Diskrete Mathematik. Arne Dür Kurt Girstmair Simon Legner Georg Moser Harald Zankl
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1 OLC mputational gic Diskrete Mathematik Arne Dür Kurt Girstmair Simon Legner Georg Moser Harald Zankl Fakultät für Mathematik, Informatik und UIBK Sommersemester 2011 GM (MIP) Diskrete Mathematik 1/111
2 Zusammenfassung der letzten LV Zusammenfassung der letzten LV Satz die folgenden Mengen sind gleich: die Menge der durch RA beschriebenen Sprachen die Menge der von DEA akzeptierten Sprachen die Menge der von NEA akzeptierten Sprachen die Menge der von ɛ-nea akzeptierten Sprachen Satz ➀ sei A ein beliebiger DEA, dann regulären Ausdruck R, sodass L(A) = L(R) Satz ➁ sei R ein beliebiger RA, dann ɛ-nea E, sodass L(R) = L(E) GM (MIP) Diskrete Mathematik 70/111
3 Zusammenfassung der letzten LV Definition definiere R (k) ij induktiv Basis k = 0 1 Fall i j: Kanten zwischen i und j keine solche Kante: 2 Fall i=j R (0) ij = eine oder mehrere Kanten (i, a 1, j),..., (i, a l, j): R (0) ij = a a l zusätzlich repräsentiere die Wege der Länge 0 durch das Leerwort ɛ Schritt k > 0 R (k) ij = R (k 1) ij + R (k 1) ik (R (k 1) kk ) R (k 1) kj GM (MIP) Diskrete Mathematik 71/111
4 Zusammenfassung der letzten LV Beispiel betrachte den DEA A: 0 1 q p r GM (MIP) Diskrete Mathematik 72/111
5 Zusammenfassung der letzten LV Beispiel betrachte den DEA A: 0 1 q p r Frage wie lautet der RA R, sodass L(A) = L(R)? Antwort setze R = (ɛ ) 000 Begründung: an der Tafel GM (MIP) Diskrete Mathematik 72/111
6 Übersicht Endliche Automaten Automaten, reguläre Sprachen und Grammatiken, (nicht)-deterministische endliche Automaten, Teilmengenkonstruktion, ɛ-neas, Umwandlung endlicher Automaten in reguläre Ausdrücke, Pumpinglemma, Minimierung Berechenbarkeitstheorie Einführung in die Berechenbarkeitstheorie, Turingmaschinen, Entscheidungsprobleme, Universelle Maschinen und Diagonalisierung, Komplexitätstheorie Einführung in die Komplexitätstheorie, die Klassen P und NP, logarithmisch platzbeschränkte Reduktionen, Speicherplatzkomplexität GM (MIP) Diskrete Mathematik 73/111
7 Übersicht Endliche Automaten Automaten, reguläre Sprachen und Grammatiken, (nicht)-deterministische endliche Automaten, Teilmengenkonstruktion, ɛ-neas, Umwandlung endlicher Automaten in reguläre Ausdrücke, Pumpinglemma, Minimierung Berechenbarkeitstheorie Einführung in die Berechenbarkeitstheorie, Turingmaschinen, Entscheidungsprobleme, Universelle Maschinen und Diagonalisierung, Komplexitätstheorie Einführung in die Komplexitätstheorie, die Klassen P und NP, logarithmisch platzbeschränkte Reduktionen, Speicherplatzkomplexität GM (MIP) Diskrete Mathematik 73/111
8 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Abgeschlossenheit regulärer Sprachen Satz reguläre Sprachen sind abgeschlossen 1 unter Vereinigung 2 unter Schnitt 3 unter Komplement 4 unter Mengendifferenz 5 unter Abschluss (unter Kleene-Stern) 6... GM (MIP) Diskrete Mathematik 74/111
9 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Vereinigung Satz reguläre Sprachen sind abgeschlossen unter Vereinigung GM (MIP) Diskrete Mathematik 75/111
10 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Vereinigung Satz reguläre Sprachen sind abgeschlossen unter Vereinigung Beweis. seien A, B reguläre Sprachen und seien E, F RAs sodass A = L(E), B = L(F ) A B = L(E + F ) GM (MIP) Diskrete Mathematik 75/111
