Grundlagen der Theoretischen Informatik

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1 Grundlagen der Theoretischen Informatik 4. Kellerautomaten und kontextfreie prachen (VI) Viorica ofronie-tokkermans 1

2 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie 3. Endliche Automaten und reguläre prachen 4. Kellerautomaten und kontextfreie prachen 5. Turingmaschinen und rekursiv aufzählbare prachen 6. Berechenbarkeit, (Un-)Entscheidbarkeit 7. Komplexitätsklassen P und NP 2

3 Bis jetzt PDA (Definition) Ein PDA M kann auf zwei verschiedene Arten eine prache akzeptieren: über finale Zustände über leeren Keller L f (M),L l (M) Zu jedem PDA M 1 existiert ein PDA M 2 mit L f (M 1 ) = L l (M 2 ) Zu jedem PDA M 1 existiert ein PDA M 2 mit L l (M 1 ) = L f (M 2 ) 3

4 Gleichmächtigkeit: PDAs und cf-grammatiken Theorem (PDA akzeptieren L 2 ) Die Klasse der PDA-akzeptierten prachen ist L 2. Beweis Dazu beweisen wir die folgenden zwei Lemmata, die zusammen die Aussage des atzes ergeben. Lemma (cf-grammatik PDA) Zu jeder kontextfreien Grammatik G gibt es einen PDA M mit L(M) = L(G) Lemma (PDA cf-grammatik) Zu jedem Push-Down-Automaten M gibt es eine kontextfreie Grammatik G mit L(G) = L(M) 4

5 Gleichmächtigkeit: PDAs und cf-grammatiken Lemma (cf-grammatik PDA) Zu jeder kontextfreien Grammatik G gibt es einen PDA M mit Beweis: letzte Vorlesung. L(M) = L(G) 5

6 Gleichmächtigkeit: PDAs und cf-grammatiken Lemma (PDA cf-grammatik) Zu jedem Push-Down-Automaten M gibt es eine kontextfreie Grammatik G mit L(G) = L(M) Beweis ei M ein PDA, der eine prache L über leeren Keller akzeptiert. Wir konstruieren aus dem Regelsatz von M eine kontextfreie Grammatik, die L erzeugt. 6

7 Gleichmächtigkeit: PDAs und cf-grammatiken Beweis (Forts.) Idee: Die Variablen der Grammatik sind 3-Tupel der Form Bedeutung: [q,a,p] Grammatik kann Wort x aus Variablen [q,a,p] ableiten gdw M kann vom Zustand q in den Zustand p übergehen, dabei A vom Keller entfernen (sonst den Keller unveränder lassen) und das Wort x lesen: ( [q,a,p] = x ) gdw ( (q,x,aγ) (p,ε,γ) ) 7

8 Gleichmächtigkeit: PDAs und cf-grammatiken Beweis (Forts.) Formale Konstruktion: ei M = (K,Σ,Γ,,s 0,Z 0,F) ein PDA. Daraus konstruiert man die Grammatik G = (V,T,R,) mit und... V := {[q,a,p] q,p K, A Γ} {} T := Σ 8

9 Gleichmächtigkeit: PDAs und cf-grammatiken Beweis (Forts.)...folgenden Regeln in R: [s 0,Z 0,q] für alle q K, [q,a,q m+1 ] a [q 1,B 1,q 2 ][q 2,B 2,q 3 ]...[q m,b m,q m+1 ] für jeden -Übergang (q,a,a) (q 1,B 1...B m ) und für jede beliebige Kombination q 2,...,q m+1 K, [q,a,q 1 ] a für jeden -Übergang (q,a,a) (q 1,ε) Dabei ist a Σ {ε}. iehe Buch für Beweis, dass die Konstruktion das gewünschte Ergebnis liefert: ( [q,a,p] = x ) gdw ( (q,x,a) (p,ε,ε) ) woraus sofort L l (M) = L(G) folgt. 9

10 Gleichmächtigkeit: PDAs und cf-grammatiken Beispiel prache: L ab = {a n b n n N} L ab wird über leeren Keller akzeptiert von dem PDA mit den Regeln M = ({s 0,s 1 },{a,b},{z 0,A},s 0,Z 0, ) 1. (s 0,ε,Z 0 ) (s 0,ε) 2. (s 0,a,Z 0 ) (s 0,A) 3. (s 0,a,A) (s 0,AA) 4. (s 0,b,A) (s 1,ε) 5. (s 1,b,A) (s 1,ε) 10

