2. Teilklausur zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik

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1 2. Teilklausur zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik Hinweise Ulrich Furbach Christian Schwarz Markus Kaiser Arbeitsgruppe Künstliche Intelligenz Fachbereich Informatik, Universität Koblenz-Landau Name:... Vorname:... Matrikelnummer:... -Adresse:... Prüfen Sie Ihr Exemplar der Klausur auf Vollständigkeit (6 Aufgaben). Schreiben Sie mit einem dokumentenechten schwarzen oder blauen Stift (kein Füllfederhalter, kein Tintenlöscher, kein Tipp-Ex); Bleistift-Lösungen werden ignoriert. MUSTERLÖSUNG Es sind keine Hilfsmittel erlaubt. Wenn Sie mehr Platz benötigen, verwenden Sie bitte zuerst die Rückseiten. Verweisen Sie auf Ihre Lösung bzw. deren Fortsetzung. Darüber hinaus sind weitere leere Blätter bei der Aufsicht erhältlich. Diese sind mit Namen und Matrikelnummer zu beschriften und müssen abgegeben werden. Diese Musterlösung erhebt nicht den Anspruch absoluter Korrektheit. Zum einen können noch Fehler enthalten sein, zum anderen gibt es auch alternative, korrekte Lösungen. Aufgabe Punkte erreicht von möglichen

2 Aufgabe 1 (10 Punkte) Beantworten Sie die folgenden Fragen in nicht mehr als 3 Sätzen. a) Nennen Sie ein unentscheidbares Problem und erläutern Sie es kurz. Hinweis: Die Unentscheidbarkeit soll nicht begründet werden. Das Nullhalteproblem H 0. Akzeptiert eine gegebene Turingmaschine das leere Wort? b) Nennen Sie ein NP-vollständiges Problem und erläutern Sie es kurz. Hinweis: Die NP-Vollständigkeit soll nicht begründet werden. Das Erfüllbarkeitsproblem SAT. Ist eine gegeben aussagenlogische Formel erfüllbar? c) Erläutern Sie kurz und präzise, warum jedes NP-vollständige Problem entscheidbar ist. Es gibt ein Polynom p und eine NTM M, dieeinwortw aus L in höchstens p( w ) Schritten akzeptiert. Falls M w akzeptiert, antworte Y ; sonst antworte nach p( w ) Schritten N d) Erläutern Sie den Unterschied zwischen NP-vollständig und NP-hart. Ein Problem ist NP-hart, falls jedes Problem aus NP polynomiell auf es reduzierbar ist. Ein NP-hartes Problem, das zusätzlich in NP liegt, heißt NP-vollständig. e) Sei L U ein unentscheidbares Problem und L E ein entscheidbares. Erläutern Sie, warum es keine Sprache L geben kann, für die L U L und L L E gilt. Wegen L U L muss L unentscheidbar sein, dann folgt wegen L L E,dassauch L E unentscheidbar ist. Widerspruch. /10

3 Aufgabe 2 (8 Punkte) a) Gegeben die Grammatik G 1 =({S, A, B, C}, {a, b, c},r 1,S) mit R 1 = {S! AS CA, A! CB BB a, B! BC b ", C! c} (1) Geben Sie an, welche Variablen nullbar bzw. nicht nullbar sind. Nullbar:... B,A Nicht nullbar:... S, C (2) Geben Sie eine äquivalente Grammatik G 0 1 ohne "-Regeln (außer ggf. S! ") an. G 0 1 =({S, A, B, C }, {a, b, c},r 0 1,S) mit R 0 1 = { S! AS CA S C, A! CB BB a C B, B! BC b C, C! c} b) Gegeben die Grammatik G 2 =({S, A, B, C}, {a, b, c},r 2,S) mit R 2 = {S! AS A, A! a AA, B! C A b BB, C! c} (1) Geben Sie die Kettenproduktionen in G 2 an. Kettenproduktionen:... S ) {A},B ) {A, C} (2) Geben Sie eine zu G 2 äquivalente Grammatik G 0 2 ohne Kettenproduktionen an. G 0 2 =({S, A, B, C }, {a, b, c},r 0 2,S) mit R 0 2 = { S! AS a AA, A! a AA, B! b BB a AA c, C! c} /8

