Sprachen und Grammatiken

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1 Grundlagen der Theoretischen Informatik Wintersemester 2007 / 2008 Prof. Dr. Heribert Vollmer Institut für Theoretische Informatik Sprachen und Grammatiken

2 Alphabete, Zeichen und Symbole Ein Alphabet ist eine endliche, nichtleere Menge. Die Elemente eines Alphabets heiÿen auch Zeichen oder Symbole. Wie üblich: Ist M eine Menge, so bezeichnet M die Anzahl der Elemente von M. Wörter und Sprachen Sei Σ ein Alphabet. Ein Wort über Σ ist eine Folge von Symbolen aus Σ. Ein Wort entsteht also durch Hintereinanderschreiben (Konkatenation) von Symbolen aus Σ. Die Menge aller Wörter über dem Alphabet Σ bezeichnen wir mit Σ. Eine Sprache über Σ ist eine Menge von Wörtern über Σ, also eine Teilmenge von Σ.

3 Konkatenation Operation auf Wörtern: Konkatenation bzw. Hintereinanderschreiben Schreibweise: u v oder kurz uv für Konkatenation der Wörter u und v Die Länge eines Wortes w ist die Anzahl der Symbole in w. Schreibweise: w Konkatenation Für ein Wort w und n N ist w n die Konkatenation w n = w w w }{{} n mal Wir denieren: w 0 = ε. Mit ε wird das leere Wort bezeichnet. Es ist w n = n w. Schreibweise: Σ + = Σ \ {ε}

4 Denition Eine Grammatik ist ein 4-Tupel G = (V, Σ, P, S), wobei: V ist eine endliche Menge, die so genannte Menge der Variablen Σ ist ein Alphabet, das so genannte Terminalalphabet, mit V Σ = P ist die endliche Menge der Produktionen, P (V Σ) + (V Σ) S V ist die so genannte Startvariable Denition Sei G = (V, Σ, P, S) eine Grammatik und seien u, v (V Σ). Wir denieren eine Relation G wie folgt: u G v, falls u, v zerlegt werden können in Teilwörter u = xyz und v = xy z mit x, z (V Σ) und y y ist Regel in P. u geht unter (Anwendung einer Regel in) G unmittelbar über in v u G v, falls u = v oder es Wörter w1,..., w k (V Σ) gibt mit u = w1, w i G w i+1 für i = 1, 2...., k 1 und v = w k. Wir lassen den Index G weg, falls dieser eindeutig Die von G erzeugte Sprache ist L(G) = { w Σ S G w }. Eine Ableitung von w L(G) in k Schritten ist eine Folge (w0, w1,..., w k) mit w0 = S, w k = w und w i G w i+1 für i = 0, 1,..., k 1.

5 Die Chomsky-Hierarchie Denition Noam Chomsky (Pionier der Linguistik) teilte Grammatiken in vier Typen ein: Jede Grammatik ist vom Typ 0 (d. h. keine Einschränkungen) Eine Grammatik ist vom Typ 1 (oder: kontextsensitiv), falls für alle ihre Regeln u v gilt: u v Eine Typ-1-Grammatik ist vom Typ 2 (oder: kontextfrei), falls für alle ihre Regeln u v gilt, dass u eine einzelne Variable ist (d. h. u V )

6 Denition (Fortsetzung) Eine Typ-2-Grammatik ist vom Typ 3 (oder: regulär), falls für alle ihre Regeln u v gilt, dass v ein einzelnes Terminalzeichen ist (v Σ) oder v aus einem Terminalzeichen gefolgt von einer Variablen besteht Eine Sprache L Σ heiÿt vom Typ 0 (Typ 1, Typ 2, Typ 3), falls es eine Typ-0-Grammatik (Typ-1-Grammatik, Typ-2-Grammatik, Typ-3-Grammatik) G gibt mit L = L(G). Satz Das Wortproblem für Typ-1-Sprachen ist entscheidbar, d. h. es gibt einen Algorithmus, der bei Eingabe einer kontextsensitiven Grammatik G = (V, Σ, P, S) und eines Wortes w Σ nach endlicher Zeit mit der Ausgabe w L(G) oder w / L(G) anhält.