11 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Vereinigung Satz reguläre Sprachen sind abgeschlossen unter Vereinigung Beweis. seien A, B reguläre Sprachen und seien E, F RAs sodass A = L(E), B = L(F ) A B = L(E + F ) GM (MIP) Diskrete Mathematik 75/111
12 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Vereinigung Satz reguläre Sprachen sind abgeschlossen unter Vereinigung Beweis. seien A, B reguläre Sprachen und seien E, F RAs sodass A = L(E), B = L(F ) A B = L(E + F ) Beispiel A = {w w {0, 1} endet in 01} B = {w w {0, 1} endet mit 10} E = (0 + 1) 01 F = (0 + 1) 10 GM (MIP) Diskrete Mathematik 75/111
13 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Vereinigung Satz reguläre Sprachen sind abgeschlossen unter Vereinigung Beweis. seien A, B reguläre Sprachen und seien E, F RAs sodass A = L(E), B = L(F ) A B = L(E + F ) Beispiel A = {w w {0, 1} endet in 01} B = {w w {0, 1} endet mit 10} E = (0 + 1) 01 F = (0 + 1) 10 A B = L((0 + 1) 01 + (0 + 1) 10) = L(((0 + 1) ( )) GM (MIP) Diskrete Mathematik 75/111
14 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Komplement Definition sei L eine formale Sprache über dem Alphabet Σ das Komplement L von L ist Σ \ L GM (MIP) Diskrete Mathematik 76/111
15 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Komplement Definition sei L eine formale Sprache über dem Alphabet Σ das Komplement L von L ist Σ \ L Satz reguläre Sprachen sind abgeschlossen unter Komplement GM (MIP) Diskrete Mathematik 76/111
16 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Komplement Definition sei L eine formale Sprache über dem Alphabet Σ das Komplement L von L ist Σ \ L Satz reguläre Sprachen sind abgeschlossen unter Komplement Beweis. sei L regulär DEA A = (Q, Σ, δ, q 0, F ), sodass L = L(A) L = L(B) B = (Q, Σ, δ, q 0, Q \ F ) GM (MIP) Diskrete Mathematik 76/111
17 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Komplement Definition sei L eine formale Sprache über dem Alphabet Σ das Komplement L von L ist Σ \ L Satz reguläre Sprachen sind abgeschlossen unter Komplement Beweis. sei L regulär DEA A = (Q, Σ, δ, q 0, F ), sodass L = L(A) L = L(B) B = (Q, Σ, δ, q 0, Q \ F ) GM (MIP) Diskrete Mathematik 76/111
18 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Beispiel: Abgeschlossenheit unter Komplement L = L((0 + 1) 01) L =??? GM (MIP) Diskrete Mathematik 77/111
19 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Beispiel: Abgeschlossenheit unter Komplement L = L((0 + 1) 01) L =??? RA NEA (0 + 1) 01 0, GM (MIP) Diskrete Mathematik 77/111
20 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Beispiel: Abgeschlossenheit unter Komplement L = L((0 + 1) 01) L =??? RA NEA (0 + 1) 01 0, NEA DEA 1 0 (0 + 1) GM (MIP) Diskrete Mathematik 77/111
21 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Komplement des DEA 1 0 {0, 1} \ L((0 + 1) 01) GM (MIP) Diskrete Mathematik 78/111
22 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Komplement des DEA 1 0 {0, 1} \ L((0 + 1) 01) DEA RA berechne R (3) 11 = R (2) 11 + R(2) 13 (R(2) 33 ) R (2) 31 und R (3) 12 = R (2) 12 + R(2) 13 (R(2) 33 ) R (2) 32 GM (MIP) Diskrete Mathematik 78/111
23 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Komplement des DEA 1 0 {0, 1} \ L((0 + 1) 01) DEA RA berechne R (3) 11 = 1 + ( ) und R (3) 12 = R (2) 12 + R(2) 13 (R(2) 33 ) R (2) 32 GM (MIP) Diskrete Mathematik 78/111
24 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Komplement des DEA 1 0 {0, 1} \ L((0 + 1) 01) DEA RA berechne R (3) 11 = 1 + ( ) und R (3) 12 = ( ) GM (MIP) Diskrete Mathematik 78/111