4 Aufgabe 3 (7 Punkte) Gegeben sei die Grammatik G =({S, A, B, C}, {a, b, c},r,s) mit R = {S! AB AS, A! a CC AC, B! b AA BA, C! c BB BC} Entscheiden Sie mithilfe des Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus, ob w = ccbcb 2 L(G) gilt. Vervollständigen Sie dazu die Tabelle: c c b c b j i c 1 {C} c 2 {A} {C} b 3 {S} ; {B} c 4 {A} {A} {C} {C} b 5 {S} ; ; ; {B} Da S 2 V 1,5...,gilt w 2 L(G)... /7 /7

5 Aufgabe 4 (7 Punkte) a) Gegeben sei der folgende PDA: mit der folgenden Übergangsrelation A =({s 0,s 1 }, {a, b}, {A, Z 0 },,s 0,Z 0, {s 1 }) ={((s 0,a,Z 0 ), (s 1,A)), ((s 0,a,A), (s 0,")), ((s 1,a,A), (s 1, AA)), ((s 1,b,A), (s 0,")} Entscheiden Sie, ob A das Wort w 1 = aaba über leeren Keller und/oder über finalen Zustand akzeptiert. Vervollständigen Sie dazu die Rechnung. s 0, aaba, Z 0 ` s 1, aba, A `s 1, ba, AA ` s 0, a, A ` s 0,"," w 1 2 L l (A) ja w 1 2 L f (A) ja A akzeptiert w 1 über leeren Keller nein A akzeptiert w 1 über finalen Zustand nein b) Sei M =({s 0,s 1,s 2,s 3 }, {a, b, c, #},,s 0 ) eine Standard-DTM mit gegeben durch die folgende Tabelle: a b # s 0 (s 0,b) (s 1,L) (s 0,L) s 1 (s 1,b) (s 0,L) (h, #) Überprüfen Sie, ob M das Wort w 2 = abab akzeptiert. Vervollständigen Sie dazu die Rechnung. s 0, #abab# ` s 0, #abab ` s 1, #abab ` s 1, #abbb ` s 0, #abbb ` s 1, #abbb ` s 1, #bbbb ` s 0, #bbbb (hängt) w 2 2 L(M) M akzeptiert w 2 ja nein /3 /7

6 Aufgabe 5 (10 Punkte) a) Gegeben die folgende Sprache L über dem Alphabet ={a, b}: L = {a 2n (ab) n 2 n 2 N 0 } Zeichnen 1 Sie einen PDA, der L über leeren Keller akzeptiert. s 0 a, Z 0 AZ 0 AB ", Z 0 " a, A " b, B " b) Gegeben der folgende PDA M: /6 a, A AA a, Z s 0 AZ 0 0 s 1 a, A AA s 2 s 3 Zeichnen 1 Sie einen PDA M 0 mit L l (M 0 )=L f (M). ", A " ", Z 0 " s 4 a, A AA s 0 a, Z 0 AZ 0 s 1 a, A AA s 2 s 3 1 Verwenden Sie die aus der Übung bekannte Notation: a, X Y an einem Übergang bedeutet, dass ein a gelesen wird und das oberste Stacksymbol X vom Stack genommen wird und dann das Wort Y (über dem Stackalphabet) auf den Stack gelegt wird. /10

7 Aufgabe 6 (10 Punkte) a) Sei M =({s 0,s 1,s 2,s 3 }, {a, b, c, #},,s 0 ) eine Standard-DTM mit gegeben durch die folgende Tabelle: a b c # s 0 (s 1,b) (s 1,a) (s 0,L) (s 1,L) s 1 (s 1,L) (s 1,L) (s 0,L) (h, #) Überprüfen Sie, ob M das Wort w = accb akzeptiert. Rechnung. Vervollständigen Sie dazu die s 0, #accb# ` s 1, #accb ` s 1, #accb ` s 0, #accb ` s 0, #accb ` s 1, #bccb ` s 1, #bccb ` h, #bccb w 2 L(M) M akzeptiert w ja nein b) Geben Sie eine determinierte Standard-Turingmaschine M 1 (in Flussdiagrammschreibweise) an, die eine gegebene Zahl in Binärkodierung invertiert und danach rechts von ihr hält. Beispiel: s, #11001# ` M 1 h, #00110# Sie dürfen dabei R # und L # verwenden und ggf. eigene Abkürzungen einführen. /6 /10

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