7 Reguläre Sprachen Denition Ein (deterministischer) endlicher Automat (kurz: DEA) ist ein 5-Tupel M = (Z, Σ, δ, z0, E), wobei für die einzelnen Komponenten gilt: Z ist eine endliche Menge, die so genannte Zustandsmenge Σ ist ein Alphabet, das so genannte Eingabealphabet, Z Σ = δ: Z Σ Z ist die so genannte Überführungsfunktion z0 Z ist der so genannte Startzustand E Z ist die Menge der so genannten Endzustände

8 Denition Sei M = (Z, Σ, δ, z0, E) ein DEA. Die erweiterte Überführungsfunktion ˆδ: Z Σ Z ist (induktiv) deniert wie folgt: ˆδ(z, ε) = z für alle z Z ˆδ(z, ax) = ˆδ(δ(z, a), x) für alle z Z, a Σ und x Σ Die von M akzeptierte Sprache ist L(M) = { x Σ ˆδ(z0, x) E }. Denition Ein nichtdeterministischer endlicher Automat (kurz: NEA) ist ein 5-Tupel M = (Z, Σ, δ, z0, E), wobei für die einzelnen Komponenten gilt: Z, Σ, z0 und E sind wie bei deterministischen endlichen Automaten deniert Für die Überführungsfunktion gilt: δ: Z Σ P(Z). P(Z) ist die Potenzmenge von Z. Für z Z und a Σ ist also δ(z, a) eine Menge von möglichen Folgezuständen

9 Denition Wir denieren ˆδ : P(Z) Σ P(Z) wie folgt: ˆδ(Z, ε) = Z für alle Z Z ˆδ(Z, ax) = z Z ˆδ(δ(z, a), x) für alle Z Z, a Σ und x Σ. Die von M akzeptierte Sprache ist L(M) = { x Σ ˆδ({z0}, x) E }. Satz Zu jedem NEA M existiert ein DEA M mit L(M) = L(M ).

10 Satz Sei L Σ eine Sprache. Es gibt einen DEA M mit L = L(M) gdw. es eine reguläre Grammatik G mit L = L(G) gibt. Satz (Pumping-Lemma, uvw-theorem) Sei L eine reguläre Sprache. Dann gibt es eine Zahl n, sodass sich alle Wörter x L mit x n zerlegen lassen in x = uvw, sodass folgende Eigenschaften gelten: 1 v 1 2 uv n 3 Für alle i 0 gilt: uv i w L.

11 Logische Struktur der Aussage des Pumping-Lemmas: (L regulär) ( n)( x L, x n)( u, v, w), [x = uvw und (1)(3) gelten] }{{} Aussage ( ) Nach dem Pumping-Lemma gilt: L regulär ( ). Die Umkehrung (d. h. ( ) L regulär) gilt im Allgemeinen nicht! Aber: ( ) gilt nicht L nicht regulär. In dieser Form wird das Pumping-Lemma meistens verwendet. Kontextfreie Sprachen

12 Denition Ein (nichtdeterministischer) Kellerautomat (NKA, Pushdown Automaton (PDA)) ist ein 7-Tupel M = (Z, Σ, Γ, δ, z0, #, E), wobei für die einzelnen Komponenten gilt: Z ist die endliche Menge der Zustände Σ ist das Eingabealphabet Γ ist das Kelleralphabet δ: Z Σ Γ P(Z Γ ) ist die Überführungsfunktion. Es gilt: δ(z, a, A) ist endlich für alle z Z, a Σ und A Γ z0 Z ist der Startzustand # Γ ist das unterste Kellersymbol E Z ist die Menge der Endzustände Beispiel 1a: L = { a n b n n 1 } w = aaabbb Zustand Rest der Eingabe Kellerinhalt Befehl z0 aaabbb # (1) z0 aabbb A (2) z0 abbb AA (3) z0 bbb AAA (4) z1 bb AA (6) z1 b A (7) z2 ε ε Damit gilt also aaabbb L(M).

13 Beispiel 1b: L = { a n b n n 1 } w = aaabb Zustand Rest der Eingabe Kellerinhalt Befehl z0 aaabb # (1),(2),(3) z0 bb AAA (4) z1 b AA (6) z1 ε A An dieser Stelle ist die Eingabe ganz gelesen und kein Endzustand erreicht worden, also gilt: aaabb / L(M). Beispiel 1c: L = { a n b n n 1 } w = abb Zustand Rest der Eingabe Kellerinhalt Befehl z0 abb # (1) z0 bb A (5) z2 b ε An dieser Stelle ist kein weiterer Befehl möglich und die Eingabe ist noch nicht vollständig gelesen worden, also gilt: abb / L(M).