25 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Komplement des DEA 1 0 {0, 1} \ L((0 + 1) 01) DEA RA berechne R (3) 11 = 1 + ( ) und R (3) 12 = ( ) somit gilt L = L(1 + ( ) ( ) ) GM (MIP) Diskrete Mathematik 78/111
26 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Durchschnitt Satz reguläre Sprachen sind unter Schnitt abgeschlossen GM (MIP) Diskrete Mathematik 79/111
27 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Durchschnitt Satz reguläre Sprachen sind unter Schnitt abgeschlossen Beweis. seien L, M reguläre Sprachen dann gilt L M ist regulär L ist regulär wir wenden das Gesetz von de Morgan an: L M = ( L M) GM (MIP) Diskrete Mathematik 79/111
28 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Durchschnitt Satz reguläre Sprachen sind unter Schnitt abgeschlossen Beweis. seien L, M reguläre Sprachen dann gilt L M ist regulär L ist regulär wir wenden das Gesetz von de Morgan an: L M = ( L M) GM (MIP) Diskrete Mathematik 79/111
29 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Durchschnitt (2) Satz reguläre Sprachen sind unter Schnitt abgeschlossen Direkter Beweis. GM (MIP) Diskrete Mathematik 80/111
30 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Durchschnitt (2) Satz reguläre Sprachen sind unter Schnitt abgeschlossen Direkter Beweis. seien L, M reguläre Sprachen DEA A L = (Q L, Σ, δ L, q L, F L ) sodass L = L(A L ) DEA A M = (Q M, Σ, δ M, q M, F M ) sodass M = L(A M ) GM (MIP) Diskrete Mathematik 80/111
31 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Durchschnitt (2) Satz reguläre Sprachen sind unter Schnitt abgeschlossen Direkter Beweis. seien L, M reguläre Sprachen DEA A L = (Q L, Σ, δ L, q L, F L ) sodass L = L(A L ) DEA A M = (Q M, Σ, δ M, q M, F M ) sodass M = L(A M ) wir konstruieren den Produktautomaten A = A L A M : A = (Q L Q M, Σ, δ, (q L, q M ), F L F M ) mit δ((p, q), a) = (δ L (p, a), δ M (q, a)) GM (MIP) Diskrete Mathematik 80/111
32 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Durchschnitt (2) Satz reguläre Sprachen sind unter Schnitt abgeschlossen Direkter Beweis. seien L, M reguläre Sprachen DEA A L = (Q L, Σ, δ L, q L, F L ) sodass L = L(A L ) DEA A M = (Q M, Σ, δ M, q M, F M ) sodass M = L(A M ) wir konstruieren den Produktautomaten A = A L A M : A = (Q L Q M, Σ, δ, (q L, q M ), F L F M ) mit δ((p, q), a) = (δ L (p, a), δ M (q, a)) wir sehen: L(A) = L(A L ) L(A M ) GM (MIP) Diskrete Mathematik 80/111
33 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Mengendifferenz Satz reguläre Sprachen sind unter Differenz abgeschlossen GM (MIP) Diskrete Mathematik 81/111
34 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Mengendifferenz Satz reguläre Sprachen sind unter Differenz abgeschlossen Beweis. seien L, M reguläre Sprachen L ist regulär dann gilt L M ist regulär L\M = L M GM (MIP) Diskrete Mathematik 81/111
35 Abgeschlossenheit Regulärer Sprachen Mengendifferenz Satz reguläre Sprachen sind unter Differenz abgeschlossen Beweis. seien L, M reguläre Sprachen L ist regulär dann gilt L M ist regulär L\M = L M GM (MIP) Diskrete Mathematik 81/111
36 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Erinnerung: Ausdrucksstärke regulärer Sprachen Beispiel betrachte Sprache L, die aus allen Strings von 1ern besteht, deren Anzahl eine Primzahl ist GM (MIP) Diskrete Mathematik 82/111
37 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Erinnerung: Ausdrucksstärke regulärer Sprachen Beispiel betrachte Sprache L, die aus allen Strings von 1ern besteht, deren Anzahl eine Primzahl ist Beispiel <expression> ::= <condition> if <condition> then <expression> fi <expression> <expression> Frage Durch regulären Ausdrücke beschreibbar? GM (MIP) Diskrete Mathematik 82/111
