Kapitel 3: Reguläre Grammatiken und Endliche. Automaten

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1 Kapitel 3: Reguläre Grammatiken und Endliche Automaten Prof.-Dr. Peter Brezany Institut für Softwarewissenschaft Universität Wien, Liechtensteinstraße Wien Tel. : 0/ brezany@par.univie.ac.at Sprechstunde: Dienstag, Kapitel 3: Reguläre Grammatiken und Endliche Automaten Definition: Sei G = (N, S, P, S) eine KFG, in der die Regelmenge P wie folgt eingeschränkt ist:. Alle Regeln in P haben entweder die Form (a) oder die Form (b): (a)a fi xb, mit x S * und B N. (b) A fi x, mit x S *. In diesem Falle heißt G eine rechtslineare Grammatik. 2. Alle Regeln in P haben entweder die Form (a) oder die Form (b): (a)a fi Bx, mit x S * und B N. (b) A fi x, mit x S *. In diesem Falle heißt G eine linkslineare Grammatik. 3. Eine Grammatik heißt regulär oder Chomsky-Typ 3 Grammatik, wenn sie entweder rechtslinear oder linkslinear ist. 2 Page

2 Reguläre Grammatiken: Beispiele G : S fi 0 0S S ist rechtslinear G : S fi 0 S0 S ist linkslinear G : Z fi 0 9, S fi Z SZ ist nicht regulär Bemerkung: Es läßt sich jedoch leicht eine zu G äquivalente reguläre Gramatik angeben. S fi 0Z Z 9Z, Z fi 0Z Z 9Z, Z fi 0 9 G : B fi a... z, Z fi , S fi B SB SZ ist nicht regulär. Auch in diesem Fall läßt sich eine zu G äquivalente reguläre Grammatik angeben. Die ausdrucksgrammatik G 0 aus Kapitel 2 ist nicht regulär und existiert keine dazu äquivalente reguläre Grammatik. G : S fi asb ab ist nicht regulär und es gibt keine reguläre Grammatik, die L(G) = {a n b n n } erzeugt. 3 Reguläre Grammatik: Beispiel Sei G = ( {S, A}, {b, z}, P, S ) eine rechtslineare Grammatik mit der Regelmenge P = { S fi ba, A fi 2 e, A fi 3 ba, A fi 4 za } Hier repräsentieren die Symbole b bzw. z einen beliebigen Buchstaben bzw. eine beliebige Ziffer. Das Wort bzzb läßt sich wie folgt in G ableiten: S ba 4 bza 4 bzza 3 bzzba 2 bzzb Die von dieser Grammatik erzeugte Sprache ist gegeben durch L(G) = { w w = bx, x {b, z} * } 4 Page 2

3 Ableitungen in einer rechtslinearen Grammatik Sei G = ( N, S, P, S ) rechtslinear. Alle Ableitungen in G haben folgende Struktur: Fall : Es gibt eine Regel S fi x mit x S *. Dann ist x L(G) und S x die zugehörige Ableitung. Fall 2: Es wird eine Folge von n 2 Ableitungsschritten durchgeführt. Jede Satzform mit Ausnahme der letzten enthält genau ein Nichtterminalsymbol als letztes Zeichen. Zum Beispiel: S x 0 A x 0 x A 2... x 0 x... x n- A n x 0 x... x n- x n. wobei - A i N, i n - x i S *, 0 i n - S fi x 0 A P - A i fi x i A i+ P für alle i, i n, und A n fi x n P 5 Aus einer rechtslinearen Grammatik läßt sich auf der Basis dieser Überlegung leicht ein endlicher Automat konstruieren, der genau die Worte in L(G) akzeptiert. Ähnliche Überlegungen können für linkslineare Gramatiken durchgegührt werden. 6 Page 3

