Formale Sprachen und Automaten

Transkript

1 Formale Sprachen und Automaten Kapitel 1: Grundlagen Vorlesung an der DHBW Karlsruhe Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2012

2 Ziel Einführung der wichtigsten Grundbegriffe für prägnantes Reden der wichtigsten Notationen für prägnantes Schreiben Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 2/19

3 1.1 Beispiel Ein Übersetzer für Java (oder C, oder... ) liest als Eingabe eine Folge von Zeichen, von denen der Benutzer verspricht, dass sie alle aus einer gewissen Menge A stammen. (Java: Teilmenge von Unicode, C: ASCII-Zeichensatz). Diese Menge ist endlich und man nennt sie auch ein Alphabet. Ein Programm ist eine Zeichenfolge mit der Eigenschaft syntaktisch korrekt zu sein. Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 3/19

4 1.2 Definition Alphabet: endliche Menge von Zeichen. Wort über A: Folge von Zeichen aus A. Länge w eines Wortes w: Anzahl Zeichen, aus denen es besteht. Das leere Wort besteht aus 0 Zeichen: = 0. Damit man es trotzdem sieht, schreibt man ε, also ε = 0. Menge aller Wörter über einem Alphabet A schreiben wir A. Formale Sprache über A: beliebige Teilmenge L A von Wörtern Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 4/19

5 1.2 Definition Alphabet: endliche Menge von Zeichen. Wort über A: Folge von Zeichen aus A. Länge w eines Wortes w: Anzahl Zeichen, aus denen es besteht. Das leere Wort besteht aus 0 Zeichen: = 0. Damit man es trotzdem sieht, schreibt man ε, also ε = 0. Aber ε ist kein Symbol aus A! Menge aller Wörter über einem Alphabet A schreiben wir A. Formale Sprache über A: beliebige Teilmenge L A von Wörtern Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 4/19

6 Beachte: Benutzung des Wortes Wort eine beliebige Folge von Zeichen aus dem benutzten Alphabet auch wenn das Alphabet das Leerzeichen enthält Ein Java-Programm ist ein Wort (in diesem Sinne). Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 5/19

7 1.3 Definition (Konkatenation) Es sei A ein beliebiges Alphabet. Für zwei Wörter w 1, w 2 A mit w 1 = a 1 a k, mit a 1,..., a k A und w 2 = b 1 b l, mit b 1,..., b l A ist ihre Konkatenation w 1 w 2 = w 1 w 2 = a 1 a k b 1 b l. Für das leere Wort gilt: w ε = w = ε w. Die Potenzen eines Wortes w A sind so definiert: w 0 = ε w k+1 = w k w für alle k N 0 Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 6/19

8 1.4 Beispiele = 0010, aber = Die Konkatenation von Wörtern ist also nicht kommutativ. w 1 = w 0+1 = w 0 w = ε w = w w 2 = w 1+1 = w 1 w = w w = ww 0 5 = = = 0111 (01) 3 = ( ) 0 = ε Für alle k N 0 ist ε k = ε. Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 7/19

9 1.5 Bemerkung Für alle Wörter w 1, w 2 A gilt: w 1 w 2 = w 1 + w 2. Für alle k N 0 ist daher w k = k w. Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 8/19

10 Eingabealphabete In unseren Beispiele meist {0, 1} oder {a, b} o.ä. Bei Programmiersprachen: oft ASCII oder Unicode oder... Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 9/19

11 1.6 Definition (Produkte auf Sprachen) Für formale Sprachen L 1, L 2, L A definiert man: Die Konkatenation oder das Produkt zweier Sprachen L 1 L 2 = L 1 L 2 = {w 1 w 2 w 1 L 1 w 2 L 2 } Die Potenzen einer Sprache L sind so definiert: L 0 = {ε} L k+1 = L k L für alle k N Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 10/19

12 1.7 Beispiele {01, 1} {000, 01} = {01000, 0101, 1000, 101} {010, 11} 2 = {010010, 01011, 11010, 1111} {0, 1} 1 = {0, 1} {0, 1} 2 = {00, 01, 10, 11} {0, 1} 3 = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} A k = { w A w = k } A = A 0 A 1 A 2 A 3 Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 11/19