38 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Erinnerung: Ausdrucksstärke regulärer Sprachen Beispiel betrachte Sprache L, die aus allen Strings von 1ern besteht, deren Anzahl eine Primzahl ist Beispiel <expression> ::= <condition> if <condition> then <expression> fi <expression> <expression> Frage Durch regulären Ausdrücke beschreibbar? Antwort Nein GM (MIP) Diskrete Mathematik 82/111
39 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Wie zeigen wir, dass eine Sprache nicht regulär ist? GM (MIP) Diskrete Mathematik 83/111
40 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Wie zeigen wir, dass eine Sprache nicht regulär ist? Beispiel betrachte die folgende nicht-reguläre Sprache L: L = {( m ) m m 0} = {ɛ, (), (()), ((())), (((()))),... } GM (MIP) Diskrete Mathematik 83/111
41 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Wie zeigen wir, dass eine Sprache nicht regulär ist? Beispiel betrachte die folgende nicht-reguläre Sprache L: L = {( m ) m m 0} = {ɛ, (), (()), ((())), (((()))),... } angenommen L wäre regulär: DEA A, L(A) = L sei n = Q und m n betrache ( m ) m L: GM (MIP) Diskrete Mathematik 83/111
42 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Wie zeigen wir, dass eine Sprache nicht regulär ist? Beispiel betrachte die folgende nicht-reguläre Sprache L: L = {( m ) m m 0} = {ɛ, (), (()), ((())), (((()))),... } angenommen L wäre regulär: DEA A, L(A) = L sei n = Q und m n betrache ( m ) m L: m {}}{{}}{ ((((((((((((((((((((((((((((((((( ))))))))))))))))))))))))))))))))) m GM (MIP) Diskrete Mathematik 83/111
43 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Wie zeigen wir, dass eine Sprache nicht regulär ist? Beispiel betrachte die folgende nicht-reguläre Sprache L: L = {( m ) m m 0} = {ɛ, (), (()), ((())), (((()))),... } angenommen L wäre regulär: DEA A, L(A) = L sei n = Q und m n betrache ( m ) m L: m {}}{{}}{ ((((((((((((((((((((((((((((((((( ))))))))))))))))))))))))))))))))) m q 0 q r GM (MIP) Diskrete Mathematik 83/111
44 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Beispiel Wie zeigen wir, dass eine Sprache nicht regulär ist? betrachte die folgende nicht-reguläre Sprache L: L = {( m ) m m 0} = {ɛ, (), (()), ((())), (((()))),... } angenommen L wäre regulär: DEA A, L(A) = L sei n = Q und m n betrache ( m ) m L: ((((((((((((((((( (((((((( (((((((())))))))))))))))))))))))))))))))) }{{}}{{}}{{} x y z q 0 p p r GM (MIP) Diskrete Mathematik 83/111
45 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Beispiel Wie zeigen wir, dass eine Sprache nicht regulär ist? betrachte die folgende nicht-reguläre Sprache L: L = {( m ) m m 0} = {ɛ, (), (()), ((())), (((()))),... } angenommen L wäre regulär: DEA A, L(A) = L sei n = Q und m n betrache ( m ) m L: ((((((((((((((((( (((((((( (((((((())))))))))))))))))))))))))))))))) }{{}}{{}}{{} x y z q 0 r Teilstring y ɛ, y kann weggelassen oder vervielfacht werden GM (MIP) Diskrete Mathematik 83/111
46 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Pumpinglemma (Schleifenlemma) zunächst zeigen wir einen Abschlusseigenschaft von regulären Sprachen GM (MIP) Diskrete Mathematik 84/111
47 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Pumpinglemma (Schleifenlemma) zunächst zeigen wir einen Abschlusseigenschaft von regulären Sprachen Satz GM (MIP) Diskrete Mathematik 84/111
