Informatik 3 Theoretische Informatik WS 2016/17

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1 Zwischenklausur Januar 2017 Informatik 3 Theoretische Informatik WS 2016/17 Prof. Dr. Peter Thiemann Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Institut für Informatik Name: Übungsgruppe: Schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Übungsgruppennummer auf jedes Blatt. Verwenden Sie ein Schreibgerät mit dokumentenechter schwarzer oder blauer Schrift (in der Regel Kugelschreiber). Kein Bleistift! Es sind keine Hilfsmittel wie Skripte, Bücher, Notizen oder Taschenrechner erlaubt. Alle elektronischen Geräte (wie z.b. Handys) sind auszuschalten. Für die Bearbeitung der Aufgaben haben Sie 90 Minuten Zeit. Benutzen Sie zur Bearbeitung der Aufgaben jeweils den Platz unterhalb der Aufgaben sowie ggf. den Platz auf der Rückseite. Weiteres Papier erhalten Sie von der Aufsicht. Falls Sie mehrere Lösungsansätze einer Aufgabe erarbeiten, markieren Sie deutlich, welcher gewertet werden soll. Erreichbare Punkte Kurzfragen 6 Aufgabe 1 7 Aufgabe 2 7 Aufgabe 3 7 Aufgabe 4 7 Aufgabe 5 7 Aufgabe 6 7 Gesamt 48 Erzielte Punkte

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3 Info 3 Zwischenklausur 2 WS 2016/17 Name: Kurzfragen. Der erste Teil der Klausur besteht aus Kurzfragen nach Definitionen. ( Punkte) (F1) Sei G = (N, Σ, S, P ) eine Grammatik. Wann ist G eine Typ-1 Grammatik? (F2) Sei G = (N, Σ, S, P ) eine kontextfreie Grammatik. Wann ist G in Chomsky- Normalform? (F3) Definieren Sie die Menge der Ableitungsbäume einer kontextfreien Grammatik G = (N, Σ, S, P ) (F4) Geben Sie an, wann ein DPDA (Q, Σ, Γ, q 0, S, δ, F ) ein Wort w Σ akzeptiert. (F5) Wie ist die Größe G einer CFG G definiert.

4 Zusätzlicher Platz für Kurzfragen:

5 Info 3 Zwischenklausur 2 WS 2016/17 Name: Aufgabe 1 (First). (7 Punkte) Betrachten Sie folgende Grammatik G = ({S, T, F, G}, {x, }, S, P ) mit P = {S T F, T GS, F x, T ε G, G ε} Wenden Sie den Algorithmus aus der Vorlesung an, um die Mengen first(a) für A N zu berechnen. Geben Sie dabei für jede Iteration den Inhalt des Felds FI an.

6 Zusätzlicher Platz für Aufgabe 1:

7 Info 3 Zwischenklausur 2 WS 2016/17 Name: Aufgabe 2 (Pumping-Lemma für CFL). (5+2 Punkte) Betrachten Sie die folgenden Sprachen über Σ = {1, 2, 3}: L 1 = {w Σ # 1 (w) min(# 2 (w), # 3 (w))} L 2 = {1} {2} {3} Dabei berechnen die Funktionen # n (w) jeweils die Anzahl der Vorkommen von n in w. (a) Zeigen Sie mit dem Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen, dass L = L 1 L 2 nicht kontextfrei ist. (b) Ist L 1 kontextfrei? Begründen Sie Ihre Antwort.

8 Zusätzlicher Platz für Aufgabe 2:

9 Info 3 Zwischenklausur 2 WS 2016/17 Name: Aufgabe 3 (Kontextfreie Grammatiken). ( Punkte) Betrachten Sie folgende Sprache L über Σ = {a, b}. L = {w Σ u Suf(w) : # a (u) # b (u)} Dabei berechnet # σ (w) die Anzahl der Vorkommen von σ Σ in w Σ. Suf(w) ist die Menge der Suffixe von w Σ : (a) Geben Sie fünf Worte von L an. Suf(w) = {v Σ u Σ : w = uv} (b) Begründen Sie, dass für alle w 1 L und w 2 L gilt, dass w 1 w 2 L. (c) Betrachten Sie ferner die kontextfreie Grammatik G = ({S}, Σ, S, P ) mit P = {S Sa, S bsa, S SS, S ε, } i. Ist G eindeutig? Beweisen Sie Ihre Antwort. ii. Zeigen Sie, dass L(G) L per Induktion über die Ableitungsbäume A Abl(G, S).

10 Zusätzlicher Platz für Aufgabe 3:

11 Info 3 Zwischenklausur 2 WS 2016/17 Name: Aufgabe 4 (Kellerautomaten). (4 + 3 Punkte) (a) Betrachten Sie die Grammatik G = ({S, B}, {a, b}, S, P ) mit P = {S asa, S B, B bbb, B ε} i. Geben Sie eine knappe, aber präzise Beschreibung der Sprache L(G) an. ii. Benutzen Sie das Verfahren aus der Vorlesung um einen NPDA zu konstruieren, der L(G) erkennt. Geben Sie die Komponenten des NPDA an (kein Zustandsdiagramm!). (b) Betrachten Sie folgenden NPDA M über dem Eingabealphabet Σ = {0, 1} und dem Kelleralphabet Γ = { }. (Das Kellerbodensymbol ist natürlich ). 0; ; 1; ; ε 1; ; ε q 0 q 1 ε; ; ε ε; ; ε q 2 i. Welche Sprache wird von M erkannt? Geben Sie eine knappe, aber präzise Definition an. ii. Ergänzen Sie die nötigen Transitionen, so dass ein PDA M entsteht, der die Sprache L = {0 n 1 m 0 n m} erkennt.

12 Zusätzlicher Platz für Aufgabe 4:

13 Info 3 Zwischenklausur 2 WS 2016/17 Name: Aufgabe 5 (Ablschlusseigenschaften kontextfreier Sprachen). (3+4 Punkte) Zeigen Sie, dass die kontextfreien Sprachen unter der Operation R (,,reverse ) abgeschlossen sind, indem Sie (a) für eine gegebene CFG G, eine CFG G konstruieren, die L(G) R produziert und (b) beweisen, dass L(G) R = L(G ) gilt. Hinweis: es gilt (L R ) R = L. Zur Erinnerung, die Definition von L R : L R = {w R w L} ε R = ε (aw) R = w R a

14 Zusätzlicher Platz für Aufgabe 5:

15 Info 3 Zwischenklausur 2 WS 2016/17 Name: Aufgabe 6 (CYK). (7 Punkte) Betrachten Sie folgende Grammatik G = ({S, M, N}, {, 1}, S, P ) mit P = {S NS, S MN, M, N 1, N MN, } Prüfen Sie mit dem CYK-Algorithmus ob w = 1 1 L(G). Benutzen Sie diese Tabellenvorlage: 1 1 M M N M N

16 Zusätzlicher Platz für Aufgabe 6:

17 Info 3 Zwischenklausur 2 WS 2016/17 Name: