Grundlagen der Theoretischen Informatik Prüfungsvorbereitung September 2013

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1 Grundlagen der Theoretischen Informatik Prüfungsvorbereitung September 2013 Themenkomplex Turingmaschinen Aufgabe In beiden Kursteilen der Grundlagen tauchen Turingmaschinen auf. Dabei sind die Modelle in Einzelheiten durchaus unterschiedlich, und die behandelten Anwendungsbereiche sind sehr vielfältig. Ihre Gruppe soll sich sowohl die Modelle als auch die Anwendungsbereiche erarbeiten und anschließend vorstellen. Achten Sie dabei auf eine hinreichend genaue Wiedergabe der Begriffsbildungen und Resultate. Illustrieren Sie möglichst mit Beispielen und liefern Sie Begründungen. Lassen Sie sich von den folgenden Fragen leiten: 1. Was sind die wesentlichen Bestimmungsstücke der Turingmaschinen aus KE 3 von Teil A? 2. Wozu dienen diese? 3. Welche Variante der Turingmaschinen ist ebenfalls aus KE 3 von Teil A bekannt? 4. Warum wird diese Variante im Kurs behandelt? 5. Wie hängen Turingmaschinen und rekursive bzw. rekursiv-aufzählbare Wortmengen zusammen? 6. Welche Gestalt nehmen die Turingmaschinen in KE 7 von Teil A an? 7. Wofür werden sie verwendet und in welcher Weise? 8. Was unterscheidet die Turingmaschinen aus KE 1 von Teil B von denjenigen aus Teil A? 9. Wozu dienen diese? 10. Welche Maschinenmodelle werden für die Definition nichtdeterministischer Komplexitätsklassen herangezogen? 11. Wie ist bei Kontrollturingmaschinen die erkannte Sprache definiert, und was weist in dieser Definition auf Nichtdeterminismus hin? 12. Kommen beim Begriff der polynomiellen Reduktion auch Turingmaschinen vor? 13. In welchen beiden Resultaten aus dem Kursteil über die Chomsky-Hierarchie ist ebenfalls zumindest implizit die Rede von Turingmaschinen?

2 Themenkomplex Nummerierungen Aufgabe In beiden Kursteilen der Grundlagen tauchen Nummerierungen auf. Ihre Gruppe soll sich sowohl mit dem Begriff als auch mit konkreten Nummerierungen befassen und anschließend die zusammengetragenen Ergebnisse vorstellen. Achten Sie dabei auf eine hinreichend genaue Wiedergabe der Definitionen und Resultate. Illustrieren Sie möglichst mit Beispielen und liefern Sie Begründungen. Lassen Sie sich von den folgenden Fragen leiten: 1. Was ist eine Nummerierung einer Menge M? 2. Wozu dienen Nummerierungen generell? 3. Welcher Begriff ist zum Nummerierungsbegriff gleichwertig und warum? 4. Welche Nummerierung wird als erste im Kurs behandelt? 5. Welche Besonderheiten treten dabei auf, und wie werden diese ausgenutzt? 6. Welche Nummerierung wird als zweite im Kurs behandelt? 7. Wie lauten die wichtigsten darauf basierenden Sätze und worin besteht deren Bedeutung? 8. Welche weiteren Standardnummerierungen sind aus dem Kursteil A bekannt? 9. In welcher Weise überträgt sich das für natürliche Zahlen entwickelte Berechenbarkeitskonzept auf nummerierte Mengen? 10. Wie kann man Nummerierungen vergleichen und welche Bedeutung hat dieser Vergleich hinsichtlich des induzierten Berechenbarkeitskonzepts? 11. Was kann man zum Verhältnis Nummerierbarkeit Berechenbarkeit bez. der reellen Zahlen sagen? 12. In der Komplexitätstheorie spielen zwar nicht Nummerierungen, aber Notationen eine wichtige Rolle. Inwiefern? 13. Welche Bedeutung hat das Nummerierungskonzept in der Theorie der formalen Sprachen (Teil B, KE 5 7)?

