Einführung in die Theoretische Informatik
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- Elly Morgenstern
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1 Einführung in die Theoretische Informatik Maximilian Haslbeck Fabian Mitterwallner Georg Moser David Obwaller cbr.uibk.ac.at
2 Zusammenfassung der letzten LVA Definition Eine Grammatik G ist ein Quadrupel G = (V, Σ, R, S), wobei 1 V eine endliche Menge von Variablen (oder Nichtterminale) 2 Σ ein Alphabet, die Terminale, V Σ = 3 R eine endliche Menge von Regeln 4 S V das Startsymbol von G Definition Eine formale Sprache L heißt beschränkt wenn beschränkte Grammatik G, L = L(G) rekursiv aufzählbar (vom Typ 0) wenn Grammatik G, L = L(G) Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 1
3 Chomsky-Hierarchie L L 0 L 1 L 2 L 3 L(G 3 ) = {a n b n c n n 1} L(G 2 ) = Klammerausdrücke L(G 1 ) = {0, 1} + Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 2
4 Inhalte der Lehrveranstaltung Einführung in die Logik Syntax & Semantik der Aussagenlogik, Formales Beweisen, Konjunktive und Disjunktive Normalformen Einführung in die Algebra Boolesche Algebra, Universelle Algebra, Logische Schaltkreise Einführung in die Theorie der Formalen Sprachen Grammatiken und Formale Sprachen, Reguläre Sprachen, Kontextfreie Sprachen Einführung in die Berechenbarkeitstheorie Algorithmisch unlösbare Probleme, Turing Maschinen, Registermaschinen Einführung in die Programmverifikation Prinzipien der Analyse von Programmen, Verifikation nach Hoare Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 3
5 Inhalte der Lehrveranstaltung Einführung in die Logik Syntax & Semantik der Aussagenlogik, Formales Beweisen, Konjunktive und Disjunktive Normalformen Einführung in die Algebra Boolesche Algebra, Universelle Algebra, Logische Schaltkreise Einführung in die Theorie der Formalen Sprachen Grammatiken und Formale Sprachen, Reguläre Sprachen, Kontextfreie Sprachen Einführung in die Berechenbarkeitstheorie Algorithmisch unlösbare Probleme, Turing Maschinen, Registermaschinen Einführung in die Programmverifikation Prinzipien der Analyse von Programmen, Verifikation nach Hoare Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 3
6 Anwendungen von regulären Sprachen Software zum Entwurf und Testen von digitalen Schaltkreisen (Mealy/Moore Automaten) Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 4
7 Anwendungen von regulären Sprachen Software zum Entwurf und Testen von digitalen Schaltkreisen (Mealy/Moore Automaten) Softwarebausteine eines Compilers, etwa in der lexikalischen Analyse: 1 lexikalische Scanner ( Lexer ) wird mit endlichen Automaten implementiert 2 Der lexikalische Scanner dient zur Aufteilung des Eingabetextes in logische Einheiten, wie Bezeichner oder Schlüsselwörter Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 4
8 Anwendungen von regulären Sprachen Software zum Entwurf und Testen von digitalen Schaltkreisen (Mealy/Moore Automaten) Softwarebausteine eines Compilers, etwa in der lexikalischen Analyse: 1 lexikalische Scanner ( Lexer ) wird mit endlichen Automaten implementiert 2 Der lexikalische Scanner dient zur Aufteilung des Eingabetextes in logische Einheiten, wie Bezeichner oder Schlüsselwörter Software zum Durchsuchen umfangreicher Texte Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 4