14 Beispiel 2a: L = { w$w R w {a, b} + } w = ab$ba Zustand Rest der Eingabe Kellerinhalt z0 ab$ba # z0 b$ba A z0 $ba BA z1 ba BA z1 a A z2 ε ε Also ist ab$ba L(M). Beispiel 2b: L = { w$w R w {a, b} + } w = ab$bb Zustand Rest der Eingabe Kellerinhalt z0 ab$bb # z0 b$bb A z0 $bb BA z1 bb BA z1 b A keine weitere Bewegung möglich Also ist ab$bb / L(M).

15 Satz Eine Sprache L ist kontextfrei gdw. es einen NKA M gibt mit L = L(M). Beweis: Wird in der Vorlesung Formale Sprachen gebracht. Satz (Pumping-Lemma (uvwxy -Theorem)) Sei L eine kontextfreie Sprache. Dann gibt es eine Zahl n, sodass sich alle Wörter z L mit z n zerlegen lassen in z = uvwxy, sodass folgende Eigenschaften erfüllt sind: 1 vx 1 2 vwx n 3 Für alle i 0 gilt: uv i wx i y L

16 Logische Struktur der Aussage des Pumping-Lemmas: (L kontextfrei) ( n N)( z L, z n)( u, v, w, x, y), } [z = uvwxy (1)(3) gelten] {{ } ( ) Anwendung: Kontraposition des Satzes, also: ( ) gilt nicht L ist nicht kontextfrei. Typ-1- und Typ-0-Sprachen

17 Denition Eine Turingmaschine (TM) ist ein 7-Tupel M = (Z, Σ, Γ, δ, z0,, E), wobei für die einzelnen Komponenten gilt: Z ist die Menge der Zustände Σ ist das Eingabealphabet Γ Σ ist das Arbeitsalphabet z0 Z ist der Startzustand Γ \ Σ ist das Leerzeichen bzw. Blank E Z ist die Menge der Endzustände δ ist die Übergangsfunktion Denition (Fortsetzung) Bei deterministischen Turingmaschinen (DTM, TM) gilt: δ : Z Γ Z Γ {L, N, R} Bei nichtdeterministischen Turingmaschinen (NTM) gilt: δ : Z Γ P(Z Γ {L, N, R})

18 Denition Eine Konguration einer TM M = (Z, Σ, Γ, δ, z0,, E) ist ein Wort k = uzv, wobei u, v Γ und z Z. Denition Sei M = (Z, Σ, Γ, δ, z0,, E) eine TM. Wir denieren eine zweistellige Relation auf der Menge der Kongurationen wie folgt für z Z \ E : a1... amzb1... bn a1... amz cb2... bn, falls δ(z, b1) = (z, c, N), m 0, n 1 a1... amcz b2... bn, falls δ(z, b1) = (z, c, R), m 0, n 2 a1... z amcb2... bn, falls δ(z, b1) = (z, c, L), m 1, n 1

19 Sonderfälle n = 1, Maschine läuft nach rechts: a1... amzb1 a1... amcz, falls δ(z, b1) = (z, c, R), m 0 m = 0, Maschine läuft nach links: zb1... bn z cb2... bn, falls δ(z, b1) = (z, c, L), n 1 Für z E gibt es keine Konguration k mit a1... amzb1... bn k. Denition Die von einer Turingmaschine M = (Z, Σ, Γ, δ, z0,, E) akzeptierte Sprache ist L(M) = { w Σ z0w uzv für ein z E und u, v Γ }. Dabei ist ka ke, falls ka = ke oder es k1,..., kn gibt mit ka k1 kn ke. Also: Ein Wort wird akzeptiert, falls irgendwann ein Endzustand angenommen wird.

