Universität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik. Klausur: Informatik III

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1 Name Vorname Matrikelnummer Universität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik o. Prof. Dr. P. Sanders 26. Feb Klausur: Informatik III Aufgabe 1. Multiple Choice 10 Punkte Aufgabe 2. Teilmengenkonstruktion 6 Punkte Aufgabe 3. Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus 7 Punkte Aufgabe 4. Kontextfreie Grammatiken 8 Punkte Aufgabe 5. Loop-Programme 8 Punkte Aufgabe 6. Entscheidbarkeit 8 Punkte Aufgabe 7. Komplexitätstheorie 13 Punkte Bitte beachten Sie: Als Hilfsmittel ist nur ein DIN-A4-Blatt mit Ihren Notizen zugelassen. Schreiben Sie auf alle Blätter Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Die Klausur enthält 8 Blätter und gilt als bestanden, wenn Sie 20 Punkte erreichen. Aufgabe Summe max. Punkte Punkte EK ZK Note:

2 Klausur: Informatik III, 26. Feb Blatt 2 von 8 Aufgabe 1. Multiple Choice 10 Punkte Geben Sie zu folgenden Aussagen durch Ankreuzen an, ob sie richtig oder falsch sind. Achtung! Jede richtige Antwort gibt 1 Punkt. Für jede falsche Antwort wird 1 Punkt abgezogen. Fehlende Antworten werden mit 0 Punkten bewertet. Die gesamte Aufgabe wird nie mit einer negativen Punktzahl bewertet. richtig falsch 1. Das Handlungsreisendenproblem mit Kantengewichten eingeschränkt auf die Werte null und eins ist NP-hart. 2. Es gibt ein Fully-Polynomial-Time-Approximation-Scheme für das Rucksack-Problem. 3. Jede Teilmenge einer entscheidbaren Menge ist rekursiv aufzählbar. 4. Die Vereinigung zweier entscheidbarer Mengen ist entscheidbar. 5. {a n b n : n 1} ist regulär. 6. Kellerautomaten akzeptieren Sprachen des Typs Sprachen vom Typ 3 sind unter der Komplementbildung abgeschlossen. 8. Keine Sprache enthält das leere Wort. 9. Die Anzahl der Äquivalenzklassen einer Nerode-Relation ist stets endlich. 10. AB µ C ist eine Produktion vom Typ 1.

3 Klausur: Informatik III, 26. Feb Blatt 3 von 8 Aufgabe 2. Teilmengenkonstruktion 6 Punkte Gegeben sei der nebenstehende Akzeptor mit Startzustand s und Endzustand f. a. Konstruieren Sie in der Tabelle unten einen äquivalenten deterministischen Akzeptor. (Teilmengenbzw. Potenzmengenkonstruktion) [5 Punkte] µ s a 3 µ 3 µ a 1 ~ 33 2 b b 3 µ f a, b [ b. Geben Sie die Start- und Endzustände des deterministischen Akzeptors an. [1 Punkt] Startzustand: {s}, Endzustände:{1, f}, {f} a {s} {1, 2} Ø {1, 2} {1, f} b Ø {1, f} {f} {f} {f} {f} {f} Ø Ø Ø

4 Klausur: Informatik III, 26. Feb Blatt 4 von 8 Aufgabe 3. Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus 7 Punkte Gegeben sei eine Grammatik mit dem Startzeichen S, den Terminalzeichen 0, 1 und 2 sowie den Produktionen: A µ 0 B µ 1 C µ 2 C µ CB C µ BD D µ SA D µ CA S µ DD a. Füllen Sie die untenstehende Tabelle mit Hilfe des Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus für das Eingabewort auf. [5 Punkte] b. Aus welchen Nichtterminalzeichen kann das Wort abgeleitet werden? (Kurze Begründung) [1 Punkt] c. Gehört das Wort zur Sprache? (Kurze Begründung) [1 Punkt] a C A C A A D D S D b ist aus D ableitbar, da D in der letzten Zeile (und ersten Spalte) der Tabelle auftritt. c gehört nicht zur Sprache, da das Wort nur aus D ableitbar ist und D nicht das Startzeichen ist.

5 Klausur: Informatik III, 26. Feb Blatt 5 von 8 Aufgabe 4. Kontextfreie Grammatiken 8 Punkte Gegeben sei die Grammatik G = (V, S, P, S), S = {a, b, 0, 1} mit den Produktionen: S µ 0P1, S µ 01, P µ PbE, P µ E, E µ a, E µ S a. Gehört 0ab0a11 zur erzeugten Sprache? Begründen Sie Ihre Antwort. [3 Punkte] Das Wort gehört zur Sprache, da S 0P1 0PbE1 0EbE1 0abE1 0abS1 0ab0P11 0ab0E11 0ab0a11 b. Sei w eine Satzform mit S $ w. Sei n 0 die Anzahl der "0"-en in w und n 1 die Anzahl der "1"-en in w. Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass n 0 + n 1 eine gerade Zahl ist. [5 Punkte] Induktion über die Ableitungslänge (i) Die Behauptung gilt für Ableitungen der Länge 0 (S $ S). (ii) Ableitung der Länge n + 1. Wir trennen den letzten Ableitungsschritt ab: S $ w w. Für w ist n 0 + n 1 gerade (Induktionsvoraussetzung). Die einzigen Produktionen, die die Zeichen 0 und 1 einführen, sind S µ 0P1 und S µ 01. Bei Anwendung einer dieser Produktionen ist n 0 + n die Anzahl der Vorkommnisse von 0 und 1 in w, also wieder gerade. Bei Anwendung einer anderen Produktion bleibt die Anzahl der Vorkommnisse von 0 und 1 unverändert.

