Diskrete Mathematik. Anna-Lena Rädler Christina Kohl Georg Moser Christian Sternagel Vincent van Oostrom

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1 Diskrete Mathematik Anna-Lena Rädler Christina Kohl Georg Moser Christian Sternagel Vincent van Oostrom

2 Zusammenfassung der letzten LVA Definition Ein ɛ-nea N = (Q, Σ, δ, S, F) ist gegeben durch eine endliche Menge Q, deren Elemente Zustände heißen, eine endliche Menge Σ, die Eingabealphabet heißt und ɛ nicht enthält, eine Abbildung δ : Q (Σ {ɛ}) P(Q) die Zustandsübergangsfunktion heißt, und angibt wie sich der Zustand eines Automaten bei einer Eingabe oder spontan ändern kann, eine Teilmenge S Q, deren Elemente Startzustände genannt werden, eine Teilmenge F Q, deren Elemente akzeptierende Zustände Diskrete Mathematik genannt Sommersemester werden

3 Satz Sei N ein ɛ-nea; dann existiert ein regulärer Ausdruck R mit L(N) = L(R) Satz Sei R ein regulärer Ausdruck. Dann existiert ein ɛ-nea N, sodass L(R) = L(N) Diskrete Mathematik Sommersemester

4 Satz Sei N ein ɛ-nea; dann existiert ein regulärer Ausdruck R mit L(N) = L(R) Satz Sei R ein regulärer Ausdruck. Dann existiert ein ɛ-nea N, sodass L(R) = L(N) Folgerung Sei L eine formale Sprache, die folgenden Aussagen sind äquivalent 1 L ist regulär 2 L = L(G), wobei G eine rechtslineare Grammatik 3 L = L(D), wobei D ein DEA 4 L = L(N), wobei N ein NEA 5 L = L(N ), wobei N ein ɛ-nea Diskrete Mathematik Sommersemester

5 Inhalte der Lehrveranstaltung (cont d) Reguläre Sprachen deterministische Automaten, nichtdeterministische Automaten, endliche Automaten mit Epsilon-Übergängen, reguläre Ausdrücke, Abgeschossenheit, Schleifenlemma Berechenbarkeitstheorie deterministische TM, nichtdeterministische TM, universelle TMs, Äquivalenzen Komplexitätstheorie Grundlagen, die Klassen P und NP, polynomielle Reduktionen, logspace Reduktionen Diskrete Mathematik Sommersemester

6 Inhalte der Lehrveranstaltung (cont d) Reguläre Sprachen deterministische Automaten, nichtdeterministische Automaten, endliche Automaten mit Epsilon-Übergängen, reguläre Ausdrücke, Abgeschossenheit, Schleifenlemma Berechenbarkeitstheorie deterministische TM, nichtdeterministische TM, universelle TMs, Äquivalenzen Komplexitätstheorie Grundlagen, die Klassen P und NP, polynomielle Reduktionen, logspace Reduktionen Diskrete Mathematik Sommersemester

7 Abgeschlossenheit regulärer Sprachen Satz (Erinnerung) Seien L, M reguläre Sprachen (über dem Alphabet Σ), dann gilt 1 Die Vereinigung L M ist regulär 2 Das Komplement L ist regulär 3 Der Schnitt L M ist regulär 4 Die Mengendifferenz L \ M ist regulär Diskrete Mathematik Sommersemester

8 Satz Sind L und M regulär, dann ist auch die Vereinigung L M regulär Diskrete Mathematik Sommersemester

9 Satz Sind L und M regulär, dann ist auch die Vereinigung L M regulär Beweis. Weil L und M regulär sind, existieren reguläre Ausdrücke E, F, sodass L = L(E) und M = L(F) Dann ist E + F ein regulärer Ausdruck für die Sprache L(E) L(F) = L M Somit ist L M regulär Diskrete Mathematik Sommersemester

10 Satz Sind L und M regulär, dann ist auch die Vereinigung L M regulär Beweis. Weil L und M regulär sind, existieren reguläre Ausdrücke E, F, sodass L = L(E) und M = L(F) Dann ist E + F ein regulärer Ausdruck für die Sprache L(E) L(F) = L M Somit ist L M regulär Diskrete Mathematik Sommersemester