20 Denition Ein linear-beschränkter Automat (LBA) ist eine NTM mit folgenden Eigenschaften: M = (Z, Σ, Γ, δ, z0,, E) Γ \ Σ enthält zwei spezielle Symbole und, die so genannte linke bzw. rechte Bandendemarkierung Falls M liest, ist keine Kopfbewegung nach links erlaubt Falls M liest, ist keine Kopfbewegung nach rechts erlaubt Die Bandsymbole und dürfen nicht durch andere Zeichen überschrieben werden Die von M akzeptierte Sprache ist L(M) = { w Σ z0 w uzv für ein z E und u, v Γ }. Satz 1 Eine Sprache L ist kontextsensitiv (Typ 1) gdw. es einen LBA gibt mit L(M) = L 2 Eine Sprache L ist vom Typ 0 gdw. es eine TM M gibt mit L(M) = L gdw. es eine NTM M gibt mit L(M) = L

21 Bemerkung Es ist unbekannt, ob deterministische LBAen nicht schon die Klasse der Typ-1-Sprachen akzeptieren. LBA-Problem: Gibt es für jede Typ-1-Sprache einen deterministischen LBA, der sie akzeptiert? Der intuitive Berechenbarkeitsbegri

22 Berechenbarkeit Eine Funktion f : N k N heiÿt berechenbar, falls es ein Rechenverfahren bzw. einen Algorithmus gibt, das f berechnet, d. h. gestartet mit Eingabe (n1,..., n k) N k hält der Algorithmus nach endlich vielen Schritten mit Ausgabe f (n1,..., n k). Wir fordern nicht, dass f total sein muss, d. h. für gewisse (n1,..., n k) N k darf f (n1,..., n k) undeniert sein. In diesem Fall soll der Algorithmus nicht stoppen (Endlosschleife). Ziel: Präzisierung des Berechenbarkeitsbegris. Nur so ist es möglich, zu beweisen, dass eine Funktion nicht berechenbar ist.

23 Turing-Berechenbarkeit Denition Eine Funktion f : N k N heiÿt Turing-berechenbar, falls es eine DTM M gibt, sodass für alle n1,..., n k, m N gilt: f (n1,..., n k) = m M mit Eingabe bin(n1)#... #bin(n k) hält mit bin(m) auf dem Arbeitsband. f (n1,..., n k) undeniert M mit Eingabe bin(n1)#bin(n2)#... #bin(n k) stoppt nicht. bin(n) für n N bezeichnet die Binärdarstellung von n ohne führende Nullen.

24 Bemerkung Das Eingabealphabet einer TM, die eine Funktion über N im obigen Sinne berechnet, ist stets {0, 1, #}. Denition Eine Funktion f : Σ heiÿt Turing-berechenbar, falls es DTM M gibt, sodass für alle x Σ und y gilt: f (x) = y M mit Eingabe x hält mit y auf dem Arbeitsband. f (x) undeniert M mit Eingabe x stoppt nicht.

25 Mehrband-Maschinen Denition Eine k-band-dtm ist ein 7-Tupel M = (Z, Σ, Γ, δ, z0,, E), wobei für die einzelnen Komponenten gilt: Z, Σ, Γ, z0, und E sind wie bei einer 1-Band-DTM deniert. δ : }{{} Z }{{} Γ k }{{} Z }{{} Γ k {L, R, N} k mit }{{} (i) (ii) (iii) (iv) (v) (i) aktueller Zustand (ii) gelesene Zeichen auf den k Bändern (iii) neuer Zustand (iv) geschriebene Zeichen auf den k Bändern (v) Kopfbewegungen auf den k Bändern

26 Arbeitsweise Die Eingabe steht zunächst auf Band 1. Die Bänder 2 bis k sind zunächst leer. Die Maschine führt einzelne Schritte durch, analog zu gewöhnlichen DTMn. Akzeptierte Sprache: Das Eingabewort x wird akzeptiert gdw. M erreicht irgendwann einen Endzustand. Berechnete Funktion: f (n1,..., n k) = m gdw. M mit Eingabe bin(n1)#... #bin(n k) erreicht irgendwann einen Endzustand mit bin(m) auf Band 1. (Berechnung von Funktionen f : Σ analog.) Beispiel Folgende 2-Band-Turingmaschine akzeptiert { w#w w {0, 1} }: M = ({z0, z1, z2, z e}, {0, 1, #}, {0, 1, #, }, δ, z0,, {z e}), wobei für die Überführungsfunktion gilt: z00 z01 z000rr z011rr z0# z1# NL } } 0, 1 auf Band 1 werden auf Band 2 kopiert # auf Band 1 Zustand z1 z0 z0 NN z1#0 z1#1 z1#0nl z1#1nl } } Endlosschleife, falls kein # gefunden wird Kopf auf Band 2 nach links Kopf auf Band 1 bleibt auf #

