1.5 Turing-Berechenbarkeit

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1 A.M. Turing (1937): Maschinenmodell zur exakten Beschreibung des Begriffs effektiv berechenbar Stift Mensch a c b b Rechenblatt a b b c Lese-/Schreibkopf endliche Kontrolle Turingmaschine Eine Turingmaschine arbeitet auf Wörtern, d.h. auf Ketten von Buchstaben (oder Zeichen) über einem endlichen Zeichenvorrat (Alphabet). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 78 / 140

2 Ein Alphabet Σ ist eine endliche, nicht-leere Menge, deren Elemente Buchstaben, Zeichen oder Symbole genannt werden. Beispiele: Σ 1 := {a, b} Σ 2 := {(,),+,,, /, a} Σ 3 := {0, 1,#} Durch Hintereinanderschreiben von Zeichen erhält man Wörter. n 1 : Σ n = Wörter der Länge n über Σ ε = Wort der Länge 0 (leeres Wort) Σ + := Σ n nicht-leere Wörter über Σ n 1 Σ := Σ + {ε} Wörter über Σ Beispiele: Σ 2 1 Σ 1 = {aa, ab, ba, bb} = {ε, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa,...} Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 79 / 140

3 Für w Σ ist w die Länge von w: ε = 0 w = n für alle w Σ n, n 1. Für w Σ und a Σ ist w a die a-länge von w: ε a = 0 wb a = w a für b a wa a = w a + 1 Beachte: u Σ m v Σ n : uv Σ m+n u Σ m : εu = u = uε u, v, w Σ : (uv)w = u(vw) (Σ,, ε) ist Halbgruppe mit neutralem Element ε (d.h. ein Monoid) Jedes w Σ lässt sich eindeutig als Folge von Zeichen aus Σ schreiben. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 80 / 140

4 Lemma 1.25 Seien u, v, x, y Σ mit uv = xy. Dann gilt genau einer der drei folgenden Fälle: (1.) u = x und u = x und v = y. (2.) u > x, und es gibt ein z Σ + mit u = xz und y = zv. (3.) u < x, und es gibt ein z Σ + mit x = uz und v = zy. Abkürzende Schreibweise: u 0 = ε, u 1 = u und u n+1 = u n u für alle u Σ, n 1. Mit R : Σ Σ wird die Spiegelungsfunktion (engl.: reversal) bezeichnet: ε R = ε, (ua) R = au R für alle u Σ und a Σ. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 81 / 140

5 Eine Teilmenge L von Σ heißt eine Formale Sprache über Σ. Beispiele: (1.) L 1 := { w Σ 1 w ist eine ungerade Zahl } (2.) L 2 := { korrekt geklammerte arithmetische Ausdrücke über Σ 2 } z.b.: (a a) a + a/(a + a) a L 2 (((a))) L 2 ((a+) a( L 2 Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 82 / 140

6 Turingmaschine (TM) unendliches Band... a b c # Lese-/Schreibkopf... endliche Kontrolleinheit Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 83 / 140

7 Definition 1.26 Eine Turingmaschine (TM) ist gegeben durch ein 7-Tupel M = (Z,Σ,Γ, δ, z 0,, E): Z endliche Zustandsmenge Σ Eingabealphabet Γ Σ Arbeitsalphabet z 0 Z Startzustand Γ Σ Blank (Leerzeichen) E Z Endzustände δ : ((Z E) Γ) (Z Γ {L, R, N}) Überführungsfunktion Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 84 / 140

8 Rechenschritte von M: δ(z 1, a) = (z 1, b, L): a b c... z b b c... z 1 Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 85 / 140

9 δ(z 2, a) = (z 2, b, R): a b c... z b b c... z 2 Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 86 / 140

10 δ(z 3, a) = (z 3, b, N): a b c... z b b c... z 3 Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 87 / 140

11 Definition 1.27 Eine Konfiguration der TM M ist ein Wort k Γ ZΓ +. k deckt den von verschiedenen Teil des Bandes ab. Beispiele: 10z 1 abc, 10z 2 abc, 10z 3 abc, 1z 1 0bbc, 10bz 2 bc, 10z 3 bbc Startkonfiguration für Eingabe x Σ + : z 0 x Startkonfiguration für Eingabe ε : z 0 Haltekonfiguration: uzv mit z E. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 88 / 140

