Automaten und formale Sprachen Klausurvorbereitung

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1 Automaten und formale Sprachen Klausurvorbereitung Rami Swailem Mathematik Naturwissenschaften und Informatik FH-Gießen-Friedberg Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 2 Altklausur Jäger

2 1 Definitionen Endlicher Automat Definition 1.1 Ein Endlicher Automat (EA) ist ein 5-Tupel (Q, Σ, δ, q 0, F ) mit folgenden Bestandteilen 1. Q ist die endliche Menge der Zustände 2. Σ ist ein Alphabet 3. δ: Q Σ Q ist die Übergangsfunktion 4. q 0 Q ist der Startzustand 5. F Q ist die Menge der Endzustände Anmerkung zur Definition Die Endzustandsmenge F kann durchaus leer sein δ ist die Funktion, d. h. zu einem Zustand q und einem Eingabesymbol a Σ höchstens einen Folgezustand q Die Benennung der Zustände eines Automaten spielt keine Rolle! Nichtdeterministischer Endlicher Automat Definition 1.2 Ein Nichtdeterministischer Endlicher Automat (NEA) ist ein 5-Tupel (Q, Σ, δ, q 0, F ) mit folgenden Bestandteilen 1. Q ist die endliche Menge der Zustände 2. Σ ist ein Alphabet 3. δ: Q Σ ε P (Q) ist die Übergangsfunktion 4. q 0 Q ist der Startzustand 5. F Q ist die Menge der Endzustände Reguläre Ausdrücke Definition 1.3 Sei Σ ein Alphabet. Die Menge der regulären Ausdrücke über Σ ist induktiv definiert. Jeder reguläre Ausdruck r repräsentiert eine Sprache L(r) Σ. 1. Für jedes Symbol a Σ ist a ein regulärer Ausdruck. L(a) = {a} 2. ε ist ein regulärer Ausdruck. L(ε) = {ε} Seite 2

3 3. φ ist ein regulärer Ausdruck. L(φ) = φ. 4. Seien r 1 und r 2 reguläre Ausdrücke (über Σ). Dann ist (r 1 r 2 ) ein regulärer Ausdruck. L((r 1 r 2 )) = L(r 1 )L(r 2 ) 5. Seien r 1 und r 2 reguläre Ausdrücke. Dann ist (r 1 r 2 ) ein regulärer Ausdruck. L((r 1 r 2 )) = L(r 1 ) L(r 2 ) 6. Seien r ein regulärer Ausdruck. Dann ist r ein regulärer Ausdruck. L(r ) = L(r) Definition 1.4 Seien r und s reguläre Ausdrücke über Σ. r und s heißen äquivalent (Notation: r = s), genau dann, wenn L(r) = L(s). Anmerkung Den -Operator nennen wir auch ODER-Operator oder Vereinigungs-Operator. In [Sipser] wird er als notiert. Wie bei den zugrunde liegenden Sprachoperationen denieren wir auch einen +- Operator als Schreibabkurzung: r + = rr Sei R die Menge der regulären Ausdrücke über einem Alphabet Σ. Definition 1.5 Ein Verallgemeinerter Nichtdeterministischer Endlicher Automat ist ein 5-Tupel (Q, Σ, δ, q start, q accept ) mit folgenden Bestandteilen 1. Q ist die endliche Menge der Zustände 2. Σ ist das Eingabealphabet, 3. δ : (Q\{q accept }) (Q\{q start }) R ist die Übergangsfunktion, 4. q start ist der Startzustand, 5. q accept ist der Endzustand. Kontextfreie Grammatiken, kontextfreie Sprachen und Kellerautomaten Kontextfreie Grammatiken sind eine formale Beschreibungsmöglichkeit für die Syntax von Programmiersprachen und natürlichen Sprachen. Die mit kontextfreien Grammatiken beschreibbaren Sprachen heißen kontextfreie Sprachen. Zu diesen gehören auch alle regulären Sprachen. Kellerautomaten akzeptieren kontextfreie Sprachen. Seite 3

