Suche nach einem solchen Kreis. Endlichkeitstest. Vereinigung und Durchschnitt. Abschlusseigenschaften

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1 Endlichkeitstest Eingabe: DFA/NFA M. Frage: Ist die von M akzeptierte Sprache endlich? Nahe liegende Beobachtung: In einem DFA/NFA, der eine unendliche Sprache akzeptiert, muss es einen Kreis geben, der vom Startzustand aus erreichbar ist und von dem aus ein akzept. Zustand erreichbar ist. Suche nach einem solchen Kreis Entferne alle vom Startzustand aus nicht erreichbaren Zustände/Knoten. Drehe alle Kanten um. Führe DFS von den akzeptierenden Zuständen ausgehend durch. Es wird eine B-Kante erzeugt. Ein Kreis ist von einem akzeptierenden Zustand aus erreichbar. Rechenzeit: O( Q Σ ) Abschlusseigenschaften Satz T4.6.4: Sei M ein DFA für eine Sprache L. Dann kann ein DFA für L in Zeit O( Q ) erzeugt werden. Insbesondere: Wenn L regulär ist, ist auch L regulär, d.h., die regulären Sprachen sind unter Komplementbildung abgeschlossen. Beweis: Ersetze F durch Q F. Vereinigung und Durchschnitt Satz T4.6.5: Seien M 1 und M 2 DFAs für L 1 und L 2. Dann kann ein DFA für L 1 L 2 (L 1 L 2 ) in Zeit O( Q 1 Q 2 Σ ) konstruiert werden. Insbesondere: Wenn L 1 und L 2 regulär sind, sind auch L 1 L 2 und L 1 L 2 regulär, d.h., die regulären Sprachen sind gegen Vereinigung und Durchschnitt abgeschlossen. Bemerkung: Funktioniert nicht für NFAs

2 Konstruktion d. Produktautomaten Konstruiere DFA M: Q = Q 1 Q 2. q 0 = (q 01,q 02 ). F = {(q 1,q 2 ) q 1 F 1 q 2 F 2 }. δ((q 1,q 2 ),a) = (δ 1 (q 1,a),δ 2 (q 2,a)). Idee: Parallele Simulation beider DFAs. Übungsaufgaben: Übertragung der Konstruktion auf NFAs. Vermeidung der Konstruktion überfüssiger Zustände 419 Beispiel Produktautomat 1 p 1 p 0 p 2 q 0 q Vereinfachte Konstruktion f. NFAs Seien M 1,M 2 NFAs f. die Sprachen L 1 und L 2. Konstruktion eines NFAs für L 1 L 2 : Erzeuge Kopien von M 1 und M 2. Erzeuge neuen Startzustand q 0 (akzeptierend, falls q 0,1 oder q 0,2 akzept.). Für alle a Σ erzeuge a-übergänge von q 0 zu den a-nachfolgern der Startzustände von M 1 und M 2. - Funktioniert aber nicht für Durchschnitt. 421 Symmetrische Differenz Definition: L 1 L 2 ={w w L 1 L 2 w L 1 L 2 } heißt symmetrische Differenz von L 1 und L 2. Beispiel: L 1 ={00,11,01}, L 2 ={00,10}. Dann ist L 1 L 2 ={11,01,10} Satz: Seien M 1 und M 2 DFAs für L 1 und L 2. Dann kann ein DFA für L 1 L 2 in Zeit O( Q 1 Q 2 Σ ) konstruiert werden. 422