12 Definition 1.28 (Berechnungsrelation :) a 1...a m z cb 2...b n falls δ(z, b 1 ) = (z, c, N) (m 0, n 1) a a 1...a m zb 1...b n 1...a m cz b 2...b n falls δ(z, b 1 ) = (z, c, R) (m 0, n 2) a 1...a m 1 z a m cb 2...b n falls δ(z, b 1 ) = (z, c, L) (m 1, n 1) Sonderfälle: a 1...a m zb 1 a 1...a m cz zb 1...b n z cb 2...b n falls δ(z, b 1 ) = (z, c, R). falls δ(z, b 1 ) = (z, c, L). bezeichnet den reflexiv-transitiven Abschluss von, d.h. k k gdw. m 0 k 0,...,k m : k = k 0 k 1... k m = k Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 89 / 140

13 Eine Rechnung von M bei Eingabe x Σ ist eine Folge z 0 x = k 0 k 1 k Eine Rechnung kann endlich oder unendlich sein. Eine erfolgreiche Rechnung von M bei Eingabe x Σ ist eine endliche Rechnung z 0 x = k 0 k 1 k 2... k m 1 k m, sodass k m eine Haltekonfiguration ist. T(M) = { x Σ erfolgreiche Rechnung von M mit Eingabe x } ist die von M akzeptierte Sprache. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 90 / 140

14 Beispiel TM für binäres +1 : M = ({z 0, z 1, z 2, z e }, {0, 1}, {0, 1, }, δ, z 0,, {z e }) mit δ(z 0, 0) = (z 0, 0, R), δ(z 0, 1) = (z 0, 1, R), δ(z 0, ) = (z 1,, L) δ(z 1, 0) = (z 2, 1, L), δ(z 1, 1) = (z 1, 0, L), δ(z 1, ) = (z e, 1, N) δ(z 2, 0) = (z 2, 0, L), Beispielrechnung: δ(z 2, 1) = (z 2, 1, L), δ(z 2, ) = (z e,, R) z z z z 0 10z 1 1 1z 1 00 z z z e 110, also z z e 110. Bezeichnung für diese TM: Band := Band +1 Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 91 / 140

15 Definition 1.29 Eine Funktion f : Σ Σ heißt Turing-berechenbar, wenn es eine Turingmaschine M gibt, sodass für alle x, y Σ gilt: f(x) = y gdw. z 0 x M... z ey... (z e E). Ist f(x) undefiniert, so ist die Rechnung von M, die mit der Startkonfiguration z 0 x beginnt, unendlich, d.h., M hält ausgehend von z 0 x nicht an! Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 92 / 140

16 Beispiele: (1) Die Funktion bin_plus1: {0, 1} {0, 1} ist Turing-berechenbar. (2) Die Funktion R : Σ Σ w w R ist Turing-berechenbar. (3) Die Funktion 2 : Σ Σ w ww ist Turing-berechenbar. bin(n) bin(n + 1) Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 93 / 140

17 Definition 1.30 Sei A Σ. Die Menge A heißt entscheidbar, wenn ihre charakteristische Funktion χ A Turing-berechenbar ist: χ A (w) = { 1, falls w A, 0, falls w A. Beispiel: Die Menge A = { w {a, b} w ist gerade } ist entscheidbar. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 94 / 140

18 Definition 1.31 Sei A Σ. Die Menge A heißt semi-entscheidbar, wenn die folgende Funktion χ A Turing-berechenbar ist: χ A (w) = { 1, falls w A, undefiniert, falls w A. Die Turingmaschine zur Berechnung von χ A hält also ausgehend von der Startkonfiguration z 0 w (w Σ ) genau dann an, wenn w A ist. Lemma 1.32 Jede entscheidbare Menge ist semi-entscheidbar. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 95 / 140

19 Definition 1.33 Eine Funktion f : N k N heißt Turing-berechenbar, wenn es eine Turingmaschine M gibt, sodass für alle n 1,...,n k, m N gilt: f(n 1,...,n k ) = m gdw. z 0 bin(n 1 )#bin(n 2 )#...#bin(n k ) M... z ebin(m)... Ist f(n 1,...,n k ) undefiniert, dann hält M ausgehend von der Startkonfiguration z 0 bin(n 1 )#bin(n 2 )#...#bin(n k ) nicht an! (z e E). Beispiel: Die Funktion +1: N N n n + 1 ist Turing-berechenbar. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 96 / 140

