Makro! y := POP(stack); x := POP(stack); if x = 0 then PUSH(y+1,stack) else if y = 0 then PUSH(x-1,stack); PUSH(1,stack) else PUSH(x-1,stack); PUSH(x,stack); PUSH(y-1,stack) endif endif enddo; result := POP(stack); OUTPUT(result); Makro schreibt Ergebnis nach a 0 43 / 53

44 Beweis von Satz 7.5 (III) Frage: Wie können die Stack-Operationen durch WHILE-Programme implementiert werden? Grundidee: Codiere den Stackinhalt mit einer geeigneten Codierungsfunktion c durch eine natürliche Zahl n INIT wird dann zu n := 0 PUSH(a,stack) wird dann zu n := c(a, n) POP benötigt geeignete Decodierungsfunktion Details vgl. [Schöning, 2008, S. 108ff] 44 / 53

45 WHILE- und Turing-Berechenbarkeit TM sind unser universelles Berechnungsmodell Gerechtfertigt nur, wenn (zumindest) alle WHILE-berechenbaren arithmetischen Funktionen auch mit TM berechnet werden können. Satz 7.6 Jede WHILE-berechenbare Funktion ist Turing-berechenbar. 45 / 53

46 Beweis von Satz 7.6 (Skizze) (I) Sei P ein WHILE-Programm, und sei r der höchste Index i der in P vorkommenden Variablen a i. Ein Ablauf von P beginnt mit Werten n 0,..., n r für a 0,..., a r und wird gegebenenfalls mit Werten m 0,..., m r beendet. (Die übrigen Variablen sind irrelevant.) Zu zeigen: solcher Ablauf kann durch eine (deterministische) TM simuliert werden, d. h. es gibt eine TM M = (Z, {, }, Γ, δ, z 0 ), für die gilt: terminiert P nicht, so terminiert M nicht für die Eingabe n0 n1 nr andernfalls gilt: z 0 n0 n1 nr z m0 m1 mr für ein z Z mit z m0 m1 mr final (Berechnet P eine Funktion f, so lässt sich aus M leicht eine TM gewinnen, die ebenfalls f berechnet.) 46 / 53

47 Beweis von Satz 7.6 (Skizze) (II) Beweis durch durch Induktion über dem Aufbau von P O.B.d.A.: r so gewählt, dass für den höchsten Index r von in P vorkommenden Variablen gilt: r r Also Behauptung: Ist r N und P ein WHILE-Programm, so dass i r gilt für alle in P vorkommenden Variablen a i, dann gibt es eine TM M, die P simuliert. Notation: Unterstrich für Kopfposition 47 / 53

48 Beweis von Satz 7.6 (Skizze) (III) 1.) P sei eine Zuweisung a i := 0 Arbeitsweise von M: n 0 n i n r Erinnerung: n i kodiert durch ni zum Trennzeichen von n i n 0 n i n r n 0 um eine Feldposition nach rechts verschieben n 0 n i 1 n r n 0 um eine Feldposition nach rechts verschieben. n 0 n r Kopf zurück n 0 n r n 0 um eine Feldposition nach rechts verschieben 2.) P sei Zuweisung a i := a j oder a i := a j + 1. Analoge TM-Arbeitsweise wie in 1.) 48 / 53

49 Beweis von Satz 7.6 (Skizze) (IV) 3.) P = loop a i do P enddo. Induktionsvoraussetzung: es gibt eine TM M, die P simuliert. O.B.d.A.: M benutzt kein Feld auf dem Band links von n 0. Arbeitsweise von M: n 0 n i n r n i nach links kopieren n i n 0 n r n i um 1 verringern, Kopf zu n 0 n i 1 n 0 n r Rechnung gemäß M n i 1 n 0 n r zur Zählvariablen gehen n i 1 n 0 n r. 49 / 53

50 Beweis von Satz 7.6 (Skizze) (IV) 3.) Arbeitsweise von M: (Fortsetzung). n i 2 n 0 n r. ebenso m 0 m r m 0 m r Kopf zu m 0, Trennzeichen vor m 0 löschen 50 / 53

51 Beweis von Satz 7.6 (Skizze) (V) 4.) P = while a i 0 do P enddo. Induktionsvoraussetzung: es gibt eine TM M, die P simuliert. Arbeitsweise von M: usw. n 0 n i n r ( ) zu n i falls n n 0 n i n i =0 r n 0 n r falls n i > 0: zurück zu n 0 n 0 n r Rechnung gemäß M n 0 n r. weiter bei ( ) 51 / 53

52 Beweis von Satz 7.6 (Skizze) (VI) 5.) P = P 1 ; P 2 Induktionsvoraussetzung: es gibt TM M 1 und M 2, die P 1 und P 2 simulieren. Arbeitsweise von M: n 0 n r Rechnung gemäß M 1 n 0 n r Rechnung gemäß M 2 (falls M 1 terminiert) m 0 m r (oder keine Terminierung von M 2 ) Insgesamt leistet M das Gewünschte. 52 / 53

53 Zusammenfassung 1 Lernziele 2 Höhere Programmiermodelle 3 LOOP-Programme 4 WHILE-Programme 5 Zusammenfassung 53 / 53