Klammersprache Definiere

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1 Klammersprache w=w 1...w n {(,)}* heißt korrekt geklammert, falls die Anzahl ( ist gleich der Anzahl ). in jedem Anfangsstück w 1,...,w i (i n) ist die Anzahl ( nicht kleiner als die Anzahl ). Definiere L={w {(,)}* w korrekt geklammert} Nicht regulär Folie 350f. Kontextfreie Grammatik: S SS, S (S), S ε. 485

2 Bsp: L={w w 0 = w 1 } w 0 : Anzahl Nullen in w, w 1 : Anzahl Einsen in w. Übungsaufgabe: Zeige, dass L nicht regulär. Kontextfreie Grammatik G: V={S}, Σ={0,1} P={S ε, S 0S1S, S 1S0S} Korrektheit: G erzeugt nur Wörter aus L. G erzeugt alle Wörter aus L. L(G) L L L(G) 486

3 Beispiel Ableitung von S 1S0S 11S0S0S 1100S 11001S0S S 1 S 0 S Syntaxbaum 1 S 0 S 1 S 0 S ε ε ε ε P={S ε, S 0S1S, S 1S0S} 487

4 Korrektheit: L(G) L G erzeugt nur Wörter aus L : folgt, da bei jedem Ableitungsschritt gleichviele Nullen wie Einsen erzeugt werden. P={S ε, S 0S1S, S 1S0S} 488

5 Korrektheit: L L(G) Induktion über w w =0 w=ε L(G). w >0, o.b.d.a. beginne w mit 0. Sei i>0 kleinste Zahl m. w 1 w i 0 = w 1 w i 1. Dann gilt: w 1 =0, w i =1, w 2 w i 1 0 = w 2 w i 1 1 und w i+1 w n 0 = w i+1 w n 1. Also w 2 w i 1 L und w i+1 w n L und S 0S1S * 0w 2 w i 1 1w i+1 w n. I.V. 489

6 Syntaxbaum Graphische Darstellung der Ableitung eines Wortes Wurzel: markiert mit S. Blätter: markiert mit Terminalen/Buchstaben oder ε. Innere Knoten: markiert mit Variablen A Nachfolger entsprechen Anwendung einer Ableitungsregel A α 1 α r. 490

7 Anmerkungen Zu jeder Ableitung gibt es einen Syntaxbaum. Zu einem Syntaxbaum kann es mehrere (äquivalente) Ableitungen geben. Linksableitung: Ableitung, bei der die jeweils linkeste Variable ersetzt wird. Rechtsableitung: Ableitung, bei der die jeweils rechteste Variable ersetzt wird. 491

8 Eindeutigkeit und Mehrdeutigkeit Definition T6.1.5: Eine kontextfreie Grammatik G heißt eindeutig, wenn es für jedes Wort w L(G) nur einen Syntaxbaum gibt. Eine kontextfreie Sprache heißt eindeutig, wenn es für sie eine eindeutige kontextfreie Grammatik gibt, anderenfalls heißt sie inhärent mehrdeutig. 492

9 Beispiel: Klammersprache Die Grammatik S SS, S (S), S ε ist nicht eindeutig. Beispiel: ()()() Linksableitungen: S SS SSS (S)SS ()SS ()(S)S ()()S ()()(S) ()()() S SS (S)S ()S ()SS ()(S)S ()()S ()()(S) ()()() Eindeutige Grammatik: S (S)S, S ε 493

10 Weiteres Beispiel S ε, S 0S1S, S 1S0S ist mehrdeutig: das Wort hat die Linksableitungen S 0S1S 01S0S1S 011S0SS0S1S * und S 0S1S 01S 011S0S 0110S 01100S1S * Etwas schwieriger: Konstruktion einer eindeutigen Grammatik. 494

11 Beispiel Die Grammatik S 01, S 0S1 für L={0 n 1 n n 1} ist eindeutig. 495

12 Motivation Nahe liegende Vermutung: Syntaxanalyse für eindeutige Grammatiken einfacher. Verschiedene Ableitungsbäume haben bei Programmiersprachen häufig verschiedene Semantiken, Beispiel: dangling else. 496

13 Chomsky-Normalform Ziel: einfachere Algorithmen für kontextfreie Grammatiken. Definition T6.2.1: Eine kontextfreie Grammatik ist in Chomsky-Normalform, wenn alle Ableitungsregeln von der Form A BC oder A a (mit A,B,C V, a T) sind. 497

14 Chomsky-Normalform Besonderheit: ε kann nicht erzeugt werden. Im Folgenden Umformung G G Kontextfreie Kontextfreie Grammatik Grammatik in Chomsky-Normalform mit L(G ) = L(G) {ε} 498

15 Umformung Sei s(g) die Größe (Anzahl der Buchstaben in allen Produktionen) der kontextfreien Grammatik G. Satz T6.2.2: Eine kontextfreie Grammatik G kann in Zeit O(s(G) 2 ) in Chomsky- Normalform umgeformt werden. Beweis: Umformung in 4 Schritten 499

16 Schritt 1: Separation Ziel: Auf den rechten Seiten der Regeln entweder 1 Terminal oder nur Variablen. Dazu: erzeuge für jedes a T eine neue Variable Y a und die Regel Y a a, Ersetze auf jeder rechten Seite einer Regel a durch Y a. 500