20 Eine Mehrband-Turingmaschine mit k 2 Bändern:... a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b 8 b 9 b c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 c 8 c 9 c endliche Kontrolle δ : (Z Γ k ) (Z Γ k {L, R, N} k ) Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 97 / 140

21 Beispiel: Eine 2-Band-Turingmaschine zur Berechnung der Spiegelungsfunktion M = ( {z 0, z 1, z 2, z 3, z e }, {a, b}, {a, b, }, δ, z 0,, {z e } ) mit: δ z 0 z 1 z 2 z 3 (a, a) (a, b) (a, ) (z 1, a,, R, N) (z 1, a,, R, N) (z 2,, a, L, R) (b, a) (b, b) (b, ) (z 1, b,, R, N) (z 1, b,, R, N) (z 2,, b, L, R) (, a) (z 3,, a, N, L) (, b) (z 3,, b, N, L) (, ) (z e,,, N, N) (z 2,,, L, N) (z 3,,, N, L) (z e,,, N, R) Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 98 / 140

22 Eingabe: w = aab Startkonfiguration: Band 1... a a b Band 2 z 0 Beschreibung: (z 0 aab, z 0 ) Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 99 / 140

23 Rechnung: (z 0 aab, z 0 ) M (az 1 ab, z 1 ) M (aaz 1 b, z 1 ) M (aabz 1, z 1 ) M (aaz 2 b, z 2 ) M (az 2 a, bz 2 ) M (z 2 a, baz 2 ) M (z 2, baaz 2 ) M (z 3, baz 3 a ) M (z 3, bz 3 aa ) M (z 3, z 3 baa ) M (z 3, z 3 baa ) M (z e, z e baa ) Haltekonfiguration: Band b a a... z e Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 100 / 140

24 Satz 1.34 Zu jeder Mehrband-TM M gibt es eine (Einband-) Turingmaschine M, die dieselbe Funktion berechnet wie M. Beweis: Mehrband-Turingmaschine M mit k Bändern:... a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9... Band 1... b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b 8 b 9... Band 2... c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 c 8 c 9... Band 3 Zustand: z Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 101 / 140

25 Einband-TM M :... a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9... *... b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b 8 b 9... *... c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 c 8 c 9... * Band mit 2k Spuren Arbeitsalphabet: Γ := Γ (Γ { }) 2k Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 102 / 140

26 Arbeitsweise von M : Startkonfiguration: z 0 w (w Σ ) 1. Phase: w * * * 2. Phase: M simuliert M schrittweise. 3. Phase: Ergebnis von Spur 1 auf das gesamte Band kopieren. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 103 / 140

27 Ist M eine 1-Band-TM, so ist M(i, k) (i k) die k-band-tm, die auf Band i M simuliert, wobei alle anderen Bänder unverändert bleiben. Beispiele: (i) Band := Band + 1(i, k). Schreibweise: Band i := Band i + 1 (ii) Band i := Band i 1. (iii) Band i := 0. (iv) Band i := Band j. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 104 / 140

28 Hintereinanderschalten von TMen M i = (Z i,σ,γ i, δ i, z i,, E i ), i = 1, 2 M : start M 1 M 2 stop M = (Z 1 Z 2,Σ,Γ 1 Γ 2, δ, z 1,, E 2 ) mit δ := δ 1 δ 2 {(z e, a, z 2, a, N) z e E 1, a Γ 1 }. Beispiele: (i) start Band := Band + 1 Band := Band + 1 Band := Band + 1 stop Schreibweise: Band := Band + 3 Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 105 / 140

29 (ii) start M z e 1 M 1 stop M 2 z e2 stop (iii) Band = 0? : Z := {z 0, z 1, ja,nein}, E = {ja,nein}, δ : (z 0, a) (nein, a, N) für a 0 (z 0, 0) (z 1, 0, R) (z 1, a) (nein, a, L) für a (z 1, ) (ja,, L) Hieraus: Band i=0? Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 106 / 140

30 (iv) start Band i = 0? M nein ja stop Schreibweise: WHILE Band i 0 DO M. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 107 / 140