11 Gleichmächtigkeit: PDAs und cf-grammatiken Beispiel (Forts.) Die Transformation ergibt folgende Grammatik-Regeln: [s 0,Z 0,s 0 ] [s 0,Z 0,s 1 ] 1. [s 0,Z 0,s 0 ] ε 2. [s 0,Z 0,s 0 ] a[s 0,A,s 0 ] [s 0,Z 0,s 1 ] a[s 0,A,s 1 ] 3. [s 0,A,s 0 ] a[s 0,A,s 0 ][s 0,A,s 0 ] [s 0,A,s 0 ] a[s 0,A,s 1 ][s 1,A,s 0 ] [s 0,A,s 1 ] a[s 0,A,s 0 ][s 0,A,s 1 ] [s 0,A,s 1 ] a[s 0,A,s 1 ][s 1,A,s 1 ] 4. [s 0,A,s 1 ] b 5. [s 1,A,s 1 ] b 11

12 Gleichmächtigkeit: PDAs und cf-grammatiken Beispiel (Forts.) Lesbarer haben wir damit folgende Grammatik: A B A ac ε B ad C acc ade D acd adf b F b Man sieht jetzt: Variable E ist nutzlos, und damit auch die Variable C. Die Grammatik enthält Kettenproduktionen und nullbare Variablen. 12

13 Gleichmächtigkeit: PDAs und cf-grammatiken Beispiel (Forts.) Nach Entfernung der überflüssigen Elemente: ε ad D adf b F b Mit dieser Grammatik kann man z.b. folgende Ableitung ausführen: = ad = aadf = aaadff = aaabff = aaabbf = aaabbb 13

14 Abschlusseigenschaften 14

15 Abschlusseigenschaften Theorem (Abschlusseigenschaften von L 2 ) L 2 ist abgeschlossen gegen: Vereinigung Konkatenation Kleene-tern 15

16 Abschlusseigenschaften Theorem (Abschlusseigenschaften von L 2 ) L 2 ist abgeschlossen gegen: Vereinigung Konkatenation Kleene-tern Beweis eien G i = (V i,t i,r i, i ) (i {1,2}) zwei cf-grammatiken mit V 1 V 2 =. ei L i = L(G i ) 16

17 Abschlusseigenschaften Beweis (Forts.) zu : (V 1 V 2 { neu },T 1 T 2,R 1 R 2 { neu 1 2 }, neu ) erzeugt gerade L 1 L 2 zu : (V 1 V 2 { neu },T 1 T 2,R 1 R 2 { neu 1 2 }, neu ) erzeugt gerade L 1 L 2 zu : (V 1 { neu },T 1,R 1 { neu 1 neu ε}, neu ) erzeugt gerade L 1. 17

18 Abschlusseigenschaften Theorem (Abschlusseigenschaften von L 2 ) L 2 ist nicht abgeschlossen gegen: Durchschnitt Komplement 18

19 Abschlusseigenschaften Beweis Zu : L 1 = {a n b n c m n,m N} L 2 = {a m b n c n n,m N} wird erzeugt von G i = ({,,T},{a,b,c},R i,) mit R 1 = { T a b ab T ct c} R 2 = { T b c bc T at a} owohl L 1 als auch L 2 sind cf, nicht aber L 1 L 2 = {a n b n c n n N}. 19

20 Abschlusseigenschaften Beweis Zu : Angenommen, L 2 wäre abgeschlossen gegen. Wegen L 1 L 2 = ( L 1 L 2 ) wäre L 2 dann auch abgeschlossen gegen Widerspruch 20

21 Wortprobleme 21

22 Wortprobleme Problem Gegeben: Frage: eine cf-grammatik G, so dass L(G) eine prache ist über Σ, und ein Wort w Σ Ist w L(G)? 22