4 Endliche Automaten Definition: Ein (nichtdeterministischer) endlicher Automat (EA) ist ein Quintupel wobei A = (Q, S, d, q 0, F) Q: Menge der Zusände, endlich S: Eingabealphabet, endlich q 0 Q: Anfangszustand F Q: Menge der Endzustände, endlich d : Q x S fi P(Q), total: Übergangsfunktion. Definition: Ein endlicher Automat heißt deterministisch (DEA) genau dann, wenn gilt: Für alle q Q, a S : d(q,a). Für einen DEA läßt sich die Übergangsfunktion als partielle Funktion d : Q x S fi Q interpretieren. 7 Arbeitsweise des deterministischen endlichen Automaten Gegeben sei ein DEA A = (Q, S, d, q 0, F) mit d : Q x S fi Q. Weiters sei w S * das zu analysierende Wort. Falls w = e, dann wird w von A genau dann akzeptiert, wenn q 0 F. Andernfalls gelte w = a... a n, mit n und a i S ( i n). Initialisierung: Der Automat startet in der Anfangskonfiguration (q 0,w) und befindet sich nach i Schritten ( i n-) in der Konfiguration ( q i, a i+...a n ). Schritt i + wird nun wie folgt durchgeführt: Falls d(q i, a i+ ) undefiniert, stoppt der Automat mit der Meldung nicht akzeptiert. Falls d(q i, a i+ ) = q i+, dann sind wieder 2 Fälle zu unterscheiden: - Falls i + = n, dann ist das Wort w bereits vollständig abgearbeitet. Der Automat akzeptiert w genau dann, wenn q i+ F. - Falls i + < n, dann geht der Automat in die Konfiguration ( q i+, a i+2...a n ) über und führt Schritt i+2 aus. 8 Page 4

5 Die Komponenten eines endlichen Automaten Mann kann einen EA A = (Q, S, d, q 0, F) graphisch unter Benutzung dreier Komponenten darstellen: Eingabeband, Lesekopf und Kontrolleinheit: Auf dem Eingabeband steht das zu analysierende Wort, w. Der Lesekopf zeigt zu Beginn auf das erste Zeichen von w und wird bei jedem Schritt um nach rechts gesetzt. Die Kontrolleinheit speichert zu dedem Zeitpunkt den Zustand der aktuellen Konfiguration. 9 a Eingabeband a i a n Lesekopf Kontrolleinheit q 0 Page 5

6 Visualisierung und Repräsentation von EA Definition: Ein gerichteter Graph Transitionsdiagramm genannt wird wie folgt mit einem EA assoziiert: - Die Knoten im Graph entsprechen den Zuständen des EA. - Gibt es bei Eingabe von a einen Übergang vom Zustand q in den Zustand p, dann existiert ein mit a markierter Pfeil vom Zustand q in den Zustand p im Transitionsdiagramm. - Der EA akzeptiert eine Zeichenkette x, wenn die Transitionsfolge, die den Symbolen in x entspricht, den Anfangszustand in einen akzeptierenden Zustand überführt. Bemerkung: Es ist üblich, den Anfangszustand durch den mit Start markierten Pfeil anzugeben und jeden Endzustand durch den doppelten Kreis zu markieren. Endliche Automaten: Beispiele Sei A = ({q}, {0,}, d, q, {q}), mit d(q,0) = d(q,) = {q}. 0, Start q A ist ein deterministischer Automat und akzeptiert die Sprache L(A) = {0, } *. 2 Page 6

7 Sei A = ({q 0, q }, {}, d, q 0, {q }), mit d(q 0,) = {q } d(q,) = {q } Start q 0 q A ist ein deterministischer Automat und akzeptiert die Sprache L(A) = {} * - {e}. 3 Sei A = ({q 0, q }, {b, z}, d, q 0, {q }), mit d(q 0,b) = {q }, d(q 0,z) = F d(q,b) = d(q,z) = {q } (leere Menge) b,z Start b q 0 q A ist ein deterministischer Automat und akzeptiert die Sprache L(A) = { w w = bx, x {b, z} * }. (A akzeptiert Bezeichner.) 4 Page 7