13 1.8 Bemerkung Bei der Konkatenation gilt insbesondere: analog: L {ε} = L. {ε} L = {w 1 w 2 w 1 {ε} w 2 L} = {w 1 w 2 w 1 = ε w 2 L} = {εw 2 w 2 L} = {w 2 w 2 L} = L Wichtig: Die formale Sprache {ε} ist nicht die leere Menge, sondern eine Menge, die genau ein Element enthält. Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 12/19

14 1.9 Definition Der ε-freie Konkatenationsabschluss L + einer formalen Sprache L und der Konkatenationsabschluss L von L sind so definiert: L + = L = k=1 L k L k = L 0 L + = {ε} L + k=0 Das ist konsistent mit A wie wir es schon definiert haben! L = L 0 L 1 L 2 L 3 L + = L 1 L 2 L 3 Der heißt auch Kleene-Operator oder Kleene-Stern. Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 13/19

15 1.10 Bemerkung L + ist die Menge aller Wörter, die man als Produkt von einem oder mehreren Wörtern aus L schreiben kann. Beachte: Auch in L + kann schon ε enthalten sein, nämlich dann, wenn ε L ist. Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 14/19

16 1.11 Beispiel Die Menge der syntaktisch korrekten Java-Programme ist eine formale Sprache L Java A über dem Alphabet A = {a,..., z, A,..., Z, +,,,...}. Ein Java-Übersetzer muss unter anderem überprüfen, ob eine Eingabezeichenkette ein syntaktisch korrektes Java-Programm ist oder nicht. Mit anderen Worten muss ein Übersetzer für jedes w A feststellen können, ob w L Java ist oder nicht und je nachdem dann verschiedene Aktionen durchführen. Grundlagen Zeichen, Alphabete, Wörter, Sprachen 15/19

17 Probleme bei Programmiersprachen Wie spezifiziert man (präzise), welche Zeichenfolgen syntaktisch korrekte Java-Programme sind? Wie kann z. B. ein Algorithmus aussehen, der überprüft, ob die Eingabe ein syntaktisch korrektes Java-Programm ist? Grundlagen Verarbeitung formaler Sprachen 16/19

18 Probleme bei formalen Sprachen Verallgemeinert auf beliebige formale Sprachen: Wie spezifiziert man eine formale Sprache? Inwieweit kann man Algorithmen angeben, die für Eingabewörter entscheiden, ob sie zu einer vorher spezifizierten formalen Sprache gehören? Ist man erst einmal so weit, dann ergeben sich als weitere Fragen: Kann man den Entscheidungsalgorithmus womöglich automatisch aus der Spezifikation der formalen Sprachen erzeugen? Gibt es vielleicht Teilklassen (besonders einfacher ) formaler Sprachen, für die gewisse besonders schöne Spezifizierungsund Erkennungsmethoden benutzt werden können? Grundlagen Verarbeitung formaler Sprachen 17/19

19 Lösungsansätze Die Entscheidung über die Zugehörigkeit eines Wortes zu einer formalen Sprache kann manchmal durch Angabe eines Algorithmus in irgendeiner gängigen Programmiersprache beschrieben werden. Für spezielle Klassen formaler Sprachen kommt man mit Algorithmen einer bestimmten speziellen einfachen Struktur aus. Übliche Darstellung: gewisse Sorten von Automaten. Typisch: eine Kontrolleinheit (sozusagen mit einem fest verdrahteten Programm), die auf einen (Daten-)Speicher zugreifen kann. Unterschiede insbesondere bei der Speichergröße und bei der Art der möglichen Speicherzugriffe. Je nach Kompliziertheit der formalen Sprache braucht man unterschiedlich mächtige Automaten für die Erkennung. Grundlagen Verarbeitung formaler Sprachen 18/19

20 Vorschau Chomsky-Hierarchie: unterscheide Typ-3-, Typ-2-, Typ-1- und Typ-0-Sprachen (mit zunehmendem Schwierigkeitsgrad ). Schwergewicht auf regulären Sprachen (Typ 3) und kontextfreien Sprachen (Typ 2) da z. B. im Übersetzerbau von Bedeutung. Typ-1- und Typ-0-Sprachen und noch kompliziertere werden nur kurz abgehandelt. Regular Expressions Syntaxanalyse in einfacher Form Grundlagen Vorschau auf die Vorlesung 19/19