6 Klausur: Informatik III, 26. Feb Blatt 6 von 8 Aufgabe 5. Loop-Programme 8 Punkte a. Geben Sie ein Loop-Programm an, das die n-te Fibonacci-Zahl Fib(n) berechnet. Erinnerung: Fib(1) = 1, Fib(2) = 1, Fib(k + 2) = Fib(k + 1) + Fib(k), wobei k 1. Hinweise: Eingabe in Variable x 1, Ausgabe in Variable x 0. Nur Zuweisungen der Form x i := x j + c mit c { 1, 0, 1} sind erlaubt. Sie können Ihr Programm aber mittels eigener Makros/Unterprogramme strukturieren. N main (N x 1 ) {N x 0 = 0; N x 2 = 0; N x 3 =0; x 2 := x 2 + 1; loop x 1 {x 3 := x 0 + 0; loop x 2 x 0 := x 0 + 1; x 2 := x 3 + 0} return x 0 }

7 Klausur: Informatik III, 26. Feb Blatt 7 von 8 Aufgabe 6. Entscheidbarkeit 8 Punkte Die Menge H E {0, 1}* sei folgendermaßen festgelegt: w H E genau dann, wenn w eine Turingmaschine M w beschreibt und es ein Wort x {0, 1}* gibt, sodass M w, angesetzt auf x, stoppt. Zeigen Sie, dass H E nicht entscheidbar ist. Beweis 1. Sei H Ø {0, 1}* eine Menge mit der Eigenschaft w H Ø genau dann, wenn w eine Turingmaschine M w beschreibt und es kein Wort x {0, 1}* gibt, sodass M w angesetzt auf x stoppt. H Ø ist das Komplement von H E. Da (siehe Vorlesung) nicht entscheidbar ist, ob die von einer Turingmaschine akzeptierte Sprache leer ist, ist H Ø nicht entscheidbar. Da die entscheidbaren Sprachen unter der Komplementbildung abgeschlossen sind, kann H E nicht entscheidbar sein. Beweis 2. Wir zeigen, dass aus der Entscheidbarkeit von H E die von L D (Komplement der Diagonalsprache bzw. Selbstanwendbarkeitsproblem) folgt. Da L D nicht entscheidbar ist, kann H E nicht entscheidbar sein. (i) Jedes w {0, 1}* kann auf eine Turingmaschine T w zugeordnet werden, die folgende Aktionen ausführt 1. T w löscht das Argument auf dem Band. 2. Beschreibt w eine Turingmaschine, wird w auf das Band geschrieben, andernfalls läuft T w ohne zu stoppen nach rechts. 3. Die von w beschriebene Turingmaschine M w wird auf w angesetzt. T w stoppt (für jedes Argument) genau dann, wenn w eine Turingmaschine beschreibt und M w angesetzt auf w stoppt. w sei die Gödelnummer von T w. (ii) Da H E entscheidbar ist, gibt es eine Turingmaschine T, die diese Menge entscheidet. Die Maschine mit den folgenden Aktionen entscheidet L D. 1. Zu (als Argument) gegebenem w wird die Gödelnummer w von T w erzeugt. 2. T wird auf w angesetzt. Diese Maschine stoppt genau dann, wenn es ein x gibt, sodass T w (angesetzt auf x) stoppt. Also folgt aus der Entscheidbarkeit von H E die von. L D

8 Klausur: Informatik III, 26. Feb Blatt 8 von 8 Aufgabe 7. Komplexitätstheorie 13 Punkte Das Problem INDEPENDENT-SET lautet: Gegeben: Ein ungerichteter Graph G = (V, E) und eine natürliche Zahl k. Gefragt: Gibt es eine Teilmenge M V mit der Eigenschaft M = k å Æu, v M: (u, v) E? Zeigen Sie, dass INDEPENDENT-SET NP-vollständig ist. Hinweis: In der Vorlesung hatten wir ein verwandtes Problem. INDEPENDENT-SET NP. Das Verfahren rate eine Teilmenge M V wenn M k, lehne ab für alle Knotenpaare u, v M : wenn (u, v) E, lehne ab akzeptiere entscheidet nichtdeterministisch INDEPENDENT-SET in polynomieller Zeit. (Insbesondere wird die for-schleife O( V 2 )-mal durchlaufen und der Test (u, v) E kann in O( E ) realisiert werden.) Als zweites beweisen wir, dass INDEPENDENT-SET NP-hart ist, indem wir CLIQUE p INDEPENDENT-SET zeigen. Dies ist ausreichend, da bekannt ist, dass CLIQUE NP-hart ist. Der Komplementgraph G = (V, E ) eines Graphen G = (V, E) ist definiert durch: (u,v) E gdw. (u, v) E. Behauptung. (G, k) CLIQUE genau dann, wenn ( G, k) INDEPENDENT-SET Beweis. Sei (G, k) CLIQUE. Es gibt eine Teilmenge M V, sodass M = k und für alle u, v M : (u, v) E. Im Graphen G ist diese Teilmenge M eine unabhängige Menge, da für alle u, v M : (u, v) E gemäß der Definition des Komplementgraphen. Also ist ( G, k) INDEPEN- DENT-SET. Wenn ( G, k) INDEPENDENT-SET, dann (G, k) CLIQUE wird analog bewiesen. Wir definieren eine Funktion f: (G, k) µ ( G, k). Aus der Behauptung folgt, dass f CLIQUE auf INDEPENDENT-SET reduziert. Da der Komplementgraph in polynomieller Zeit bestimmt werden kann, kann f in polynomieller Zeit realisiert werden. Also gilt, CLIQUE p INDEPEN- DENT-SET.