48 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Pumpinglemma (Schleifenlemma) zunächst zeigen wir einen Abschlusseigenschaft von regulären Sprachen Satz 1 sei L eine reguläre Sprache GM (MIP) Diskrete Mathematik 84/111
49 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Pumpinglemma (Schleifenlemma) zunächst zeigen wir einen Abschlusseigenschaft von regulären Sprachen Satz 1 sei L eine reguläre Sprache 2 dann eine Konstante n GM (MIP) Diskrete Mathematik 84/111
50 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Pumpinglemma (Schleifenlemma) zunächst zeigen wir einen Abschlusseigenschaft von regulären Sprachen Satz 1 sei L eine reguläre Sprache 2 dann eine Konstante n und Wörter w L, mit l(w) n gilt GM (MIP) Diskrete Mathematik 84/111
51 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Pumpinglemma (Schleifenlemma) zunächst zeigen wir einen Abschlusseigenschaft von regulären Sprachen Satz 1 sei L eine reguläre Sprache 2 dann eine Konstante n und Wörter w L, mit l(w) n gilt Wörter x, y, z mit w = xyz GM (MIP) Diskrete Mathematik 84/111
52 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Pumpinglemma (Schleifenlemma) zunächst zeigen wir einen Abschlusseigenschaft von regulären Sprachen Satz 1 sei L eine reguläre Sprache 2 dann eine Konstante n und Wörter w L, mit l(w) n gilt Wörter x, y, z mit wobei y ɛ, l(xy) n w = xyz GM (MIP) Diskrete Mathematik 84/111
53 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Pumpinglemma (Schleifenlemma) zunächst zeigen wir einen Abschlusseigenschaft von regulären Sprachen Satz 1 sei L eine reguläre Sprache 2 dann eine Konstante n und Wörter w L, mit l(w) n gilt Wörter x, y, z mit wobei y ɛ, l(xy) n sodass k 0 w = xyz x(y) k z L GM (MIP) Diskrete Mathematik 84/111
54 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Beweis (1). angenommen L ist regulär dann DEA A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) mit n Zuständen, sodass L = L(A) GM (MIP) Diskrete Mathematik 85/111
55 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Beweis (1). angenommen L ist regulär dann DEA A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) mit n Zuständen, sodass L = L(A) obda L unendlich, sonst ist der Satz trivial sei w = a 1 a m m n GM (MIP) Diskrete Mathematik 85/111
56 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Beweis (1). angenommen L ist regulär dann DEA A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) mit n Zuständen, sodass L = L(A) obda L unendlich, sonst ist der Satz trivial sei definiere w = a 1 a m p i = δ(q 0, a 1 a i ) m n GM (MIP) Diskrete Mathematik 85/111
57 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Beweis (1). angenommen L ist regulär dann DEA A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) mit n Zuständen, sodass L = L(A) obda L unendlich, sonst ist der Satz trivial sei definiere w = a 1 a m p i = δ(q 0, a 1 a i ) m n p i ist der Zustand von A nach dem Lesen von i Symbolen von w; beachte p 0 = q 0 GM (MIP) Diskrete Mathematik 85/111
58 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Beweis (1). angenommen L ist regulär dann DEA A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) mit n Zuständen, sodass L = L(A) obda L unendlich, sonst ist der Satz trivial sei definiere w = a 1 a m p i = δ(q 0, a 1 a i ) m n p i ist der Zustand von A nach dem Lesen von i Symbolen von w; beachte p 0 = q 0 betrachte den Weg p 0 p 1 p 2 p n 1 p n GM (MIP) Diskrete Mathematik 85/111