3 Abschluss unter symm. Differenz Satz: Seien M 1 und M 2 DFAs für L 1 und L 2. Dann kann ein DFA für L 1 L 2 in Zeit O( Q 1 Q 2 Σ ) konstruiert werden. Beweis: Benutze Produktautomatenkonstruktion mit F = {(q 1,q 2 ) (q 1 F 1 q 2 F 2 ) (q 1 F 1 q 2 F 2 )}. Äquivalenztest für DFAs Gegeben: DFAs M 1 und M 2 für Sprachen L 1 und L 2. Konstruiere DFA für L 1 L 2. Wende darauf den Leerheitstest an. Rechenzeit: O( Q 1 Q 2 Σ ). Übungsaufgabe: Überlege, woran diese Konstruktion für NFAs scheitert Produktsprache (Konkatenation) Definition T4.6.9: Seien L 1 und L 2 Sprachen über Σ. Die Konkatenation von L 1 und L 2 ist definiert durch Beispiel: L 1 ={0 n 1 n n 0}, L 2 ={1 n 0 n n 0}. Dann L 1 L 2 ={0 n 1 n+m 0 m }. Abschluss gegen Konkatenation Satz T4.6.10: Seien M 1 und M 2 DFAs für L 1 und L 2. Dann kann ein NFA für L 1 L 2 in Zeit O(( Q 1 + Q 2 ) Σ ) konstruiert werden. Insbesondere ist L 1 L 2 regulär, d.h., die regulären Sprachen sind gegen Konkatenation abgeschlossen

4 Beweis Seien M 1 und M 2 gegeben, o.b.d.a Q 1 Q 2 =. Idee: In akzept. Zuständen kann M 1 raten, dass sein Teilwort zu Ende ist. q 0 M 1 M 2 Formalere Beschreibung Zustandsmenge: Q 1 Q 2. Startzustand: Startzustand von M 1. Akz. Zustände: F 2 (bzw. F 1 F 2, falls ε L 2 ). Zustandsübergänge: Zustandsübergänge aus M 1 und M 2 Für q F 1 und a Σ zusätzlich: δ(q,a)=δ 2 (q 0,2,a) Kleenescher Abschluss Definition T4.6.11: L i : i-fache Produkt von L mit sich selbst. (L 0 ={ε}, L 1 =L, L 2 =LL, L 3 =LLL, ) Beispiel: L={00,11}. Dann: L*= {w 1 w n mit n gerade und w 2i 1 =w 2i }. 429 Abschluss unter kleeneschen A. Satz T4.6.12: Sei M ein DFA für L. Aus M kann in Zeit O( Q Σ ) ein NFA für L* konstruiert werden. Insbesondere ist L* regulär und die regulären Sprachen sind unter dem kleeneschen Abschluss abgeschlossen. Beweis: Idee: Rate die Stellen, wo die Teilwörter aus L zu Ende sind. 430

5 Idee: Formalere Beschreibung Sei (Q,Σ,q 0,δ,F) DFA für L. q 0 Neuer akzept. Startzustand Fortsetzen der Rechnung an Nachf. des Startzust. ermögl. 431 NFA (Q,Σ,q 0,δ,F ) für L*: Zustandsmenge: Q =Q {q 0 }. Startzustand: q 0. Akz. Zustände: F = {q 0 } F. Zustandsübergänge in δ : Zustandsübergänge aus δ. Für q {q 0 } F und a Σ zusätzlich: δ (q,a)=δ(q 0,a). 432 Reguläre Ausdrücke [K5.3] Im folgenden Teil 4 der Vorlesung: Regelsysteme, die Sprachen erzeugen Grammatiken Hier: einfaches Regelsystem für reguläre Sprachen: reguläre Ausdrücke 433 Def. von regulären Ausdrücken Definition T5.3.2: Rekursionsende: : leere Sprache ε: leeres Wort a Σ: Wörter aus einem Buchstaben sind reguläre Ausdrücke. Rekursion: Wenn A und B reguläre Ausdrücke sind, dann auch (A)+(B), (A) (B) und (A)*. Vereinigung Konkatenation Kleenescher 434A.

