Grundbegriffe der Informatik Tutorium 10

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1 Grundbegriffe der Informatik Tutorium 10 Tutorium Nr. 32 Philipp Oppermann 17. Januar 2014 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Outline/Gliederung 1 Zum 9. Übungsblatt 2 Endliche Automaten Mealy-Automaten Moore-Automaten Endliche Akzeptoren 3 Aufgaben Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /14

3 Zum 8.Übungsblatt Aufgabe 9.1 Gegeben sei der folgende Algorithmus: x 0 for i 0 to n 1 do do for j 0 to i 1 do do for k j to n 1 do do x x + 1 Es bezeichne f (n) den Wert der Variablen x nach Beendigung der Schleife in Abhängigkeit von n. a) Beweisen Sie, dass f (n) O(n 3 ) ist. b) Beweisen Sie, dass f (n) Ω(n 3 ) ist. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /14

4 Zum 9. Übungsblatt Aufgabe 9.1 Lösung a) Grenzen anpassen! x 0 for i 0 to n 1 do for j 0 to n 1 (statt i 1) do for k 0 (statt j) to n 1 do x x + 1 mehr Schleifendurchläufe am Ende x = n 3 = f (n) O(n 3 ) Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /14

5 Zum 9. Übungsblatt Aufgabe 9.1 Lösung b) Grenzen anpassen! x 0 for i n/2 (statt 0) to n 1 do for j 0 to n/2 (statt i 1) do for k n/2 (statt j) to n 1 do x x + 1 weniger Schleifendurchläufe am Ende x n/2 3 = f (n) Ω(n 3 ) Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /14

6 Zum 9. Übungsblatt Aufgabe 9.4 Alle nachfolgend benutzten Funktionen seien von der Form N 0 N 0. Beweisen Sie: Wenn g 1 f 1 ist, und wenn g 1 g 2 und f 1 f 2, dann gilt auch g 2 f 2. Die Voraussetzungen bedeuten: c R + : n 0 N 0 : n n 0 : g 1 (n) cf 1 (n). c f, c f R + : n f N 0 : n n f : c f f 1 (n) f 2 (n) c f f 1(n). c g, c g R + : n g N 0 : n n g : c g g 1 (n) g 2 (n) c g g 1(n). Dann gilt für alle n max(n 0, n f, n g ) g 2 (n) c g g 1(n) c g cf 1(n) c g c c f f 2 (n). Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /14

7 Mealy-Automaten Mealy-Automat Ein (endlicher) Mealy-Automat A = (Z, z 0, X, f, Y, g) ist festgelegt durch eine endliche Zustandsmenge Z einen Anfangszustand z 0 Z ein Eingabealphabet X eine Zustandsüberführungsfunktion f : Z X Z ein Ausgabealphabet Y eine Ausgabefunktion g : Z X Y Graphische Darstellung siehe Skript! Ausgabe abhängig vom Zustandsübergang (Startzustand und Eingabe) graphisch: Kanten werden mit Eingabesymbol Ausgabewort beschriftet Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /14

8 Mealy-Automaten Funktionen f Zustand nach Eingabe eines Wortes f : Z X Z wird definiert durch: f (z, ε) = z w X : x X : f (z, wx) = f (f (z, w), x) f Zustandsfolge nach Eingabe eines Wortes f : Z X Z wird definiert durch: w X : x X : f (z, ε) = z f (z, wx) = f (z, w) f (z, wx) Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /14

9 Mealy-Automaten Funktionen g letzte Ausgabe nach Eingabe eines Wortes g : Z X Y wird definiert durch: g (z, ε) = ε w X : x X : g (z, wx) = g(f (z, w), x) g konkatenierte Gesamtausgabe nach Eingabe eines Wortes g : Z X Y wird definiert durch: w X : x X : g (z, ε) = ε g (z, wx) = g (z, w) g (z, wx) Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /14

10 Moore-Automaten Moore-Automat Ein (endlicher) Moore-Automat A = (Z, z 0, X, f, Y, h ist festgelegt durch eine endliche Zustandsmenge Z einen Anfangszustand z 0 Z ein Eingabealphabet X eine Zustandsüberführungsfunktion f : Z X Z ein Ausgabealphabet Y eine Ausgabefunktion h : Z Y Ausgabe nur abhängig vom Endzustand graphisch: Ausgabe wird mit getrennt in den Zustandskreis geschrieben Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /14

11 Moore-Automaten Funktionen f und f sind identisch wie bei Mealy-Automaten. g letzte Ausgabe nach Eingabe eines Wortes g : Z X Y wird definiert durch: w X : g (z, w) = h(f (z, w)) g konkatenierte Gesamtausgabe nach Eingabe eines Wortes g : Z X Y wird definiert durch: w X : x X : g (z, w) = h (f (z, w)) wobei h : Z Y der durch h : Z Y induzierte Homomorphismus ist (jedes Zeichen einzeln abbilden). Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /14

12 Endliche Akzeptoren Endlicher Akzeptor Ein endlicher Akzeptor A = (Z, z 0, X, f, F) ist festgelegt durch eine endliche Zustandsmenge Z einen Anfangszustand z 0 Z ein Eingabealphabet X eine Zustandsüberführungsfunktion f : Z X Z eine Menge F Z akzeptierender Zustände ist prinzipiell Moore-Automat mit Alphabet Y = {0, 1} graphisch: akzeptierte Zustände haben einen doppelten Kreis Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /14

13 Endliche Akzeptoren akzeptierte und abgelehnte Wörter Ein Wort w X wird akzeptiert, falls f (z 0, w) F. Ein Wort w X wird abgelehnt, falls es nicht akzeptiert wird. akzeptierte formale Sprache Die von einem Akzeptor A akzeptierte formale Sprache L(A) ist die Menge aller von A akzeptierten Wörter: L(A) = {w X f (z 0, w) F} Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /14

14 Aufgaben Sei X = {a, b}. Entwickle einen endlichen Akzeptor, der alle Wörter w akzeptiert, für die gilt: a) N a (w) = 5 b) N a (w) ist durch 5 teilbar c) es kommen keine zwei b hintereinander in w vor d) w = a k b k mit k N 0 Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /14