Informatik III. Christian Schindelhauer Wintersemester 2006/07 7. Vorlesung

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1 Informatik III Christian Schindelhauer Wintersemester 2006/07 7. Vorlesung

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13 Informatik III 7. Vorlesung - 13

14 Informatik III 7. Vorlesung - 14

15 Informatik III 7. Vorlesung - 15

16 Informatik III 7. Vorlesung - 16

17 Informatik III 7. Vorlesung - 17

18 Informatik III 7. Vorlesung - 18

19 Informatik III 7. Vorlesung - 19

20 Informatik III 7. Vorlesung - 20

21 Informatik III 7. Vorlesung - 21

22 Informatik III 7. Vorlesung - 22

23 baaba ist in der Sprache Informatik III 7. Vorlesung - 23

24 Kapitel IV Kontextfreie Sprachen Kellerautomaten Informatik III 7. Vorlesung - 24

25 Prinzip des Kellerautomats Push-Down-Automaton (PDA) Ein Kellerautomat vereinigt einen NFA mit einem Keller (Stack) Der Keller kann potenziell beliebig viel Zeichen speichern Zugriff ist eingeschränkt: Pop: Auslesen des obersten Zeichens (inklusive Entfernen) Push: Hineinlegen eines Zeichens Auf den Übergängen des NFA wird der Zugriff auf den Keller festgelegt zusätzlich zum aktuellen Zeichen der Eingabe, die weiterhin von links nach rechts gelesen wird. Informatik III 7. Vorlesung - 25

26 Keller-Automat: Formale Definition Definition Ein Kellerautomat (pushdown automaton - PDA) wird durch ein Sechser-Tupel (Q, Σ,Γ,δ,q 0,F), wobei Q, Σ,Γ,F endliche Mengen sind und 1. Q ist die Menge der Zustände 2. Σ ist das Eingabealphabet 3. Γ ist das Kelleralphabet 4. δ : Q Σ ε Γ ε P(Q Γ ε ) ist die Übergangsfunktion 5. q 0 ist der Startzustand 6. F Q ist die Menge der akzeptierenden Zustände Ein PDA akzeptiert die Eingabe w, wenn es eine Darstellung w= w 1 w 2...w m mit w i Σ ε gibt wenn es eine Zustandsfolge q = r 0 r 2...r m mit s i Q gibt wenn es Zeichenketten s 0,s 1,..., s m Γ ε * gibt, so dass 1. r 0 = q 0 und s 0 =ε Startzustand mit leeren Keller 2. Für i = 0,..., m-1 gilt: (r i+1,b) δ(r i,w i+1,a), wobei 3. r m F s i = at und s i+1 = bt für passende a,b Γ ε, t Γ ε * Übergang mit Kellerverhalten: Lies a, Schreibe b Ein akzeptierender Zustand erscheint als Endzustand Informatik III 7. Vorlesung - 26

27 Keller-Automat: berechnung Der PDA M = (Q, Σ,Γ,δ,q 1,F) akzeptiert die Sprache {0 n 1 n n 0} Q = {q 1,q 2,q 3,q 4 } Σ = {0,1} Γ = {0,$} F = {q 1, q 4 } δ: δ(q 1, ε, ε) = {(q 2,$)} q 1 : Push $, Gehe zu q 2 δ(q 2, 0, ε) = {(q 2,0)} q 2 : Falls Lese = 0: Push 0; Gehe zu q 2 δ(q 2, 1, 0) = {(q 3,ε)} q 2 : Falls Lese=1 und Pop=0 gehe zu q 3 δ(q 3, 1,0) = {(q 3,ε)} q 3 : Falls Lese=1 gehe zu q 3 δ(q 3, ε, $) = {(q 4,ε)} q 3 : Falls Pop=$ gehe zu q 4 δ(q, a) = {}, für alle anderen Kombinationen q Q,a Σ ε Informatik III 7. Vorlesung - 27

28 Keller-Automat: berechnung Informatik III 7. Vorlesung - 28

29 Keller-Automat: berechnung Informatik III 7. Vorlesung - 29

30 Keller-Automat: berechnung Informatik III 7. Vorlesung - 30

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33 Keller-Automat: berechnung Informatik III 7. Vorlesung - 33

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35 Keller-Automat: berechnung Informatik III 7. Vorlesung - 35

36 Keller-Automat: berechnung Informatik III 7. Vorlesung - 36

37 Keller-Automat: berechnung Informatik III 7. Vorlesung - 37

38 Keller-Automat: berechnung Automat akzeptiert! Informatik III 7. Vorlesung - 38

39 Keller-Automaten beschreiben genau die kontextfreien Sprachen Theorem 6.1 Eine Sprache ist genau dann kontextfrei, wenn ein Kellerautomat sie erkennt Lemma 6.1 Ist eine Sprache kontextfrei, dann erkennt Sie ein Kellerautomat. Beweisidee Die Mehrdeutigkeit der kontextfreien Sprache wird durch den Nichtdeterminismus des PDA gelöst Die Ableitung der Worte steht im Keller Im Keller werden die möglichen Übergänge der Ableitung geraten Oben im Keller = Links, Unten im Keller = Rechts. Sobald oben im Keller ein Terminal steht, wird es mit der Eingabe verglichen und jeweils gestrichen Sobald oben im Keller eine Variable steht, wird eine mögliche Ersetzung im Keller durchgeführt. Informatik III 7. Vorlesung - 39

40 Jede kontextfreie Sprache kann von einem PDA erkannt werden Lemma 6.1 Ist eine Sprache kontextfrei, dann gibt es einen Kellerautomat für sie. Konstruktion des Kellerautomaten Wir können davon ausgehen, dass die Sprache als kontextfreie Grammatik G=(V,Σ,R,S) in Chomsky-Normalform vorliegt. Ist S ε in der Grammatik so gibt es einen ist der Startzustand des PDA akzeptierend Zuerst wird der Stack mit den Symbolen $S initialisiert Sei q der Zustand nach der Initialisierung Für jede Regel der Form A BC wird ein Übergang von q zu Zustand q[bc] hergestellt, der A vom Keller geholt, ε von der Eingabe liest und C auf den Keller legt Der Übergang von q[bc] nach q liest ε von der Eingabe und legt B auf den Keller ablegt. Für jede Regel der Form A a wird ein Übergang von q zu q anglegt, der von der Eingabe a liest und A vom Keller holt Eine weitere Regel liest $ vom Keller und geht in den einzigen akzeptierenden Zustand q[akz] Informatik III 7. Vorlesung - 40

41 konstruktion Grammatik: G=(V,Σ,R,S) mit V={S,,A,B} Σ={a,b,c} R = { S AB, A BB, A a, A c, B b } : S Keller: $S Eingabe: cb AB Keller: $BA Eingabe: cb cb Keller: $B Eingabe: b cb Keller: $ Eingabe: - Informatik III 7. Vorlesung - 41

42 Ende der 7. Vorlesung Informatik III Christian Schindelhauer 42