11 Satz Wenn L (über dem Alphabet Σ) regulär ist, dann ist auch das Komplement L = Σ \ L regulär Diskrete Mathematik Sommersemester

12 Satz Wenn L (über dem Alphabet Σ) regulär ist, dann ist auch das Komplement L = Σ \ L regulär Beweis. DEA A = (Q, Σ, δ, s, F), sodass L = L(A) Konstruiere B = (Q, Σ, δ, s, Q \ F), dann gilt L = L(B) Diskrete Mathematik Sommersemester

13 Satz Wenn L (über dem Alphabet Σ) regulär ist, dann ist auch das Komplement L = Σ \ L regulär Beweis. DEA A = (Q, Σ, δ, s, F), sodass L = L(A) Konstruiere B = (Q, Σ, δ, s, Q \ F), dann gilt L = L(B) Diskrete Mathematik Sommersemester

14 Satz Wenn L (über dem Alphabet Σ) regulär ist, dann ist auch das Komplement L = Σ \ L regulär Beweis. DEA A = (Q, Σ, δ, s, F), sodass L = L(A) Konstruiere B = (Q, Σ, δ, s, Q \ F), dann gilt L = L(B) Satz Wenn L und M regulär sind, dann ist auch der Schnitt L M regulär Beweis. Wir verwenden De Morgan L M = ( L M) Diskrete Mathematik Sommersemester

15 Satz Wenn L (über dem Alphabet Σ) regulär ist, dann ist auch das Komplement L = Σ \ L regulär Beweis. DEA A = (Q, Σ, δ, s, F), sodass L = L(A) Konstruiere B = (Q, Σ, δ, s, Q \ F), dann gilt L = L(B) Satz Wenn L und M regulär sind, dann ist auch der Schnitt L M regulär Beweis. Wir verwenden De Morgan L M = ( L M) Diskrete Mathematik Sommersemester

16 Satz Wenn L und M regulär sind, dann ist auch L \ M regulär Beweis. Wir verwenden De Morgan L \ M = L ( M) Diskrete Mathematik Sommersemester

17 Satz Wenn L und M regulär sind, dann ist auch L \ M regulär Beweis. Wir verwenden De Morgan L \ M = L ( M) Beispiel ((1)) Sei R = (0 + 1) 01(0 + 1) und L = L(R); wir suchen den RA R sodass L = L(R ). Diskrete Mathematik Sommersemester

18 Satz Wenn L und M regulär sind, dann ist auch L \ M regulär Beweis. Wir verwenden De Morgan L \ M = L ( M) Beispiel ((1)) Sei R = (0 + 1) 01(0 + 1) und L = L(R); wir suchen den RA R sodass L = L(R ). Zunächst betrachte den folgenden NEA N mit L(N) = L 0, 1 0, q 0 q 1 q 2 Diskrete Mathematik Sommersemester

19 Beispiel (2) Teilmengenkonstruktion für N; schreiben N in Tabellenform 0 1 q 0 {q 0, q 1 } {q 0 } q 1 {q 2 } q 2 {q 2 } {q 2 } Diskrete Mathematik Sommersemester

20 Beispiel (2) Teilmengenkonstruktion für N; schreiben N in Tabellenform 0 1 q 0 {q 0, q 1 } {q 0 } q 1 {q 2 } q 2 {q 2 } {q 2 } Wir erhalten D mit L(D) = L 0 1 {q 0 } {q 0, q 1 } {q 0 } {q 0, q 1 } {q 0, q 1 } {q 0, q 2 } {q 0, q 2 } {q 0, q 1, q 2 } {q 0, q 2 } {q 0, q 1, q 2 } {q 0, q 1, q 2 } {q 0, q 2 } Diskrete Mathematik Sommersemester

21 Beispiel (3) Minimierung liefert die Äquivalenz der Zustände {q 0, q 2 } und {q 0, q 1, q 2 } {q 0 } {q 0, q 1 } {q 0, q 2 } {q 0, q 1, q 2 } Diskrete Mathematik Sommersemester

22 Beispiel (3) Minimierung liefert die Äquivalenz der Zustände {q 0, q 2 } und {q 0, q 1, q 2 } {q 0 } {q 0, q 1 } {q 0, q 2 } {q 0, q 1, q 2 } Wir erhalten den minimierten DEA D 0 0, [{q 0 }] [{q 0, q 1 }] [{q 0, q 2 }] Diskrete Mathematik Sommersemester