6 Beispiele für reguläre Ausdrücke Menge aller Wörter, die mit 0 beginnen und 1 enden: (0) ((0)+(1))* (1) Vereinfachung: 0(0+1)*1 Menge aller Wörter mit einer geraden Anzahl Nullen: 1* ((0) (1)* (0) (1)*)* Vereinfachung: 1*(01*01*)* Vereinfachungen Klammern um, ε, a weglassen +, assoziativ Klammern weglassen Prioritäten der Operationen: Addition/Vereinigung + Multiplikation/Konkatenation Potenzbildung/kleenescher Abschluss * Klammern entsprechend weglassen Zeichen für Konkatenation weglassen Beispiele für reguläre Ausdrücke L k ={w {0,1}* In w ist der k-te Buchstabe von hinten eine 1}. Regulärer Ausdruck: (0+1)* 1 (0+1) (0+1) ()-mal Zum Vergleich: Ein DFA für L k benötigt 2 k Zustände (Satz T4.4.3). grep Befehl zur Suche von Mustern in den Zeilen einer Textdatei Beschreibung der Muster: reguläre Ausdrücke [abc] entspricht a+b+c? entspricht jedem Buchstaben \ entspricht + Hintereinanderschreiben entspricht * entspricht kleeneschen Abschluss Klammern: \(, \)

7 grep (Fortsetzung) grep PATTERN FILE gibt die Zeilen von FILE aus, die das durch den reg. Ausdruck PATTERN beschriebene Muster enthalten. grep x PATTERN FILE gibt die Zeilen von FILE aus, die (als ganze Zeilen gesehen) durch den reg. Ausdruck PATTERN beschrieben sind. Beispiele für grep-syntax Menge aller Wörter, die mit 0 beginnen und 1 enden: vorher: 0(0+1)*1 grep: [0][01]*[1] Menge aller Wörter mit gerader Anzahl Nullen oder gerader Anzahl Einsen vorher: 1*(01*01*)* + 0*(10*10*)* grep: [1]*\([0][1]*[0][1]*\)*\ [0]*\([1][0]*[1][0]*\)* Zshg. reg Ausdrücke reg. Spr. Satz T5.3.3: Genau die regulären Sprachen lassen sich durch reguläre Ausdrücke beschreiben. Beweis: 1. Alle regulären Ausdrücke beschreiben reguläre Sprachen. 2. Alle regulären Sprachen können durch reguläre Ausdrücke beschrieben werden. Reg. Ausdr. beschr. reg. Sprachen Betrachte rekursive Def. der reg. Ausdrücke:, {ε}, {a} sind reguläre Sprachen. Die regulären Sprachen sind gegen Vereinigung (+), Konkatenation ( ) und kleeneschen Abschluss (*) abgeschlossen. Alle regulären Ausdrücke beschreiben reguläre Sprachen

8 Umformung DFA reg. Ausdruck Sei M DFA für reg. Sprache L. Sei Q={1,,n} u. dynamische Zustand 1 der Startzustand. Programmierung Definiere: R i,jk : Menge aller Wörter, für die M beginnend mit Zustand i den Zustand j erreicht, wobei die Zwischenzustände aus {1,,k} sind. Idee: Zeige, dass sich alle R i,jk durch reguläre Ausdrücke beschreiben lassen. 443 Konstr. von reg. Ausdr. für R i,j k k=0 keine Zwischenzustände erlaubt. R i,j0 : kann nur aus einem Buchstaben a bestehen, nämlich dem a mit δ(i,a)=j. R i,i0 : enthält zusätzlich ε. Reguläre Ausdrücke für R i,j0 : R i,jk : Menge aller Wörter, für die M beginnend mit Zustand i den Zustand j erreicht, wobei die Zwischenzustände aus {1,,k} sind. 444 Rekursive Bestimmung von R i,j k Rekursionsformel: R i,jk = R i,j + R i,k (R k,k )*R k,j Wörter, bei deren Rechnung der Zwischenzustand k ev. mehrfach benutzt wird. Wörter, bei deren Rechnung Zwischenzustand k nicht benutzt wird. R i,jk : Menge aller Wörter, für die M beginnend mit Zustand i den Zustand j erreicht, wobei die Zwischenzustände aus {1,,k} sind. 445 Rekursionsformel erzeugt aus reg. Ausdrücken für R i,j reg. Ausdrücke für R i,jk. Wir können reguläre Ausdrücke für R i,j n berechnen. Dann gilt für die von M akzeptierte Sprache: L = +i F R 1,i n regulärer Ausdruck R i,jk : Menge aller Wörter, für die M beginnend mit Zustand i den Zustand j erreicht, wobei die Zwischenzustände aus {1,,k} sind. 446