27 Beispiel (Fortsetzung) z1# z2# RR } auf Band 2 Zustand z2 z200 z211 z201 z210 z200rr z211rr z201nn z210nn z2 ze NN } auf beiden Bändern nach rechts gehen, solange gleiche Zeichen gefunden werden } verschiedene Zeichen Endlosschleife } Alles gleich, daher fertig Beispiel (Fortsetzung) z20 z21 z2 0 z2 1 z2#0 z2#1 z2# z20 NN z21 NN z2 0NN z2 1NN z2#0nn z2#1nn z2# NN unterschiedliche Länge Endlosschleife Endlosschleife, falls zweites # gefunden wird

28 Satz Sei k > 1. Zu jeder k-band-dtm M gibt es eine (1-Band-)DTM M, sodass L(M) = L(M ) bzw. dass M und M dieselbe Funktion berechnen. Zusammensetzung von Turingmaschinen

29 1-Band nach k-band Sei M eine 1-Band-TM. Dann bezeichnet M(i, k) (1 i k), die k-band-tm, die auf Band i genau die Aktion ausführt, die M auf seinem Band ausführt, und die Bänder 1,..., i 1, i + 1,..., k unverändert lässt. Ist also z. B. in M δ(z, a) = (z, b, X ) mit X {L, N, R}, so ergibt sich für M(2, 4): δ(z, c1, a, c3, c4) = (z, c1, b, c3, c4, N, X, N, N) für alle c1, c3 und c4 aus dem Arbeitsalphabet von M (= Arbeitsalpahbet von M(2, 4)). Schreibweise: M(i) statt M(i, k), falls k aus dem Kontext klar. Hintereinanderschaltung von Turingmaschinen Seien M i = (Z i, Σ, Γ i, δ i, z 0,i,, E i) mit i = 1, 2 zwei DTMn mit o. B. d. A. Z1 Z2 =. Wir denieren daraus die neue Turingmaschine M = (Z1 Z2, Σ, Γ1 Γ2, δ, z0,1,, E2), wobei: δ1(z, a), δ(z, a) = δ2(z, a), (z0,2, a, N), falls z Z1 \ E1 und a Γ1 falls z Z2 und a Γ2 falls z E1 und a Γ1 Bezeichnungen für M: M1;M2 oder Start M1 M2 Stopp. Dies lässt sich analog denieren für mehr als zwei Maschinen.

30 Die Programmiersprache LOOP Syntaktische Komponenten von LOOP Variablen: x0, x1, x2,... Zur besseren Lesbarkeit werden wir auch Variablennamen wie z. B. uv, x, y, z,... benutzen. Konstanten: 0, 1, 2,... Operationszeichen: + und Trennsymbole: ; und := Schlüsselwörter: LOOP, DO und END

31 Syntax von LOOP Sind x i und x j Variablen und c eine Konstante, so sind x i := x j + c und x i := x j c LOOP-Programme. Sind P1 und P2 LOOP-Programme, so ist P1; P2 ein LOOP-Programm. Ist P ein LOOP-Programm und x i eine Variable, so ist LOOP x i DO P END ein LOOP-Programm. Semantik von LOOP Sei P ein LOOP-Programm. P berechnet eine Funktion f : N k N wie folgt: Zu Beginn der Rechnung benden sich Eingabewerte n1,..., n k N in den Variablen x1,..., x k. Alle anderen Variablen haben den Startwert 0. P wird wie folgt ausgeführt: Durch das Programm x i := x j + c erhält x i den Wert von x j + c. Durch das Programm x i := x j c erhält x i den Wert von x j c, falls dieser nicht negativ ist, ansonsten ist der Wert 0. Bei Ausführung von P1; P2 wird zunächst P1 und dann P2 ausgeführt. Ausführung des Programms LOOP x i DO P END: P wird so oft ausgeführt, wie der Wert der Variablen x i zu Beginn angibt, d. h. Zuweisungen an x i in P haben keinen Einuss auf die Anzahl der Wiederholungen.

32 Ergebnis der Ausführung von P f (n1,..., n k) = Wert von x0 am Ende der Ausführung. Eine Funktion f : N k N heiÿt LOOP-berechenbar, falls es ein LOOP-Programm gibt, das f wie soeben festgelegt berechnet. Beachte: Jedes LOOP-Programm hält nach endlich vielen Schritten an. Daraus folgt, dass jede LOOP-berechenbare Funktion total ist. Spezielle LOOP-Programme (1) x i := x j steht für x i := x j + 0.