9 Anwendungen von regulären Sprachen Software zum Entwurf und Testen von digitalen Schaltkreisen (Mealy/Moore Automaten) Softwarebausteine eines Compilers, etwa in der lexikalischen Analyse: 1 lexikalische Scanner ( Lexer ) wird mit endlichen Automaten implementiert 2 Der lexikalische Scanner dient zur Aufteilung des Eingabetextes in logische Einheiten, wie Bezeichner oder Schlüsselwörter Software zum Durchsuchen umfangreicher Texte Software zur Verifizierung aller Arten von Systemen, die eine endliche Anzahl verschiedener Zustände besitzen Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 4
10 Anwendungen von regulären Sprachen Software zum Entwurf und Testen von digitalen Schaltkreisen (Mealy/Moore Automaten) Softwarebausteine eines Compilers, etwa in der lexikalischen Analyse: 1 lexikalische Scanner ( Lexer ) wird mit endlichen Automaten implementiert 2 Der lexikalische Scanner dient zur Aufteilung des Eingabetextes in logische Einheiten, wie Bezeichner oder Schlüsselwörter Software zum Durchsuchen umfangreicher Texte Software zur Verifizierung aller Arten von Systemen, die eine endliche Anzahl verschiedener Zustände besitzen Softwarebausteine eines Computerspiels: 1 Kontrolle von Spielfiguren kann mit Hilfe eines endlichen Automaten implementiert werden 2 erlaubt eine bessere Modularisierung des Codes Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 4
11 Anwendungen von regulären Sprachen Software zum Entwurf und Testen von digitalen Schaltkreisen (Mealy/Moore Automaten) Softwarebausteine eines Compilers, etwa in der lexikalischen Analyse: 1 lexikalische Scanner ( Lexer ) wird mit endlichen Automaten implementiert 2 Der lexikalische Scanner dient zur Aufteilung des Eingabetextes in logische Einheiten, wie Bezeichner oder Schlüsselwörter Software zum Durchsuchen umfangreicher Texte Software zur Verifizierung aller Arten von Systemen, die eine endliche Anzahl verschiedener Zustände besitzen Softwarebausteine eines Computerspiels: 1 Kontrolle von Spielfiguren kann mit Hilfe eines endlichen Automaten implementiert werden 2 erlaubt eine bessere Modularisierung des Codes Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 4
12 Beispiel Wir untersuchen Protokolle, die den Gebrauch elektronischen Geldes ermöglichen; dabei handeln: der Kunde, die Bank und das Geschäft: Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 5
13 Beispiel Wir untersuchen Protokolle, die den Gebrauch elektronischen Geldes ermöglichen; dabei handeln: der Kunde, die Bank und das Geschäft: Der Kunde kann zahlen Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 5
14 Beispiel Wir untersuchen Protokolle, die den Gebrauch elektronischen Geldes ermöglichen; dabei handeln: der Kunde, die Bank und das Geschäft: Der Kunde kann zahlen Der Kunde kann das Geld löschen Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 5
15 Beispiel Wir untersuchen Protokolle, die den Gebrauch elektronischen Geldes ermöglichen; dabei handeln: der Kunde, die Bank und das Geschäft: Der Kunde kann zahlen Der Kunde kann das Geld löschen Das Geschäft kann dem Kunden Waren zusenden Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 5
16 Beispiel Wir untersuchen Protokolle, die den Gebrauch elektronischen Geldes ermöglichen; dabei handeln: der Kunde, die Bank und das Geschäft: Der Kunde kann zahlen Der Kunde kann das Geld löschen Das Geschäft kann dem Kunden Waren zusenden Das Geschäft kann Geld einlösen Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 5