17 Beispiel für Schritt 1 A AbcDeF (mit A,D,F V, b,c,e T) wird ersetzt durch A AY b Y c DY e F, Y b b, Y c c, Y e e 501

18 Schritt 2: Lange rechte Seiten A B 1 B m (mit m 3, A,B 1,,B m V) wird ersetzt durch A B 1 C 1 C 1 B 2 C 2 C i B i+1 C i+1 (für 1 i m 3) C m 2 B m 1 B m Dabei sind C 1,,C m 2 neue Variablen, die nur für die betrachtete Regel eingeführt werden. 502

19 Resultat der Schritte 1 und 2 Nur noch Regeln der Form: A ε (ε-regeln) A B (Kettenregeln) A BC (o.k.) A a (o.k.) Bisher: Grammatik hat sich nur um konstanten Faktor vergrößert. 503

20 Schritt 3: Beseitigung der ε-regeln 1. Teilschritt: Finde alle Var. A mit A ε. * Initialisierung: Variablen A mit Regel A ε in Mengen V und Q einfügen. Solange Q Variable B aus Q entnehmen. Auf allen rechten Seiten von allen Regeln B durch ε ersetzen. Falls neue Regel C ε entsteht (d.h. C V ): C in V und Q aufnehmen. Ausgabe: V 504

21 Korrektheit des 1. Teilschritts Behauptung: V enthält genau die Variablen A mit A * ε. offensichtlich. Induktion über die Länge l der kürzesten Ableitung A * ε. l=1: Es gibt die Regel A ε. Dann wird A in V eingefügt. l>1: Dann A BC * ε oder A B * ε. Dann haben B (und C) ε-ableitungen mit Länge <l und kommen in V. A wird in V aufgenommen. 505

22 Beseitigung der ε-regeln, 2. Teil Entferne alle ε-regeln. Für jede Regel A BC: Falls B V : erzeuge Regel A C, falls C V : erzeuge Regel A B. Resultat: Grammatik vergrößert sich nur um konstanten Faktor. 506

23 Schritt 4: Entf. der Kettenregeln 1. Teilschritt: Äquivalente Variablen entfernen. Erzeuge Graphen: Knoten: Variablen Kante A B, falls Kettenregel A B vorh. Suche mit DFS nach Kreisen A 1 A 2 A 3 A r A 1 Dann sind A 2,,A r zu A 1 äquivalent und können überall durch A 1 ersetzt werden. 507

24 Schritt 4: Entf. der Kettenregeln 2. Teilschritt: Kettenregeln beseitigen Ber. Graphen d. Kettenregeln, ist kreisfrei. Ber. topologische Ordnung A 1,,A r. For i:=r downto 1 do Seien A i α 1,,A i α s die Regeln mit linker Seite A i. Falls A j A i mit j<i vorhanden, lösche A j A i und erzeuge A j α 1,,A j α s. 508

25 Beispiel für den 2. Teilschritt Graph der Kettenregeln (auf A,B,C,D,E): 1 A 3 D a C B E b 2 RS Topologische Nummerierung berechnen Regeln für E: C b, C RS, B b, B RS Regeln für D: C a, (C b) 4 5 Regeln für C: A a, A b, A RS, B a, B b, B RS 509

26 Größenänderung im 4. Schritt Sei A 1,,A r die topol. Ordnung der Var. Im ungünstigen Fall: Alle A r -Regeln werden zu A 1 -,...,A r 1 - Regeln, alle A r 1 -Regeln werden zu A 1 -,...,A r 2 - Regeln, usw. Höchstens Quadrierung der Größe. 510

27 Folgerung Zu jeder kontextfreien Grammatik G gibt es eine äquivalente kontextsensitive Grammatik, also L 2 L 1. Chomsky-Hierarchie L 3 L 2 L 1 L 0 {0 n 1 n } Alle kontextsens. Sprachen sind rekursiv. {w w a = w b = w c } 511

28 Das Wortproblem [T6.3] Wortproblem für kontextfreie Grammatiken Eingabe: Eine kontextfreie Grammatik G, ein Wort w. Frage: Ist w L(G)? Motivation: Entwurf v. Programmiersprachen Wortproblem Programm syntaktisch korrekt? 512

29 CYK-Algorithmus benannt nach Cocke, Younger, Kasami löst das Wortproblem für kontextfreie Grammatiken in Chomsky-Normalform Ansatz: Dynamische Programmierung Rechenzeit O(n 3 P ) zu langsam für Compiler 513

30 CYK-Algorithmus Eingabe: Wort w 1...w n Definiere: V i,j : Menge der Variablen A mit A * w i...w j. Idee: Berechne die Mengen V i,j mit wachsender Differenz j i und speichere die berechneten Mengen. i=j. Dann: V i,i = {A es gibt die Regel A w i } 514

31 CYK-Algorithmus j>i. Dann kann w i...w j aus A hergeleitet werden, wenn A B C * w i... w k w k+1... w j für eine passende Regel A BC und passenden Schnittpunkt k {i,,j 1}. Also: V i,j = { A Regel A BC und k {i,,j 1} mit B V i,k und C V k+1,j } * V i,j : Menge der Variablen A mit A * w i...w j. 515

32 CYK-Algorithmus Entscheidung: w 1...w n L(G) S V 1,n. Rechenzeit: Es sind O(n 2 ) Mengen V i,j zu berechnen. Jede Berechnung kostet O(n P ) Rechenzeit. Rechenzeit O(n 3 P ). Durchprobieren aller k V i,j : Menge der Variablen A mit A * w i...w j. Durchprobieren aller Regeln 516