33 Spezielle LOOP-Programme (2) x i := c (für eine Konstante c) steht für x i := x j + c (x j ist eine noch nicht benutzte Variable, die also den Wert 0 hat). Spezielle LOOP-Programme (3) IF x i = 0 THEN P END (für ein LOOP-Programm P) steht für x j := 1; LOOP x i DO x j := 0 END; LOOP x j DO P END. (x j ist eine Variable, die in P nicht vorkommt)

34 Spezielle LOOP-Programme (4) x i := x j + x k steht für x i := x j; LOOP x k DO x i := x i + 1 END. Spezielle LOOP-Programme (5) x i := x j x k steht für x i := 0; LOOP x k DO x i := x i + x j END.

35 Spezielle LOOP-Programme (6) Analog: x i := x j DIV x k x i := x j MOD x k Die Programmiersprache WHILE

36 Syntax von WHILE Erweiterung von LOOP: neues Schlüsselwort: WHILE Syntax: Ist P ein WHILE-Programm und x i eine Variable, so ist ein WHILE-Programm. WHILE x i 0 DO P END Semantik von WHILE Die Ausführung von WHILE x i 0 DO P END geschieht so, dass Programm P so lange wiederholt ausgeführt wird, wie der Wert von x i ungleich Null ist. P berechnet f : N k N wie folgt: Eingabewerte n1,..., n k in Variablen x1,..., x k, die anderen Variablen haben Startwert 0. f (n1,..., n k) ist der Wert von x0 nach der Ausführung von P, falls diese stoppt, ansonsten ist f (n1,..., n k) undeniert. Eine Funktion f heiÿt WHILE-berechenbar, falls es ein WHILE-Programm gibt, das f wie eben festgelegt berechnet.

37 Beispiel Das LOOP-Programm LOOP x DO P END kann simuliert werden durch y := x; WHILE y 0 DO y := y 1; P END. (Dabei ist y eine noch nicht verwendete Variable.) Korollar Jedes WHILE-Programm ist äquivalent zu (d. h. berechnet die gleiche Funktion) einem WHILE-Programm, in dem keine LOOP-Schleifen vorkommen.

38 Satz Jede WHILE-berechenbare Funktion ist Turing-berechenbar. Die Programmiersprache GOTO

39 GOTO Programme Ein GOTO-Programm ist eine Folge M1: A1; M2: A2;. M k: A k; wobei die M i so genannte Marken (Labels) sind und die A i Anweisungen sind. Mögliche Anweisungen Wertzuweisung: x i := x j ± c (x i und x j Variablen, c Konstante) Sprung: GOTO M i Bedingter Sprung: IF x i = c THEN GOTO M j (x i Variable, c Konstante) Stoppanweisung: HALT

40 Semantik von GOTO Bei Berechnung einer Funktion f : N k N stehen die k Eingabewerte zu Beginn in den Variablen x1,..., x k. Alle anderen Variablen haben Startwert 0. Die Ausführung von P startet mit der Ausführung der ersten Anweisung. Hierbei bedeutet: x i := x j ± c: x i erhält den Wert von x j ± c (falls dieser nicht negativ ist, ansonsten ist der Wert 0). Die Ausführung wird mit dem nächsten Statement fortgesetzt. GOTO M i : kein Variablenwert wird geändert. Fortsetzen der Ausführung mit dem Statement hinter der Marke M i. IF x i = c THEN GOTO M i : keine Änderung der Variablenwerte; falls Wert von x i gleich c, dann weiter mit Anweisung hinter Marke M i, sonst weiter mit der nächsten Anweisung. Das Programm HALTbeendet die Ausführung. Der Wert der berechneten Funktion f steht nach Beendigung des Programms in x0, undeniert falls Endlosschleife. Satz Jede WHILE-berechenbare Funktion ist GOTO-berechenbar.

41 Satz Jede GOTO-berechenbare Funktion ist auch WHILE-berechenbar. Korollar Jede WHILE-berechenbare Funktion kann durch ein WHILE-Programm mit nur einer WHILE-Schleife ersetzt werden.

