2. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 1 von Welche der folgenden Aussagen zur Aussagenlogik ist falsch?

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1 2. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 1 von Welche der folgenden Aussagen zur Aussagenlogik ist falsch? A. Für jede Formel A existiert eine DNF D und eine KNF K, sodass A D K gilt. B. Wenn A 1,..., A,... A n B gilt, dann auch A 1,..., A n A B. C. A B gilt gdw. (A B) (B A) eine Tautologie ist. D. Eine Formel A ist eine Tautologie gdw. A unerfüllbar ist. E. Jedes Axiomensystem für die Aussagenlogik ist vollständig.

2 2. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 2 von Welche der folgenden Anordnungen der Chomsky-Hierarchie ist falsch? Zur Erinnerung: L 3 = reguläre Sprachen L 2 = kontextfreie Sprachen L 1 = kontextsensitive Sprachen L 0 = rekursiv aufzählbare Sprachen L = formale Sprachen A. L 3 L 2 L 1 L 0 L B. L 3 L 2 L 1 L 0 L C. L 3 L 2 L 1 L 0 L D. L 3 L 2 L 1 L 0 L E. L 3 = L 2 = L 1 = L 0 = L

3 2. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 3 von Welche der folgenden Aussagen zur Algebra ist falsch? A. Seien A, B Boolesche Ausdrücke und f, g ihre Booleschen Funktionen. Dann gilt A B gdw. f = g in der Algebra der Boolschen Funktionen. B. Die Algebra der Booleschen Funktionen ist eine Algebra. C. Jede binäre Operation hat maximal ein neutrales Element. D. Sei B eine Boolesche Algebra und sei B die Trägermenge von B. Für alle a B gilt ( (a)) = a. E. Jede Algebra ist auch eine Boolesche Algebra.

4 2. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 4 von Welche der folgenden Aussagen zur Verifikation nach Hoare ist falsch? A. Sei {Q} P {R} ein Hoare-Triple. Dann nennen wir P korrekt in Bezug auf Q und R, wenn dieses Triple im Hoare Kalkül ableitbar ist. B. Eine Formel, die sowohl vor der Ausführung des Programmes, wie auch nach der Ausführung richtig ist, nennt man Invariante. C. Eine Zusicherung ist eine eingeschränkte prädikatenlogische Formel. D. Ein Hoare-Triple besteht aus drei Komponenten: einem Programm und zwei eingeschränkten prädikatenlogischen Formeln. E. Wir nennen ein Programm P total korrekt für eine Spezifikation S, wenn S korrekt ist in Bezug auf die Zusicherungen Q und R, die der Spezifikation S entsprechen.

5 2. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 5 von Betrachten Sie die formalen Sprachen L = {ɛ, ca, aba}, M = {a, b, c} und N = {a, b, c}. Was ist (LM) N? A. (LM) N = {a, b, c} B. (LM) N = C. (LM) N = {ɛ, a, b, c, caa, cac, abac} D. (LM) N = {caa, cab, cac, abaa, abab, abac} E. (LM) N = {ɛ, a, b, c, caa, cab, cac, abaa, abab, abac} F. (LM) N = {a, b, c, caa, cab, cac, abaa, abab, abac}

6 2. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 6 von Welches der folgenden klassischen Probleme der Informatik ist entscheidbar? A. Gegeben eine kontextfreie Grammatik G. Gibt es ein Wort x L(G), sodass für x zwei verschiedene Linksableitungen existieren? B. Gegeben zwei Listen von Wörtern x 1,..., x n und y 1,..., y n. Existieren Indices i 1,..., i m, sodass x i1 x im = y i1 y im? C. Das uniforme Halteproblem für Turingmaschinen. Das uniforme Halteproblem ist das Problem, ob ein gegebenes Programm auf jeder beliebigen Eingabe hält. D. Gegeben ein beliebiges Programm P, ist P ein hello, world -Programm? E. Das Halteproblem für die eingeschränkte Klasse von Turingmaschinen, die den Inhalt des unendlichen Bandes lesen, nicht aber verändern dürfen.

7 7. Aussagenlogik: a) Zeigen Sie die folgende Äquivalenz: (p q) (p q p) p p [8 Punkte] b) Betrachten Sie die folgende Wahrheitsfunktion f : {T, F} 2 {T, F}, dargestellt durch Ihre Wahrheitstabelle: s 1 s 2 f(s 1, s 2 ) T T F T F F F T F F F T Verwenden Sie die Methode aus dem Skriptum um die konjunktive Normalform K von f anzugeben. [8 Punkte]

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9 8. Algebra: Sei B eine Boolesche Algebra mit der Trägermenge B. Zeigen Sie, dass für alle a, b B die Eindeutigkeit des Komplements gilt: W enn a + b = 1 und a b = 0, dann b = (a) Ergänzen Sie dazu den folgenden Beweis: [14 Punkte] b = = b (a+ (a)) = = =, da a b = 0 = = (a + b) (a) =, da = (a) Gilt die gezeigte Aussage auch für die binäre Algebra? [2 Punkte]

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11 9. Formale Sprachen: Gegeben sei die folgende Grammatik G mit Startsymbol ST MT : ST MT ID := EXP while T EST do ST MT done --ID ST MT ; ST MT T EST T ERM neq T ERM EXP T ERM EXP T OP T ERM T OP + - T ERM ID NAT ID CHAR CHAR ID CHAR a... z A... Z NAT DIGIT DIGIT NAT DIGIT Die Grammtik G beschreibt die Syntax einer einfachen Programmiersprache. Betrachten sie das Program P := while i neq 0 do --i; --i done. Zeigen Sie mittels rekursiver Inferenz, dass P Teil der Sprache L(G) ist. [16 Punkte]

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13 10. Berechenbarkeitstheorie: Schreiben Sie das while-programm P für eine Registermaschine R Σ = ((x i ) 1 i 3, P ), welche die Summe der Zahlen von 0 bis n berechnet. Die Zahl n steht am Beginn in Register x 1. Das Programm soll das Ergebnis in Register x 2 schreiben. Verwenden Sie dazu das Hilfsprogramm P + (x i, x j, x k ). Wird P + mit den Werten (a, b, c) aufgerufen liefert es (a + b, b, 0) als Ergebnis. [16 Punkte]

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15 Version 1: E E E E F E ANSWERKEY FOR version2