Zusammenfassung. Beispiel. 1 Wir betrachten die folgende Signatur F = {,, +, 0, 1} sodass. 3 Wir betrachten die Identitäten E. 4 Dann gilt E 1 + x = 1

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1 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LVA Einführung in die Theoretische Informatik Christina Kohl Alexander Maringele eorg Moser Michael Schaper Institut für UIBK Wintersemester Wir betrachten die folgende Signatur F = {,, +, 0, 1} sodass Stelligkeit von 0, 1 ist 0 Stelligkeit von ist 1 Stelligkeit von +, ist 2 2 V = {x 1, x 2,... } 3 Wir betrachten die Identitäten E (x + y) + z = x + (y + z) x + x = 1 x + x = x 4 Dann gilt E 1 + x = 1 Satz (Satz von Birkhoff) Für beliebige Terme s, t gilt E = s t gdw. E s t M (IFI) Einführung in die Theoretische Informatik 102/1 Zusammenfassung Wortmonoid Seien x, y Wörter, wir schreiben x y für die Konkatenation von x und y: Sei x = a 1 a 2 a i, y = b 1 b 2 b j, dann gilt x y = a 1 a 2 a i b 1 b 2 b j Lemma Konkatenation ist assoziativ und besitzt das Leerwort ɛ als neutrales Element Wir lassen oft weg und schreiben xy statt x y Die Algebra Σ ;, ɛ ist ein Monoid; das Wortmonoid Übersicht Inhalte der Lehrveranstaltung Einführung in die Logik Syntax & Semantik der Aussagenlogik, Formales Beweisen, Konjunktive und Disjunktive Normalformen Einführung in die Algebra Boolesche Algebra, Universelle Algebra, Logische Schaltkreise Einführung in die Theorie der Formalen rammatiken und Formale, Reguläre, Kontextfreie Einführung in die Berechenbarkeitstheorie Algorithmisch unlösbare Probleme, Turing Maschinen, Registermaschinen Einführung in die Programmverifikation Prinzipien der Analyse von Programmen, Verifikation nach Hoare M (IFI) Einführung in die Theoretische Informatik 103/1 M (IFI) Einführung in die Theoretische Informatik 104/1

2 Eine Teilmenge L von Σ heißt eine formale Sprache über Alphabet Σ Die Sprache aller Wörter, die aus n 0en gefolgt von n 1er bestehen, wobei n 0: {ɛ, 01, 0011, , } Die Menge der Wörter, die jeweils die selbe Anzahl 0en und 1er enthalten: {ɛ, 01, 10, 0011, 0101, } Σ ist eine Sprache, die leere Sprache ist eine Sprache, {ɛ} ist eine Sprache. Beachte {ɛ} Seien L, M formale über dem Alphabet Σ Die Vereinigung von L und M ist wie folgt definiert L M = {x x L oder x M} Wir definieren das Komplement von L: L = Σ \ L := {x Σ x / L} Der Durchschnitt von L und M ist wie folgt definiert: L M = {x x L und x M} Das Produkt (oder Verkettung) von L und M ist definiert als: LM = {xy x L, y M} Lemma Seien L, L 1, L 2, L 3 formale, dann gilt (L 1 L 2 )L 3 = L 1 (L 2 L 3 ) L{ɛ} = {ɛ}l = L M (IFI) Einführung in die Theoretische Informatik 105/1 M (IFI) Einführung in die Theoretische Informatik 106/1 Abschluss einer Formalen Sprache Sei L eine formale Sprache und k N Die k-te Potenz von L definiert als: {ɛ} falls k = 0 L k = L falls k = 1 LL L }{{} falls k > 1 k-mal Der Kleene-Stern oder Abschluss von L ist wie folgt definiert: L = k 0 L k = {x 1 x k x 1,..., x k L und k N, k 0} Schließlich definieren wir: L + = k 1 L k = {x 1 x k x 1,..., x k L und k N, k > 0} Sei Σ = {0, 1} und betrachte die Sprache L aller Wörter, die aus n 0en gefolgt von n 1er bestehen, wobei n 0 Wir können L konzise in Mengennotation angeben: L = {0 n 1 n n 0} Es gilt L, aber L 2 Allgemein erhalten wir etwa: L 2 = {0 n 1 n 0 k 1 k n, k 0} M (IFI) Einführung in die Theoretische Informatik 107/1 M (IFI) Einführung in die Theoretische Informatik 108/1