23 Beispiel (4) Wir komplementieren DEA D und erhalten DEA D 0 0, [{q 0 }] [{q 0, q 1 }] [{q 0, q 2 }] Diskrete Mathematik Sommersemester

24 Beispiel (4) Wir komplementieren DEA D und erhalten DEA D 0 0, [{q 0 }] [{q 0, q 1 }] [{q 0, q 2 }] 1 0 0, [{q 0 }] [{q 0, q 1 }] [{q 0, q 2 }] Diskrete Mathematik Sommersemester

25 Beispiel (5) Sei D der komplementierte DEA 0 0, [{q 0 }] [{q 0, q 1 }] [{q 0, q 2 }] Diskrete Mathematik Sommersemester

26 Beispiel (5) Sei D der komplementierte DEA 0 0, [{q 0 }] [{q 0, q 1 }] [{q 0, q 2 }] Schließlich können wir für R den folgenden regulären Ausdruck angeben 1 0 Diskrete Mathematik Sommersemester

27 Beispiel (5) Sei D der komplementierte DEA 0 0, [{q 0 }] [{q 0, q 1 }] [{q 0, q 2 }] Schließlich können wir für R den folgenden regulären Ausdruck angeben 1 0 Es folgt L((0 + 1) 01(0 + 1) ) = L(1 0 ) Diskrete Mathematik Sommersemester

28 Die Grenzen endlicher Automaten Beispiel Wir betrachten die Sprache B = {a n b n n 0} = {ɛ, ab, aabb, aaabbb,... } Dann ist B nicht regulär Diskrete Mathematik Sommersemester

29 Die Grenzen endlicher Automaten Beispiel Wir betrachten die Sprache B = {a n b n n 0} = {ɛ, ab, aabb, aaabbb,... } Dann ist B nicht regulär Beispiel Wir betrachten die Sprache C = {0 2n n 0} = {0, 00, 0000, ,... } Dann ist C nicht regulär Diskrete Mathematik Sommersemester

30 Beispiel 1 0 0, q 0 q 1 q 2 Diskrete Mathematik Sommersemester

31 Beispiel 1 0 0, q 0 q 1 q 2 Frage Wie wird der String w = akzeptiert? Diskrete Mathematik Sommersemester

32 Beispiel 1 0 0, q 0 q 1 q 2 Frage Wie wird der String w = akzeptiert? Antwort Da l(w) = 7>3 = Q muss eine Schleife im Automaten ausgenutzt werden Diskrete Mathematik Sommersemester

33 Satz (Schleifenlemma) Sei L eine reguläre Sprache über Σ. Dann existiert eine Konstante n N, sodass für jedes Wort w L mit l(w) n Wörter x, y, z Σ existieren mit w = xyz und y ɛ, l(xy) n, für alle k 0 gilt: x(y) k z L. Diskrete Mathematik Sommersemester

34 Satz (Schleifenlemma) Sei L eine reguläre Sprache über Σ. Dann existiert eine Konstante n N, sodass für jedes Wort w L mit l(w) n Wörter x, y, z Σ existieren mit w = xyz und y ɛ, l(xy) n, für alle k 0 gilt: x(y) k z L. Beweis. Angenommen L ist regulär; dann existiert ein DEA A = (Q, Σ, δ, s, F) sodass L = L(A) Diskrete Mathematik Sommersemester

35 Satz (Schleifenlemma) Sei L eine reguläre Sprache über Σ. Dann existiert eine Konstante n N, sodass für jedes Wort w L mit l(w) n Wörter x, y, z Σ existieren mit w = xyz und y ɛ, l(xy) n, für alle k 0 gilt: x(y) k z L. Beweis. Angenommen L ist regulär; dann existiert ein DEA A = (Q, Σ, δ, s, F) sodass L = L(A) Sei #(Q) = n und w = w 1 w m L mit w 1,..., w m Σ und m n Diskrete Mathematik Sommersemester

36 Beweis. (Fortsetzung). Definiere p l := ˆδ(s, w 1 w l ); beachte für l = 0 ist w 1 w l = ɛ und somit p 0 = s Diskrete Mathematik Sommersemester