42 Satz Jede Turing-berechenbare Funktion ist GOTO-berechenbar. Die Church'sche These

43 These von Church Eine Funktion ist berechenbar im intuitiven Sinne, gdw. sie Turing-berechenbar ist. (Nicht beweisbar, da berechenbar im intuitiven Sinne nicht formal gefasst.) Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit

44 Denition Eine Sprache A Σ heiÿt entscheidbar, wenn die Funktion c A : Σ {0, 1} mit { 1, falls w A c A(w) := 0, sonst berechenbar ist. c A heiÿt charakteristische Funktion von A. Denition Eine Sprache A Σ heiÿt semi-entscheidbar, wenn die Funktion χ A : Σ {0, 1} mit { 1, falls w A χ A(w) := undeniert, sonst berechenbar ist.

45 Beobachtung Sei A Σ. Es gilt: A ist entscheidbar gdw. A ist entscheidbar. Satz Sei A Σ. Es gilt: A ist entscheidbar gdw. A und A sind semi-entscheidbar.

46 Denition Eine Sprache A Σ heiÿt rekursiv-aufzählbar, falls A = oder falls es eine totale berechenbare Funktion f : N Σ gibt, sodass Wir sagen: f zählt A auf. A = {f (0), f (1), f (2),...}. Satz Eine Sprache ist rekursiv-aufzählbar gdw. sie semi-entscheidbar ist.

47 Korollar Eine Sprache A ist entscheidbar gdw. A und A rekursiv-aufzählbar sind. Satz Eine Sprache A Σ ist rekursiv-aufzählbar gdw. es eine berechenbare Funktion f : N Σ gibt, sodass A = {f (0), f (1), f (2),...}.

48 Satz Eine Sprache A Σ ist rekursiv-aufzählbar gdw. es eine entscheidbare Sprache B gibt, sodass A = {x Σ y : x, y B}. Unentscheidbare Probleme

49 Gödelisierung Sei w {0, 1}. Dann ist { M, falls w Gödelisierung von M Mw := M, sonst, wobei M eine festgehaltene Turingmaschine ist. Denition Das spezielle Halteproblem ist die Sprache K = { w {0, 1} Mw hält bei Eingabe w }

50 Beobachtung K ist rekursiv-aufzählbar. Satz K ist nicht entscheidbar.

51 Korollar K ist nicht rekursiv-aufzählbar. Denition Seien A Σ und B Γ Sprachen. A heiÿt auf B reduzierbar, in Zeichen: A B, falls es eine totale, berechenbare Funktion f : Σ Γ gibt, sodass für alle w Σ gilt: w A f (w) B

52 Lemma Ist A B und B entscheidbar, so ist A entscheidbar. Denition Das (allgemeine) Halteproblem ist die Sprache H = { w#x Mw hält bei Eingabe x }.

53 Satz H ist nicht entscheidbar. Zusammenfassung Sei A eine Sprache. Aus den bisherigen Resultaten ergibt sich, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: 1 A ist vom Typ 0. 2 A = L(M) für eine Turingmaschine M 3 A ist rekursiv-aufzählbar 4 A ist Wertebereich einer totalen berechenbaren Funktion oder A = 5 A ist semi-entscheidbar 6 A ist Denitionsbereich einer berechenbaren Funktion 7 A ist Wertebereich einer (eventuell partiellen) berechenbaren Funktion

54 Korollar Die Klasse der Typ-1-Sprachen ist eine echte Teilmenge der Klasse der Typ-0-Sprachen. Denition Das Halteproblem auf leerem Band ist die Sprache H0 = { w Mw angesetzt auf leerem Band hält }.

55 Satz H0 ist nicht entscheidbar. Satz Sei R die Klasse aller berechenbaren Funktionen. Sei S R mit S = und S = R. Die Sprache C(S) sei deniert als C(S) = { w die von Mw berechnete Funktion ist aus S }. Dann gilt: K C(S) oder K C(S)

56 Korollar (Satz von Rice) Sei R die Klasse aller berechenbaren Funktionen. Sei S R mit S = und S = R. Dann ist die Sprache C(S) = { w die von Mw berechnete Funktion ist aus S } nicht entscheidbar. Korollar Die folgenden Sprachen sind nicht entscheidbar: { w Mw berechnet eine totale Funktion } { w Mw berechnet eine monotone Funktion } { w Mw berechnet eine konstante Funktion } { w Mw berechnet die Funktion f (x) = x + 1 }