8 Sei A = ({q 0, q, q 2 }, {0, }, d, q 0, {q 2 }), mit d(q 0,0) = d(q,0) = {q } d(q,) = {q, q 2 } d(q,a) = F für alle anderen Paare (q, a) Q S. 0, 0 Start q 0 q q 2 A ist ein nichtdeterministischer endlicher Automat und akzeptiert die Sprache L(A) = { w w = 0x, x {0, } * }. 5 Erweiterung der Übergangsfunktion () Sei A = (Q, S, d, q 0, F) ein beliebiger endlicher Automat. Die Über- d, ist definiert als totale Funktion d : Q S fi P(Q). Dgangsfunktion, esomit ordnet d jedem Paar (q, a) Q S eine Menge mit 0 oder mehr dzuständen zu: d(q, a) = {q,..., q n }, n 0. Die folgende Definition erweitert die Übergangsfunktion auf den Definitionsbereich Q S *. Dies läßt sich erreichen, indem man eine Funktion d* definiert, welche den Effekt der Anwendung von d auf Worte beliebiger Länge 0 modelliert. Auf dieser Basis läßt sich dann die von einem Automaten akzeptierte Sprache formal definieren. 6 Page 8

9 Erweiterung der Übergangsfunktion (2) Definition: Sei A = (Q, S, d, q 0, F) ein endlicher Automat mit Übergangsfunktion d : Q S fi P(Q). Wir definieren eine erweiterte Übergangsfunktion d * : Q S * fi P(Q), total, auf der Basis von d wie folgt:. Für alle q Q: 2. Für alle w S * : d * (q, e) {q} d * (q, wa) = p d * (q,w)d(p, a) Definition: Sei A = (Q, S, d, q 0, F). Dann ist L(A) = { w w S * d * (q 0, w) F F}. die von A akzeptierte Sprache. 7 Der Potenzautomat Definition: Sei A = (Q, S, d, q 0, F) ein beliebiger nichtdeterministischer endlicher Automat. Wir konstruieren einen deterministischen endlichen Automaten, A = (Q, S, d, q 0, F ) durch die folgenden Festlegungen:. Q = P(Q) 2. q 0 = {q 0 } 3. F Q sei die Menge aller Zustände in Q, die mindestens ein Element aus F enthalten. 4. d : Q S fi Q ist eine deterministische Übergangsfunktion für A, die wie folgt definiert wird: d( { q,..., q n }, a) = { p,..., p j }, genau dann, wenn k i d(q k, a) = { p,..., p j } für { q,..., q n } Q, a S. A heißt der Potenzautomat zu A. Man kann zeigen, daß gilt L(A) = L(A ). 8 Page 9

10 Beispiel: A = ({p, q, r}, {0,}, d, p, {r}) d 0 p {q} {p} q {r} {p} p {r} {r} Start p 0 q 0 r 0, L(A) ist die Menge aller Worte, die mindestens zwei aufeinanderfolgende Nullen enthalten: L(A) = { w w = x00y x, y S * }. 9 Beispiel: A = ({q 0, q, q 2, q 3, q f }, {, 2, 3}, d, q 0, {q f }) d 2 3 q 0 {q 0, q } {q 0, q 2 } {q 0, q 3 } q {q, q f } {q } {q } q 2 {q 3 } {q 2, q f } {q 2 } q 3 {q 3 } {q 3 } {q 3, q f } q f F F F Transitionsdiagramm -> nächste Folie L(A) = Menge aller Worte über {,2,3} derart, dass das letzte Zeichen des Worts schon vorher im Wort aufgetreten ist. 20 Page 0

11 ,2,3,2,3 q,2,3 Start 2 q 0 q 2 2 q f 3 3 q 3,2,3 2 Zusätzliche Beispiele 22 Page