23 Wortproblem Lösung des Wortproblems für L 3 Gegeben eine rechtslineare Grammatik G, so dass L(G) eine prache ist über Σ, und ein Wort w Σ. Konstruiere aus G einen ε-ndea A 1. Konstruiere aus A 1 einen NDEA A 2. Konstruiere aus A 2 einen DEA A 3. Probiere aus, ob A 3 das Wort w akzeptiert. Dazu braucht der Automat A 3 genau w chritte. 23

24 Wortproblem Das Wortproblem für L 2 Zu jeder cf-grammatik G kann man einen PDA konstruieren Aber ein Pushdown-Automat kann ε-übergänge machen, in denen er das Wort nicht weiter liest. Wie kann man dann garantieren, dass der Automat in endlich vielen chritten das Wort w zu Ende gelesen hat? Deshalb: verwende anderes Verfahren: Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus (CYK-Algorithmus) Auch: Chart-Parsing 24

25 Chart-Parsing Gegeben: Ein Wort w = a 1...a n Idee Prinzip der dynamischen Programmierung 1.: Ermittle woraus sich die einstelligen Teilworte ableiten lassen 2.: Ermittle woraus sich die zweistelligen Teilworte ableiten lassen... n.: Ermittle woraus sich die n-stelligen Teilworte (w selbst) ableiten lassen 25

26 Chart-Parsing Beispiel: Die Grammatik G = ({},{a,b},r,) mit R = { aa bb aa bb } erzeugt die prache {vv R v {a,b} + } Betrachten wir das Wort w = abbaabba. Was sind mögliche letzte chritte von Ableitungen, die zu w geführt haben können? Wir merken uns alle möglichen einzelnen Ableitungsschritte in einer Chart, um Mehrfacharbeit zu vermeiden. Wenn das Wort w in der prache L(G) ist, enthält am Ende der Chart eine mit markierte Kante, die vom ersten bis zum letzten Knoten reicht. 26

27 Chart-Parsing Beispiel (Forts.) a b b a a b b a 27

28 Chart-Parsing Beispiel (Forts.) a b b a a b b a 28

29 Chart-Parsing Beispiel (Forts.) a b b a a b b a 29

30 Chart-Parsing Beispiel (Forts.) a b b a a b b a 30

31 Chart-Parsing Beispiel (Forts.) a b b a a b b a 31

32 Chart-Parsing Beispiel (Forts.) a b b a a b b a 32

33 Chart-Parsing Zur Vereinfachung Wir fordern: Grammatik ist in Chomsky-Normalform Dann: Immer nur zwei benachbarte Kanten betrachten, um herauszufinden, ob darüber eine neue Kante eingefügt werden kann. 33

34 Chart-Parsing Beispiel (Forts.) Grammatik in CNF, die dieselbe prache wie oben erzeugt: G = ({, a, b,a,b},{a,b},r,} mit R = { A a B b AA BB a A b B A a B b} 34

35 Chart-Parsing Darstellung als Array Für eine Kante, die den i. bis j. Buchstaben überspannt und mit A markiert ist, steht im [i, j]-element des Arrays die Eintragung A. Definition (M N) eil = L(G)kontextfrei,undG = (V,T,R,)inChomsky-Normalform. Mit M,N V sei M N := {A V E B M, E C N : A BC R} 35

36 Chart-Parsing Definition (w i,j,v i,j ) ei w = a 1...a n mit a i Σ. Dann: w i,j := a i...a j ist das Fragment von w vom i-ten bis zum j-ten Buchstaben V i,j := {A V A = G w i,j} 36

37 Chart-Parsing ei w = a 1...a n, a i Σ, d.h. w = n. Dann gilt: 1. V i,i = {A V A a i R} 2. V i,k = k 1 j=i V i,j V j+1,k für 1 i < k n Beachte: Die Grammatik muss in Chomsky-Normalform sein! 37

38 Chart-Parsing Beweis. 1. V i,i = {A V A = G a i} = {A V A a i R}, da G in CNF ist. 2. A V i,k mit 1 i < k n gdw gdw gdw gdw A = G a i...a k j, i j < k : B,C V : A = BC, und B = w G i,j ε und C = w G j+1,k ε (da G in CNF ist) E E j, i j < k : E E B,C V : A = BC und B V i,j und C V j+1,k E j, i j < k : A V i,j V j+1,k 38