4 Kontextfreie Grammatiken spielen im Compilerbau eine wichtige Rolle. Die Syntaxanalyse, implementiert in Form eines sogenannten Parsers, uberpruft einen Programmquelltext daraufhin, ob er einer kontextfreien Grammatik entspricht. Definition 1.6 Eine kontextfreie Grammatik ist ein 4-Tupel G = (V, Σ, R, S) mit folgenden Bestandteilen: 1. V ist die endliche Menge der Variablen (oder Nonterminalsymbole) 2. Σ ist die endliche Menge der textcolorredterminalsymbole, Σ V = φ. 3. R ist die endliche Menge der Ableitungsregeln (oder Ersetzungsregeln), R (V (V Σ) 4. S V ist das Startsymbol. Die Notation für eine Ableitungsregel ist X w wobei X V, w (V Σ). X heißt linke Regelseite, w rechte Regelseite. Ableitbarkeit Definition 1.7 Sei G = (V, Σ, R, S) eine Grammatik, u, x, y, w (V ). Aus uxw ist uyw direkt ableitbar (Notation: uxw uyw), wenn (x y) R. Aus uxw ist uyw ableitbar (Notation: uxw uyw), wenn für ein n 0 Wörter v 0,, v n existieren, so dass uxw = uv 0 w uv 1 w uv n w = uyw (Für n = 0 ist x = y.) Die Anzahl der Ableitungsschritte n ist die Länge der Ableitung. (Die Ableitbarkeitsrelation ist demzufolge der transitive und reexive Abschluss der direkten Ableitbarkeit.) Satzform und Sprache Definition 1.8 Seite 4

5 Sei G = (V, Σ, R, S) eine kontextfreie Grammatik. Ein Wort w (V Σ), das sich aus S ableiten lässt, S w, heißt Satzform (zu G). Die von G erzeugte Sprache ist die Menge aller nur aus Terminalsymbolen bestehenden Satzformen: L(G) = w Σ S w Zwei Grammatiken G 1 und G 2 heißen äquivalent, wenn L(G 1 ) = L(G 2 ). Kanonische Ableitungen Falls in einer Satzform mehrere Variablen vorkommen, ist die Reihenfolge der Ableitungsschritte nicht mehr eindeutig festgelegt. Wir definieren zwei kanonische Reihenfolgen für die Ableitungschritte: Definition 1.9 Eine Ableitung, bei der in jedem Ersetzungsschritt die äußerst linke (rechte) Variable ersetzt wird, heißt Linksableitung (bzw. Rechtsableitung). Eine Darstellung, die von der Reihenfolge der Ableitungsschritte abstrahiert, ist der Ableitungsbaum (auch Syntaxbaum oder Zerlegungsbaum). Ableitungsbaum Definition 1.10 Ein Ableitungsbaum ist ein geordneter Baum, der aus einer Ableitung eines Worts w bezüglich einer Grammatik G = (V, Σ, R, S) wie folgt konstruiert wird: Der Wurzelknoten wird mit dem Startsymbol S markiert Zu jeder in der Ableitung angewandten Regel X = x 1 x n werden dem mit X markierten Knoten im Baum, der die ersetzte Variable repräsentiert, n neue, mit x 1,, x n markierte Knoten als Nachfolgeknoten zugeordnet. Der Baum hat folgende Eigenschaften: Die inneren Knoten des Baums sind mit Variablen markiert. Die Blätter sind mit Terminalsymbolen markiert. Die Blätter ergeben von links nach rechts angeordnet das abgeleitete Wort w. Mehrdeutigkeit Seite 5