31 Beobachtung: Die Turingmaschinen bilden eine einfache Programmiersprache: Die Funktionen +c und c (c N) sowie f(x 1,...,x n ) = x i (1 i n) sind TM-berechenbar. Diese Sprache enthält einfache Wertzuweisungen. Sie enthält einfache Abfragen und while-schleifen. Das Hintereinanderschalten von Programmen ist möglich. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 108 / 140

32 Satz 1.35 Turingmaschinen können WHILE-Programme simulieren, d.h. jede WHILE-berechenbare Funktion ist auch Turing-berechenbar. Satz 1.36 Jede Turingmaschine kann durch ein GOTO-Programm simuliert werden, d.h. jede Turing-berechenbare Funktion ist auch GOTO-berechenbar. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 109 / 140

33 Beweis: Sei M = (Z,Σ,Γ, δ, z 1,, E) eine TM, die die Funktion f : N k N berechnet. Für alle n 1,...,n k N: f(n 1,...,n k ) ist definiert: z 1 bin(n 1 )#bin(n 2 )#...#bin(n k ) M... z ebin(f(n 1,...,n k ))... f(n 1,...,n k ) ist nicht definiert: z 1 bin(n 1 )#bin(n 2 )#...#bin(n k ) M... M... M... GOTO-Programm M zur Simulation von M: M 1 : P 1 ; M 2 : P 2 ; M 3 : P 3 P 1 : (n 1,...,n k ) Darstellung der Konfiguration z 1 bin(n 1 )#...#bin(n k ) in x, y, z. P 2 : schrittweise Simulation von M auf x, y, z. P 3 : Endwerte von x, y, z f(n 1,...,n k ). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 110 / 140

34 Kodierung von TM-Konfigurationen Z = {z 1,...,z k }, Γ = {a 1,...,a m }, b > Γ Konfiguration: a i1 a i2...a ip z l a j1 a j2...a jq Kodierung: x = (i 1 i 2...i p ) b y = (j q...j 2 j 1 ) b z = l p mit (i 1...i p ) b := i µ b p µ und (j q...j 1 ) b := µ=1 q ν=1 j ν b ν 1 Beispiel Γ = {a 1, a 2, a 3, a 4 }, b = 5: Konfiguration: a 1 a 2 a 1 z 2 a 3 a 4 Kodierung: x = (a 1 a 2 a 1 ) 5 = = 36 y = (a 4 a 3 ) 5 = = 23 z = 2 P 1 und P 3 : elementare arithmetische Operationen. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 111 / 140

35 Beispiel: Eingabe: (10, 6). Kodierung: 0 a 1, 1 a 2, # a 3, a 4 und b = 5. Eingabekonf.: z 1 bin(10)#bin(6) = z #110 = z 1 a 2 a 1 a 2 a 1 #a 2 a 2 a 1. WHILE-Programm P 1 : z 1; x 0; y 0; WHILE x 2 0 DO x 3 (x 2 MOD 2) + 1; x 2 x 2 DIV 2; y y 5 + x 3 END; y y 5 + 3; WHILE x 1 0 DO x 3 (x 1 MOD 2) + 1; x 1 x 1 DIV 2; y y 5 + x 3 END; Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 112 / 140

36 GOTO-Programm M 2 : P 2 M 2 : a := y MOD b; IF (z = 1) AND (a = 1) THEN GOTO M 1,1 ; IF (z = 1) AND (a = 2) THEN GOTO M 1,2 ;. IF (z = k) AND (a = m) THEN GOTO M k,m ; M 1,1 : Programmstück zur Simulation von δ(z 1, a 1 ) GOTO M 2 ;. M k,m : Programmstück zur Simulation von δ(z k, a m ) GOTO M 2 ; Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 113 / 140

37 Simulation eines TM-Schritts: δ(z i, a j ) = (z i, a j, L): a i1...a ip z i a }{{}}{{} j a j2...a jq }{{} x z y M a i1...a ip 1 z i a }{{}}{{} ip a j a j2...a jq }{{} x z y GOTO-Programmstück: z := i ; y := y DIV b; y := y b + j ; y := y b + (x MOD b); x := x DIV b; Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 114 / 140

38 Übersicht GOTO WHILE TM µ-rekursiv LOOP prim. rekursiv Die Ackermannfunktion a(.,.) ist WHILE-berechenbar und total, aber sie ist nicht LOOP-berechenbar. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 115 / 140