3 rammatiken und Formale rammatiken und Formale rammatiken und Formale S Pronomen Nomen Verb Adjektiv Nomen Lehrveranstaltungsleiter Nomen Vortragender Pronomen Unser Mein Verb ist Adjektiv lästig nett streng monoton anspruchsvoll Eine rammatik ist ein Quadrupel = (V, Σ, R, S), wobei 1 V eine endliche Menge von Variablen (oder Nichtterminale) 2 Σ ein Alphabet, die Terminale, V Σ = 3 R eine endliche Menge von Regeln 4 S V das Startsymbol von Eine Regel ist ein Paar P Q von Wörtern, sodass P, Q (V Σ) und in P mindestens eine Variable vorkommt P nennen wir auch die Prämisse und Q die Konklusion der Regel Es gilt S Unser Lehrveranstaltungsleiter ist anspruchsvoll Konvention Variablen werden groß geschrieben, Terminale klein Statt P Q 1, P Q 2, P Q 3 schreiben wir P Q 1 Q 2 Q 3 M (IFI) Einführung in die Theoretische Informatik 109/1 M (IFI) Einführung in die Theoretische Informatik 110/1 Ableitungen in einer rammatik Sei = (V, Σ, R, S) eine rammatik und seien x, y (V Σ) 1 Wir sagen y ist aus x in direkt ableitbar, wenn gilt: u, v (V Σ), (P Q) R sodass (x = upv und y = uqv) 2 In diesem Fall schreiben wir kurz x y Sprache einer rammatik Sprache einer rammatik Die vom Startsymbol S ableitbaren Wörter heißen Satzformen Elemente von Σ heißen Terminalwörter Satzformen, die Terminalwörter sind, heißen Sätze 3 Wenn aus dem Kontext folgt schreiben wir x y (Ableitbar) Wir sagen y ist aus x in ableitbar, wenn k N und w 0, w 1,..., w k (V Σ) gibt, sodass x = w 0 w 1... w k = y Wir schreiben x y, beziehungsweise x y (Sprache einer rammatik) Die Menge aller Sätze L() = {x Σ S x} heißt die von der rammatik erzeugte Sprache Zwei rammatiken 1 und 2 heißen äquivalent, wenn L( 1 ) = L( 2 ) M (IFI) Einführung in die Theoretische Informatik 111/1 M (IFI) Einführung in die Theoretische Informatik 112/1

4 (rechtslinear) rammatik = (V, Σ, R, S) heißt rechtslinear, wenn für alle Regeln 1 P V 2 Q Σ Σ + V Die rammatik 1 = ({B}, {0, 1}, R, B) ist rechtslinear, wobei R wie folgt definiert: B 0 1 0B 1B (kontextfrei) rammatik = (V, Σ, R, S) heißt kontextfrei, wenn für alle Regeln 1 P V 2 Q (V Σ) Die rammatik 2 = ({K}, {(, )}, R, K) ist kontextfrei, wobei R wie folgt definiert: Es gilt: K ɛ (K) KK Es gilt: L( 1 ) = {0, 1} + K KK (K)K (ɛ)k = ()K ()(K) ()(KK) ()(()(())) M (IFI) Einführung in die Theoretische Informatik 113/1 M (IFI) Einführung in die Theoretische Informatik 114/1 (kontextsensitiv) rammatik = (V, Σ, R, S) heißt kontextsensitiv, wenn für alle Regeln 1 entweder es existieren u, v, w (V Σ) und A V, sodass 2 oder P = S und Q = ɛ P = uav und Q = uwv wobei w 1 Wenn S ɛ, dann kommt S nicht in einer Konklusion vor 3 = ({S, B, C, H}, {a, b, c}, R, S) ist kontextsensitiv, wobei R: S asbc abc HC BC bc bc CB HB ab ab cc cc HB HC bb bb L( 3 ) = {a n b n c n n 1} (beschränkt) rammatik = (V, Σ, R, S) heißt beschränkt, wenn für alle Regeln 1 entweder P Q oder 2 P = S und Q = ɛ Wenn S ɛ, dann kommt S nicht in einer Konklusion vor Eine formale Sprache L heißt regulär (vom Typ 3) wenn rechtslineare rammatik, L = L() kontextfrei (vom Typ 2) wenn kontextfreie rammatik, L = L() kontextsensitiv (vom Typ 1) wenn kontextsensitive rammatik, L = L() M (IFI) Einführung in die Theoretische Informatik 115/1 M (IFI) Einführung in die Theoretische Informatik 116/1

5 Chomsky-Hierarchie Chomsky-Hierarchie Eine formale Sprache L heißt beschränkt wenn beschränkte rammatik, L = L() rekursiv aufzählbar (vom Typ 0) wenn rammatik, L = L() Chomsky-Hierarchie L 0 L Satz (Chomsky-Hierarchie) Es gelten die folgenden Inklusionen L 2 L 1 L 3 L 2 L 1 L 0 L L i die Klasse der von Typ i L Klasse der formalen Satz Eine Sprache L ist kontextsensitiv gdw. L beschränkt ist L 3 L( 3 ) = {a n b n c n n 1} L( 2 ) = Klammerausdrücke L( 1 ) = {0, 1} + M (IFI) Einführung in die Theoretische Informatik 117/1 M (IFI) Einführung in die Theoretische Informatik 118/1