59 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Beweis (1). angenommen L ist regulär dann DEA A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) mit n Zuständen, sodass L = L(A) obda L unendlich, sonst ist der Satz trivial sei definiere w = a 1 a m p i = δ(q 0, a 1 a i ) m n p i ist der Zustand von A nach dem Lesen von i Symbolen von w; beachte p 0 = q 0 betrachte den Weg p 0 p 1 p 2 p n 1 p n die p i können nicht alle verschieden sein: es gibt nur n Zustände GM (MIP) Diskrete Mathematik 85/111
60 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Beweis (2). Indices i, j, sodass p i = p j =: p i < j zerlege w: a 1 a i }{{} x a i+1 a j }{{} y ɛ a j+1 a m }{{} z GM (MIP) Diskrete Mathematik 86/111
61 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Beweis (2). Indices i, j, sodass p i = p j =: p i < j zerlege w: a 1 a i }{{} x a i+1 a j }{{} y ɛ a j+1 a m }{{} z y q 0 x p z GM (MIP) Diskrete Mathematik 86/111
62 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Beweis (2). Indices i, j, sodass p i = p j =: p i < j zerlege w: a 1 a i }{{} x a i+1 a j }{{} y ɛ a j+1 a m }{{} z y q 0 x p z für all k wird x(y) k z akzeptiert: A durchläuft den Weg von p nach p k-mal GM (MIP) Diskrete Mathematik 86/111
63 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Beweis (2). Indices i, j, sodass p i = p j =: p i < j zerlege w: a 1 a i }{{} x a i+1 a j }{{} y ɛ a j+1 a m }{{} z y q 0 x p z für all k wird x(y) k z akzeptiert: A durchläuft den Weg von p nach p k-mal GM (MIP) Diskrete Mathematik 86/111
64 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Kontraposition des Pumpinglemma um zu zeigen, dass eine Sprache nicht regulär ist, verwendet man die Kontraposition des Pumpinglemmas GM (MIP) Diskrete Mathematik 87/111
65 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Kontraposition des Pumpinglemma um zu zeigen, dass eine Sprache nicht regulär ist, verwendet man die Kontraposition des Pumpinglemmas Satz angenommen GM (MIP) Diskrete Mathematik 87/111
66 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Kontraposition des Pumpinglemma um zu zeigen, dass eine Sprache nicht regulär ist, verwendet man die Kontraposition des Pumpinglemmas Satz angenommen 1 n GM (MIP) Diskrete Mathematik 87/111
67 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Kontraposition des Pumpinglemma um zu zeigen, dass eine Sprache nicht regulär ist, verwendet man die Kontraposition des Pumpinglemmas Satz angenommen 1 n 2 ein String w L mit l(w) n und GM (MIP) Diskrete Mathematik 87/111
68 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Kontraposition des Pumpinglemma um zu zeigen, dass eine Sprache nicht regulär ist, verwendet man die Kontraposition des Pumpinglemmas Satz angenommen 1 n 2 ein String w L mit l(w) n und 3 Zerlegung von w in x, y und z mit w = xyz y ɛ, l(xy) n, GM (MIP) Diskrete Mathematik 87/111
69 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Kontraposition des Pumpinglemma um zu zeigen, dass eine Sprache nicht regulär ist, verwendet man die Kontraposition des Pumpinglemmas Satz angenommen 1 n 2 ein String w L mit l(w) n und 3 Zerlegung von w in x, y und z mit w = xyz y ɛ, l(xy) n, 4 k mit x(y) k z L GM (MIP) Diskrete Mathematik 87/111
70 Pumpinglemma (Schleifenlemma) Kontraposition des Pumpinglemma um zu zeigen, dass eine Sprache nicht regulär ist, verwendet man die Kontraposition des Pumpinglemmas Satz angenommen 1 n 2 ein String w L mit l(w) n und 3 Zerlegung von w in x, y und z mit w = xyz y ɛ, l(xy) n, 4 k mit x(y) k z L dann ist L nicht regulär GM (MIP) Diskrete Mathematik 87/111
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