17 Beispiel Wir untersuchen Protokolle, die den Gebrauch elektronischen Geldes ermöglichen; dabei handeln: der Kunde, die Bank und das Geschäft: Der Kunde kann zahlen Der Kunde kann das Geld löschen Das Geschäft kann dem Kunden Waren zusenden Das Geschäft kann Geld einlösen Die Bank kann Geld überweisen Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 5
18 Beispiel Wir untersuchen Protokolle, die den Gebrauch elektronischen Geldes ermöglichen; dabei handeln: der Kunde, die Bank und das Geschäft: Der Kunde kann zahlen Der Kunde kann das Geld löschen Das Geschäft kann dem Kunden Waren zusenden Das Geschäft kann Geld einlösen Die Bank kann Geld überweisen Wir treffen die folgenden Grundannahmen: Der Kunde ist unverantwortlich Das Geschäft ist verantwortlich, aber gutgläubig Die Bank ist strikt Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 5
19 Beispiel (Fortsetzung) Start a Zahlen b Einlösen d Überw. f Liefern Liefern Liefern Geschäftsautomat G c Einlösen e Überw. g Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 6
20 Beispiel (Fortsetzung) Start a Zahlen b Einlösen d Überw. f Liefern Liefern Liefern Geschäftsautomat G c Einlösen e Überw. g Zahlen Start Löschen Kundenautomat K Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 6
21 Beispiel (Fortsetzung) Start a Zahlen b Einlösen d Überw. f Liefern Liefern Liefern Geschäftsautomat G c Einlösen e Überw. g Zahlen Start Start 1 Einlösen Überw. 3 4 Löschen Löschen Kundenautomat K 2 Bankautomat B Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 6
22 Beispiel (Fortsetzung) Lö Lö, Z Lö, Z Lö, Z Start a Z b E d Ü f L L L Lö, Z c E e Ü g Lö, Z Lö, Z Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 7
23 Beispiel (Fortsetzung) Lö Lö, Z Lö, Z Lö, Z Start a Lö, Z Z b c L E E d e L Ü Ü f g L Zahlen... Z Einlösen... E Löschen... Lö Liefern... L Überw.... Ü Lö, Z Lö, Z Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 7
24 Beispiel (Fortsetzung) Lö Lö, Z Lö, Z Lö, Z Start a Lö, Z Z b c L E E d L e Ü Ü f L g Zahlen... Z Einlösen... E Löschen... Lö Liefern... L Überw.... Ü L, E, Lö Lö, Z Lö, Z Start Ü, Z Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 7
25 Beispiel (Fortsetzung) Lö Lö, Z Lö, Z Lö, Z Start a Lö, Z Z b L c E E d L e Ü Ü f L g Zahlen... Z Einlösen... E Löschen... Lö Liefern... L Überw.... Ü L, E, Lö L, Z Lö, Z Lö, Z Start Start 1 E Ü 3 4 Ü, Z Lö E, L, Lö, Z E, L, Lö, Z 2 L, Z Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 7
26 Beispiel (Fortsetzung) Wir definieren den Produktautomaten B G aus B und G: Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 8
27 Beispiel (Fortsetzung) Wir definieren den Produktautomaten B G aus B und G: 1 Die Zustände dieses Automaten sind: (i, x) wobei i {1, 2, 3, 4}, x {a, b, c, d, e, f, g} Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 8
28 Beispiel (Fortsetzung) Wir definieren den Produktautomaten B G aus B und G: 1 Die Zustände dieses Automaten sind: (i, x) wobei i {1, 2, 3, 4}, x {a, b, c, d, e, f, g} 2 Die Übergänge werden durch paralleles Ausführen von B und G definiert: Aktion wenn i i und x Aktion x dann (i, x) Aktion (i, x ) Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 8
29 Beispiel (Fortsetzung) Wir definieren den Produktautomaten B G aus B und G: 1 Die Zustände dieses Automaten sind: (i, x) wobei i {1, 2, 3, 4}, x {a, b, c, d, e, f, g} 2 Die Übergänge werden durch paralleles Ausführen von B und G definiert: Aktion wenn i i und x Aktion x dann (i, x) Aktion (i, x ) Betrachte B und G: Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 8