6 Definition 1.11 Ein Wort w heißt mehrdeutig ableitbar bezüglich einer Grammatik G, wenn es für w mehrere Linksableitungen gibt. Eine Grammatik G heißt mehrdeutig, wenn ein Wort w L(G) mehrdeutig ableitbar ist. Eine Grammatik G heißt inhärent mehrdeutig, wenn es keine zu G äquivalente nicht mehrdeutige Grammatik gibt. Die Chomsky-Normalform Algorithmen fur kontextfreie Grammatik werden oft viel einfacher, wenn man bestimmte Voraussetzungen über die Form der Regeln machen kann. Die Chomsky-Normalform läßt nur bestimmte, einfache Regelformen zu: Definition 1.12 Eine kontextfreie Grammatik G = (V, Σ, R, S) ist in Chomsky-Normalform, wenn jede Regel eine der folgenden Formen hat S ε A BC A a wobei a Σ, A V und B, C V \{S}. Kellerautomaten Definition 1.13 Ein Kellerautomat ist ein 6-Tupel M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, F ) mit folgenden Komponenten Q ist die endliche Menge der Zustände Σ ist das Eingabealphabet Γ ist das Kerlleralphabet (Stack-Alphabet) δ : Q Σ ε Γ ε P(Q Γ ε ) ist die Übergangsfunktion. q 0 Q ist der Startzustand, und F Q ist die Menge der akzeptierenden Zuständen LL(1)-Grammatiken Definition 1.14 Eine Grammatik hat die LL(1)-Eigenschaft, g.d.w. kein Tabelleneintrag T AB[X, a] mehrere Regeln enthält. Seite 6

7 Turingmaschine Formale Definition Definition 1.15 Eine Turingmaschine ist ein 7-Tupel (Q, Σ, Γ, δ, q 0.q accept, q reject ), mit folgenden Komponenten: Q ist die Menge der Zustände Σ ist das Eingabealphabet, das nicht das spezielle Symbol für das Leerzeichen enthält ( Σ), Γ ist das Bandalphabet, wobei Γ und Σ Γ δ : Q Γ Q Γ {L, R} ist die Übergangsfunktion, q 0 Q ist der Startzustand, q accept Q ist der akzeptierender Zustand, und q reject Q ist der ablehndender Zustand, wobei q reject q accept ist Turingmaschinen und Sprachen Definition 1.16 Eine Sprache heißt rekursiv aufzählbar (Turing-erkennbar, semi-entscheidbar), wenn eine TM sie akzeptiert. Entscheidbarkeit Eine Turingakzeptor M entscheidet die von ihm akzeptierte Sprache L(M), wenn M mit jeder Eingabe immer anhält. Jede Eingabe wird nach endlicher Zeit akzeptiert oder durch Übergang in eine ablehnende Konfiguration zurückgewiesen. Wir nennen eine solche TM auch Turing-Entscheider. Definition 1.17 Eine Sprache heißt entscheidbar (rekursiv entscheidbar, Turing-entscheidbar), wenn eine TM sie entscheidet. Jede entscheidbare Sprache ist rekursiv aufzählbar Diagonalisierungsmethode Definition 1.18 Eine Menge M heißt abzählbar, wenn sie endlich ist oder wenn eine bijektive Funktion f : N M existiert. Eine unendliche Menge M heißt überabzählbar, wenn es eine solche Funktion nicht gibt. Seite 7

8 2 Altklausur Jäger 2006 Aufgabe 1 a) Kellerautomaten Übergangsfunktion: δ : Q Σ ε Γ ε P(Q Γ ε ) b) Aufgabe 2 a) 1 (00) + 1 Σ 0Σ 0Σ 0Σ 0Σ b) ε (0 1) + 01 ε ε start ε ε 1 Vereinfachung: 1 ε 0 1 Seite 8

9 start ε ε 1 1 ε 0 1 c) NEA -> DEA start {1} a {2, 3} b {2, 3} b b a a {q err } a,b d) a abb = a ab + Aufgabe 3 Transformieren in Chomsky-Normalform: S ε SaS abc 1. Einführen eines neuen Startsymbol: S 0 S S ε SaS abc 2. ε-regeln entfernen: S 0 S ε S SaS abc Seite 9

10 3. Remove Units Rules: S 0 ε SaS abc S SaS abc 4. Neue Variable Einführen: S 0 ε Y X SAS ABC S SAS Y X ABC A a B b C c X AB Y SA Aufgabe 4 S X, X ε a abc q ε, ε S$ start start q ε, $ ε loop q accept ε, S X ε, X ε ε, X a ε, X abc a, a ε b, b ε c, c ε Seite 10

11 ε, S X ε, X ε ε, X a a, a ε b, b ε c, c ε q ε, ε $ ε, ε S start start q ε, $ ε loop q accept ε, X c ε, ε a ε, ε b Aufgabe 5 L = {a n b m n, m 0, n m} Seite 11