3 Aufgabe Themenkomplex Entscheidbarkeit In beiden Kursteilen der Grundlagen tauchen entscheidbare Mengen auf. Damit eng zusammen hängt der Begriff der beweisbaren Menge. Ihre Gruppe soll sich diese Themenfelder erarbeiten und anschließend vorstellen. Achten Sie dabei auf eine hinreichend genaue Wiedergabe der Begriffsbildungen und Resultate. Illustrieren Sie möglichst mit Beispielen und liefern Sie Begründungen. Lassen Sie sich von den folgenden Fragen leiten: 1. Welche Namen für entscheidbare bzw. beweisbare Mengen werden im Kurs synonym benutzt? 2. Für welche Objekte werden diese Begriffe definiert? 3. Wie lauten die exakten Definitionen? 4. Können Sie jeweils äquivalente Charakterisierungen angeben? 5. Wie verhalten sich die Menge aller entscheidbaren und die Menge aller beweisbaren Zahlenmengen zueinander? 6. Gibt es nicht beweisbare Teilmengen von? 7. Können Sie ggf. drei verschiedene solcher Mengen nennen? 8. Wie sind die entsprechenden, hinsichtlich einer Nummerierung relativierten Begriffe definiert? 9. Welche Mengen sind ϕ-entscheidbar? 10. Sind die Elemente von NP entscheidbar? 11. Was lässt sich allgemein zur Entscheidbarkeit von Elementen nichtdeterministischer Komplexitätsklassen sagen? 12. Wo liegt die Grenze zwischen Entscheidbarkeit und Nichtentscheidbarkeit in der Chomsky- Hierarchie? 13. Was gilt hinsichtlich Entscheidbarkeit für die diversen Probleme im Zusammenhang mit regulären Mengen? 14. Wie kann man Entscheidungsprobleme nutzen um zu zeigen, dass die Sprachklasse aller kontextfreien Sprachen von der aller deterministisch kontextfreien Sprachen verschieden ist?

4 Aufgabe Themenkomplex Determinismus vs. Nichtdeterminismus Erstmalig im Kursteil B der Grundlagen taucht als neues Konzept Nichtdeterminismus auf. Dieser erlaubt in vielen Fällen eine einfache Beschreibung, nämlich dann, wenn er in der Natur der Sache selbst erscheint. Ihre Gruppe soll die verschiedenen Modelle vorstellen und das Verhältnis zu den entsprechenden deterministischen Konzepten herausarbeiten. Achten Sie dabei auf eine hinreichend genaue Wiedergabe der Begriffsbildungen und Resultate. Illustrieren Sie möglichst mit Beispielen und liefern Sie Begründungen. Lassen Sie sich von den folgenden Fragen leiten: 1. Welche nichtdeterministischen Maschinenmodelle spielen in der Komplexitätstheorie eine Rolle? 2. Was sind deren wesentliche Features? 3. Wie ist jeweils die erkannte Sprache definiert? 4. Wie verhalten sie sich hinsichtlich wechselseitiger Simulation, Speicherplatz und Rechenzeit? 5. Was kann in Bezug auf Berechnungskraft und Komplexität im Vergleich zu den deterministischen Maschinen gesagt werden? 6. Was wissen Sie zum Verhältnis von P und NP? 7. In welcher Weise taucht Nichtdeterminismus bei Grammatiken auf? 8. Wie führt dieser Nichtdeterminismus im Falle von Typ-3-Sprachen zu (nichtdeterminierten) endlichen Automaten? 9. Was ist die von determinierten endlichen Automaten erkannte Sprachklasse und warum? 10. Sind Kellerautomaten wesentlich nichtdeterministisch? 11. Was ist eine deterministisch kontextfreie Sprache? 12. Wie verhalten sich die Klassen aller kontextfreien und aller deterministisch kontextfreien Sprachen zueinander? 13. Wie kann man mit Hilfe von Abschlusseigenschaften dieses Verhältnis begründen? 14. Was lässt sich für die Typ-1-Sprachen bzw. für die Typ-0-Sprachen zum Thema sagen?

5 Weitere Themenkomplexe Die bisher behandelten Themen decken den Inhalt der Kurse nicht vollständig ab. Es gibt weitere, z. T. auch übergreifende Topics, zu denen Sie sich selbst entsprechende Fragen überlegen (und Antworten geben) können. Hier ein paar Anregungen: 1. Reduktion von Mengen Eingeführt in Teil A, KE 6 Dort zum Nachweis verwendet, dass gewisse Mengen nicht rekursiv bzw. nicht rekursivaufzählbar sind In Teil B als polynomielle bzw. LOGSPACE-Reduktion von Sprachen Wichtig für die Vollständigkeit von Problemen, und dieser Begriff für die Struktur von Klassen Konkrete, z. T. trickreiche Reduktionen in KE 4 von Teil B 2. Diagonalisierung In Teil A zum Nachweis der Grenzen des Berechenbarkeitsbegriffs: Es gibt nicht berechenbare Funktionen bzw. nicht entscheidbare Probleme In Teil B zum Beweis von Hierarchiesätzen für Komplexitätsklassen 3. Schleifenargumente Zum Abschätzen der Rechenzeit bei vorgegebener Bandschranke Beim Pumpinglemma für reguläre Sprachen Beim Pumpinglemma für kontextfreie Sprachen Natürlich auch: Ordnen der Kursinhalte nach den kanonischen Themen Berechenbarkeit Komplexität Formale Sprachen