30 Beispiel (Fortsetzung) Wir definieren den Produktautomaten B G aus B und G: 1 Die Zustände dieses Automaten sind: (i, x) wobei i {1, 2, 3, 4}, x {a, b, c, d, e, f, g} 2 Die Übergänge werden durch paralleles Ausführen von B und G definiert: Aktion wenn i i und x Aktion x dann (i, x) Aktion (i, x ) Betrachte B und G: in B gilt, dass aus Zustand 1 durch die Aktion Einlösen Zustand 3 wird, konzise: 1 Einlösen 3 Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 8
31 Beispiel (Fortsetzung) Wir definieren den Produktautomaten B G aus B und G: 1 Die Zustände dieses Automaten sind: (i, x) wobei i {1, 2, 3, 4}, x {a, b, c, d, e, f, g} 2 Die Übergänge werden durch paralleles Ausführen von B und G definiert: Aktion wenn i i und x Aktion x dann (i, x) Aktion (i, x ) Betrachte B und G: in B gilt, dass aus Zustand 1 durch die Aktion Einlösen Zustand 3 wird, konzise: 1 Einlösen 3 in G gilt, dass aus Zustand b mit Aktion Einlösen d wird Konzise: b Einlösen d Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 8
32 Beispiel (Fortsetzung) Wir definieren den Produktautomaten B G aus B und G: 1 Die Zustände dieses Automaten sind: (i, x) wobei i {1, 2, 3, 4}, x {a, b, c, d, e, f, g} 2 Die Übergänge werden durch paralleles Ausführen von B und G definiert: Aktion wenn i i und x Aktion x dann (i, x) Aktion (i, x ) Betrachte B und G: in B gilt, dass aus Zustand 1 durch die Aktion Einlösen Zustand 3 wird, konzise: 1 Einlösen 3 in G gilt, dass aus Zustand b mit Aktion Einlösen d wird Konzise: b Einlösen d also gilt in B G, dass aus Zustand (1, b) mit Aktion Einlösen Zustand (3, d) wird Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 8
33 Beispiel (Fortsetzung) Wir definieren den Produktautomaten B G aus B und G: 1 Die Zustände dieses Automaten sind: (i, x) wobei i {1, 2, 3, 4}, x {a, b, c, d, e, f, g} 2 Die Übergänge werden durch paralleles Ausführen von B und G definiert: Aktion wenn i i und x Aktion x dann (i, x) Aktion (i, x ) Betrachte B und G: in B gilt, dass aus Zustand 1 durch die Aktion Einlösen Zustand 3 wird, konzise: 1 Einlösen 3 in G gilt, dass aus Zustand b mit Aktion Einlösen d wird Konzise: b Einlösen d also gilt in B G, dass aus Zustand (1, b) mit Aktion Einlösen Zustand (3, d) wird, konzise: (1, b) Einlösen (3, d) Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 8
34 Beispiel (Fortsetzung) Z Z Z Z Z Z Z L L L (1, a) (1, b) (1, c) (1, d) (1, e) (1, f) (1, g) Lö Lö Lö Lö Lö Lö Lö Z L L L (2, a) (2, b) (2, c) (2, d) (2, e) (2, f) (2, g) Z Z Z Z Z Z E E E E Lö, Z Lö, Z Lö, ZZ (3, a) Z (3, b) L (3, c) (3, d) L (3, e) (3, f) L (3, g) Ü Ü Lö Lö, Z Lö, Z Lö, Z E E (4, a) Z (4, b) L (4, c) (4, d) L (4, e) (4, f) L (4, g) Lö Lö, Z Lö, Z Lö, Z Lö, Z Lö, Z Lö, Z Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 9
35 Beispiel (Fortsetzung) Z Z Z Z Z Z Z L L L (1, a) (1, b) (1, c) (1, d) (1, e) (1, f) (1, g) Lö Lö Lö Lö Lö Lö Lö Z L L L (2, a) (2, b) (2, c) (2, d) (2, e) (2, f) (2, g) Z Z Z Z Z Z E E E E Lö, Z Lö, Z Lö, ZZ (3, a) Z (3, b) L (3, c) (3, d) L (3, e) (3, f) L (3, g) Ü Ü Lö Lö, Z Lö, Z Lö, Z E E (4, a) Z (4, b) L (4, c) (4, d) L (4, e) (4, f) L (4, g) Lö Lö, Z Lö, Z Lö, Z Lö, Z Lö, Z Lö, Z Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 9
36 Beispiel (Fortsetzung) Als Schlussfolgerung ergibt sich, dass das Protokoll nicht sicher ist: Der Automat B G kann in den Zustand (2, c) gelangen, in welchem die Waren geschickt wurden und trotzdem nie eine Überweisung an das Geschäft erfolgen wird Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 10