37 Beweis. (Fortsetzung). Definiere p l := ˆδ(s, w 1 w l ); beachte für l = 0 ist w 1 w l = ɛ und somit p 0 = s Nach dem Schubfachprinzip muss es i, j {0,..., n} mit i < j und p i = p j geben: w hat n + 1 Präfixe, A aber nur n Zustände Diskrete Mathematik Sommersemester

38 Beweis. (Fortsetzung). Definiere p l := ˆδ(s, w 1 w l ); beachte für l = 0 ist w 1 w l = ɛ und somit p 0 = s Nach dem Schubfachprinzip muss es i, j {0,..., n} mit i < j und p i = p j geben: w hat n + 1 Präfixe, A aber nur n Zustände Wir zerlegen w w 1 w i }{{} x w i+1 w j }{{} y ɛ w j+1 w m }{{} z Diskrete Mathematik Sommersemester

39 Beweis. (Fortsetzung). Definiere p l := ˆδ(s, w 1 w l ); beachte für l = 0 ist w 1 w l = ɛ und somit p 0 = s Nach dem Schubfachprinzip muss es i, j {0,..., n} mit i < j und p i = p j geben: w hat n + 1 Präfixe, A aber nur n Zustände Wir zerlegen w w 1 w }{{} i x w i+1 w j }{{} y ɛ w j+1 w m }{{} z Die Situation stellt sich graphisch wie folgt dar: y x z p 0 p i p m Diskrete Mathematik Sommersemester

40 Beweis. (Fortsetzung). Definiere p l := ˆδ(s, w 1 w l ); beachte für l = 0 ist w 1 w l = ɛ und somit p 0 = s Nach dem Schubfachprinzip muss es i, j {0,..., n} mit i < j und p i = p j geben: w hat n + 1 Präfixe, A aber nur n Zustände Wir zerlegen w w 1 w }{{} i x w i+1 w j }{{} y ɛ w j+1 w m }{{} z Die Situation stellt sich graphisch wie folgt dar: y x z p 0 p i p m Um das Wort x(y) k z zu akzeptieren, läuft der Automat k-mal durch den Weg, der p i mit p j verbindet Diskrete Mathematik Sommersemester

41 Beweis. (Fortsetzung). Definiere p l := ˆδ(s, w 1 w l ); beachte für l = 0 ist w 1 w l = ɛ und somit p 0 = s Nach dem Schubfachprinzip muss es i, j {0,..., n} mit i < j und p i = p j geben: w hat n + 1 Präfixe, A aber nur n Zustände Wir zerlegen w w 1 w }{{} i x w i+1 w j }{{} y ɛ w j+1 w m }{{} z Die Situation stellt sich graphisch wie folgt dar: y x z p 0 p i p m Um das Wort x(y) k z zu akzeptieren, läuft der Automat k-mal durch den Weg, der p i mit p j verbindet Diskrete Mathematik Sommersemester

42 Anwendung des Schleifenlemmas Satz (Anwendung (1)) Sei L eine formale Sprache über Σ, sodass: für alle n N existiert ein Wort w L mit l(w) n, sodass für alle x, y, z Σ mit w = xyz, y ɛ und l(xy) n existiert k N mit x(y) k z L Dann ist L nicht regulär. Diskrete Mathematik Sommersemester

43 Anwendung des Schleifenlemmas Satz (Anwendung (1)) Sei L eine formale Sprache über Σ, sodass: für alle n N existiert ein Wort w L mit l(w) n, sodass für alle x, y, z Σ mit w = xyz, y ɛ und l(xy) n existiert k N mit x(y) k z L Dann ist L nicht regulär. Beispiel (1) Sei Σ = {1}; dann ist D = {w Σ l(w) ist eine Primzahl} nicht regulär Diskrete Mathematik Sommersemester

44 Beispiel (2) Wir zeigen, dass für D gilt: für alle n N existiert ein Wort w L mit l(w) n, sodass für alle x, y, z Σ mit w = xyz, y ɛ und l(xy) n existiert k N mit x(y) k z L Diskrete Mathematik Sommersemester