37 Beispiel (Fortsetzung) Als Schlussfolgerung ergibt sich, dass das Protokoll nicht sicher ist: Der Automat B G kann in den Zustand (2, c) gelangen, in welchem die Waren geschickt wurden und trotzdem nie eine Überweisung an das Geschäft erfolgen wird Definition (Deterministischer endlicher Automat (kurz: DEA)) Ein DEA ist ein 5-Tupel A = (Q, Σ, δ, q 0, F) sodass 1 Q eine endliche Menge von Zuständen Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 10
38 Beispiel (Fortsetzung) Als Schlussfolgerung ergibt sich, dass das Protokoll nicht sicher ist: Der Automat B G kann in den Zustand (2, c) gelangen, in welchem die Waren geschickt wurden und trotzdem nie eine Überweisung an das Geschäft erfolgen wird Definition (Deterministischer endlicher Automat (kurz: DEA)) Ein DEA ist ein 5-Tupel A = (Q, Σ, δ, q 0, F) sodass 1 Q eine endliche Menge von Zuständen 2 Σ eine endliche Menge von Eingabesymbole, (Σ wird auch Eingabealphabet genannt) Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 10
39 Beispiel (Fortsetzung) Als Schlussfolgerung ergibt sich, dass das Protokoll nicht sicher ist: Der Automat B G kann in den Zustand (2, c) gelangen, in welchem die Waren geschickt wurden und trotzdem nie eine Überweisung an das Geschäft erfolgen wird Definition (Deterministischer endlicher Automat (kurz: DEA)) Ein DEA ist ein 5-Tupel A = (Q, Σ, δ, q 0, F) sodass 1 Q eine endliche Menge von Zuständen 2 Σ eine endliche Menge von Eingabesymbole, (Σ wird auch Eingabealphabet genannt) 3 δ : Q Σ Q die Übergangsfunktion Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 10
40 Beispiel (Fortsetzung) Als Schlussfolgerung ergibt sich, dass das Protokoll nicht sicher ist: Der Automat B G kann in den Zustand (2, c) gelangen, in welchem die Waren geschickt wurden und trotzdem nie eine Überweisung an das Geschäft erfolgen wird Definition (Deterministischer endlicher Automat (kurz: DEA)) Ein DEA ist ein 5-Tupel A = (Q, Σ, δ, q 0, F) sodass 1 Q eine endliche Menge von Zuständen 2 Σ eine endliche Menge von Eingabesymbole, (Σ wird auch Eingabealphabet genannt) 3 δ : Q Σ Q die Übergangsfunktion 4 q 0 Q der Startzustand Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 10
41 Beispiel (Fortsetzung) Als Schlussfolgerung ergibt sich, dass das Protokoll nicht sicher ist: Der Automat B G kann in den Zustand (2, c) gelangen, in welchem die Waren geschickt wurden und trotzdem nie eine Überweisung an das Geschäft erfolgen wird Definition (Deterministischer endlicher Automat (kurz: DEA)) Ein DEA ist ein 5-Tupel A = (Q, Σ, δ, q 0, F) sodass 1 Q eine endliche Menge von Zuständen 2 Σ eine endliche Menge von Eingabesymbole, (Σ wird auch Eingabealphabet genannt) 3 δ : Q Σ Q die Übergangsfunktion 4 q 0 Q der Startzustand 5 F Q eine endliche Menge von akzeptierenden Zuständen Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 10
42 Beispiel (Fortsetzung) Als Schlussfolgerung ergibt sich, dass das Protokoll nicht sicher ist: Der Automat B G kann in den Zustand (2, c) gelangen, in welchem die Waren geschickt wurden und trotzdem nie eine Überweisung an das Geschäft erfolgen wird Definition (Deterministischer endlicher Automat (kurz: DEA)) Ein DEA ist ein 5-Tupel A = (Q, Σ, δ, q 0, F) sodass 1 Q eine endliche Menge von Zuständen 2 Σ eine endliche Menge von Eingabesymbole, (Σ wird auch Eingabealphabet genannt) 3 δ : Q Σ Q die Übergangsfunktion 4 q 0 Q der Startzustand 5 F Q eine endliche Menge von akzeptierenden Zuständen Zu beachten: δ muss für alle möglichen Argumente definiert sein Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 10
43 Zustandstabelle a 1 Σ a 2 Σ q 1 Q δ(q 1, a 1 ) δ(q 1, a 2 ) q 2 Q δ(q 2, a 1 ).. Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 11
44 Zustandstabelle a 1 Σ a 2 Σ q 1 Q δ(q 1, a 1 ) δ(q 1, a 2 ) q 2 Q δ(q 2, a 1 ).. Zustandsgraph Sei A = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein DEA, der Zustandsgraph ist definiert, sodass 1 die Ecken die Zustände sind, 2 für Zustände p, q Q sind die Kanten von p nach q alle Tripel (p, a, q) mit a Σ und δ(p, a) = q Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 11
45 Zustandstabelle a 1 Σ a 2 Σ q 1 Q δ(q 1, a 1 ) δ(q 1, a 2 ) q 2 Q δ(q 2, a 1 ).. Zustandsgraph Sei A = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein DEA, der Zustandsgraph ist definiert, sodass 1 die Ecken die Zustände sind, 2 für Zustände p, q Q sind die Kanten von p nach q alle Tripel Konvention (p, a, q) mit a Σ und δ(p, a) = q Zu jeder Kante (p, a, q) schreibt man die Eingabe a. Den Startzustand markiert man mit einem Pfeil; die akzeptierenden Zustände werden mit einem doppelten Kreis gekennzeichnet. Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 11
46 Definition (erweiterte Übergangsfunktion) Sei δ eine Übergangsfunktion, wir definieren die erweiterte Übergangsfunktion δ : Q Σ Q induktiv: Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 12
47 Definition (erweiterte Übergangsfunktion) Sei δ eine Übergangsfunktion, wir definieren die erweiterte Übergangsfunktion δ : Q Σ Q induktiv: δ(q, ɛ) := q Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 12
48 Definition (erweiterte Übergangsfunktion) Sei δ eine Übergangsfunktion, wir definieren die erweiterte Übergangsfunktion δ : Q Σ Q induktiv: δ(q, ɛ) := q δ(q, xa) := δ( δ(q, x), a) x Σ, a Σ Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 12
49 Definition (erweiterte Übergangsfunktion) Sei δ eine Übergangsfunktion, wir definieren die erweiterte Übergangsfunktion δ : Q Σ Q induktiv: δ(q, ɛ) := q δ(q, xa) := δ( δ(q, x), a) x Σ, a Σ Definition Sei A = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein DEA; die Sprache L(A) von A: L(A) := {x Σ δ(q 0, x) F} Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 12
50 Definition (erweiterte Übergangsfunktion) Sei δ eine Übergangsfunktion, wir definieren die erweiterte Übergangsfunktion δ : Q Σ Q induktiv: δ(q, ɛ) := q δ(q, xa) := δ( δ(q, x), a) x Σ, a Σ Definition Sei A = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein DEA; die Sprache L(A) von A: L(A) := {x Σ δ(q 0, x) F} Satz Sei A ein DEA, dann ist L(A) regulär und umgekehrt existiert zu jeder regulären Sprache L ein DEA A, sodass L = L(A) Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 12
51 Beispiel Definiere DEA A, der alle aus 0en und 1en bestehenden Zeichenketten akzeptiert, die die Folge 01 enthalten Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 13
52 Beispiel Definiere DEA A, der alle aus 0en und 1en bestehenden Zeichenketten akzeptiert, die die Folge 01 enthalten L = {x01y x, y sind beliebige Zeichenketten aus 0en und 1en} Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 13
53 Beispiel Definiere DEA A, der alle aus 0en und 1en bestehenden Zeichenketten akzeptiert, die die Folge 01 enthalten L = {x01y x, y sind beliebige Zeichenketten aus 0en und 1en} Wir machen die folgende Hilfsüberlegung: Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 13
54 Beispiel Definiere DEA A, der alle aus 0en und 1en bestehenden Zeichenketten akzeptiert, die die Folge 01 enthalten L = {x01y x, y sind beliebige Zeichenketten aus 0en und 1en} Wir machen die folgende Hilfsüberlegung: q 0 A hat Sequenz 01 noch nicht gefunden A wechselt in Zustand q 1, sobald 0 gelesen wird Sonst verharrt A in Zustand q 0 Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 13
55 Beispiel Definiere DEA A, der alle aus 0en und 1en bestehenden Zeichenketten akzeptiert, die die Folge 01 enthalten L = {x01y x, y sind beliebige Zeichenketten aus 0en und 1en} Wir machen die folgende Hilfsüberlegung: q 0 q 1 A hat Sequenz 01 noch nicht gefunden A wechselt in Zustand q 1, sobald 0 gelesen wird Sonst verharrt A in Zustand q 0 A hat Sequenz 0 gelesen A wechselt in Zustand q 2, sobald 1 gelesen wird Sonst verharrt A in Zustand q 1 Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 13
56 Beispiel Definiere DEA A, der alle aus 0en und 1en bestehenden Zeichenketten akzeptiert, die die Folge 01 enthalten L = {x01y x, y sind beliebige Zeichenketten aus 0en und 1en} Wir machen die folgende Hilfsüberlegung: q 0 q 1 q 2 A hat Sequenz 01 noch nicht gefunden A wechselt in Zustand q 1, sobald 0 gelesen wird Sonst verharrt A in Zustand q 0 A hat Sequenz 0 gelesen A wechselt in Zustand q 2, sobald 1 gelesen wird Sonst verharrt A in Zustand q 1 A hat Sequenz 01 gelesen A akzeptiert jede weitere Eingabe Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 13
57 Beispiel (Fortsetzung) Nun kann der Automat leicht angegeben werden: 1 0 0, 1 q 0 0 q 1 1 q 2 Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 14
58 Beispiel (Fortsetzung) Nun kann der Automat leicht angegeben werden: 1 0 0, 1 q 0 0 q 1 1 q 2 Gleichzeitig ist auch eine Darstellung durch die Zustandstabelle denkbar. 0 1 q 0 q 1 q 0 q 1 q 1 q 2 q 2 q 2 q 2 Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 14
59 Abschlusseigenschaften von regulären Sprachen Satz Seien L, M reguläre Sprachen (über dem Alphabet Σ), dann gilt 1 Die Vereinigung L M ist regulär 2 Das Komplement L ist regulär 3 Der Schnitt L M ist regulär 4 Die Mengendifferenz L \ M ist regulär Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 15
60 Abschlusseigenschaften von regulären Sprachen Satz Seien L, M reguläre Sprachen (über dem Alphabet Σ), dann gilt 1 Die Vereinigung L M ist regulär 2 Das Komplement L ist regulär 3 Der Schnitt L M ist regulär 4 Die Mengendifferenz L \ M ist regulär Beweis. Der (nicht schwierige) Beweis wird in Diskrete Mathematik nachgeholt. Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 15
61 Beispiel Endlicher Automat Beispiel Konstruieren Sie einen DEA A, der die Sprache L über dem Alphabet {a, b} akzeptiert, wobei L wie folgt definiert ist: L = {x x enthält eine gerade Anzahl von as} und eine ungerade Anzahl von bs Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 16
62 Beispiel Endlicher Automat Beispiel Konstruieren Sie einen DEA A, der die Sprache L über dem Alphabet {a, b} akzeptiert, wobei L wie folgt definiert ist: L = {x x enthält eine gerade Anzahl von as} und eine ungerade Anzahl von bs Antwort Tafel Einführung in die Theoretische Informatik, Wintersemester 2018/19 16
Zusammenfassung. Beispiel. 1 Wir betrachten die folgende Signatur F = {,, +, 0, 1} sodass. 3 Wir betrachten die Identitäten E. 4 Dann gilt E 1 + x = 1
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