45 Beispiel (2) Wir zeigen, dass für D gilt: für alle n N existiert ein Wort w L mit l(w) n, sodass für alle x, y, z Σ mit w = xyz, y ɛ und l(xy) n existiert k N mit x(y) k z L Wir wählen w = 1 p, wobei p eine Primzahl größer oder gleich n + 2 ist; somit ist w L und l(w) = p n + 2 n. Diskrete Mathematik Sommersemester

46 Beispiel (2) Wir zeigen, dass für D gilt: für alle n N existiert ein Wort w L mit l(w) n, sodass für alle x, y, z Σ mit w = xyz, y ɛ und l(xy) n existiert k N mit x(y) k z L Wir wählen w = 1 p, wobei p eine Primzahl größer oder gleich n + 2 ist; somit ist w L und l(w) = p n + 2 n. Seien nun x, y und z beliebig, sodass w = xyz, l(xy) n und y ɛ. Diskrete Mathematik Sommersemester

47 Beispiel (2) Wir zeigen, dass für D gilt: für alle n N existiert ein Wort w L mit l(w) n, sodass für alle x, y, z Σ mit w = xyz, y ɛ und l(xy) n existiert k N mit x(y) k z L Wir wählen w = 1 p, wobei p eine Primzahl größer oder gleich n + 2 ist; somit ist w L und l(w) = p n + 2 n. Seien nun x, y und z beliebig, sodass w = xyz, l(xy) n und y ɛ. Setze m := l(y); Wir wählen k := l(xz) = p m, Betrachte v := x(y) (p m) z Diskrete Mathematik Sommersemester

48 Diskrete Mathematik Sommersemester Das heißt l(v) ist keine Primzahl, wenn (p m) > 1 und Beispiel (2) Wir zeigen, dass für D gilt: für alle n N existiert ein Wort w L mit l(w) n, sodass für alle x, y, z Σ mit w = xyz, y ɛ und l(xy) n existiert k N mit x(y) k z L Wir wählen w = 1 p, wobei p eine Primzahl größer oder gleich n + 2 ist; somit ist w L und l(w) = p n + 2 n. Seien nun x, y und z beliebig, sodass w = xyz, l(xy) n und y ɛ. Setze m := l(y); Wir wählen k := l(xz) = p m, Betrachte Aber v L, weil v := x(y) (p m) z l(v) = l(x(y) (p m) z) = (p m) + m (p m) = (p m) (m + 1).

49 Beispiel Die Sprache E = {w Σ w enthält gleich viele 0en wie 1en} ist nicht regulär: Diskrete Mathematik Sommersemester

50 Beispiel Die Sprache E = {w Σ w enthält gleich viele 0en wie 1en} ist nicht regulär: 1 Die Anwendung des Schleifenlemmas wird einfach, wenn wir ein pumpbares Teilwort finden, welches ausschließlich aus 0en besteht Diskrete Mathematik Sommersemester

51 Beispiel Die Sprache E = {w Σ w enthält gleich viele 0en wie 1en} ist nicht regulär: 1 Die Anwendung des Schleifenlemmas wird einfach, wenn wir ein pumpbares Teilwort finden, welches ausschließlich aus 0en besteht 2 Wir wählen das Wort w := 0 n 1 n E Diskrete Mathematik Sommersemester

52 Beispiel Die Sprache E = {w Σ w enthält gleich viele 0en wie 1en} ist nicht regulär: 1 Die Anwendung des Schleifenlemmas wird einfach, wenn wir ein pumpbares Teilwort finden, welches ausschließlich aus 0en besteht 2 Wir wählen das Wort w := 0 n 1 n E 3 Betrachte alle Zerlegungen von w in x, y und z, sodass l(xy) n und y ɛ Diskrete Mathematik Sommersemester

53 Beispiel Die Sprache E = {w Σ w enthält gleich viele 0en wie 1en} ist nicht regulär: 1 Die Anwendung des Schleifenlemmas wird einfach, wenn wir ein pumpbares Teilwort finden, welches ausschließlich aus 0en besteht 2 Wir wählen das Wort w := 0 n 1 n E 3 Betrachte alle Zerlegungen von w in x, y und z, sodass l(xy) n und y ɛ 4 Es muss gelten x = 0 i, y = 0 j, j 0 und i + j n Diskrete Mathematik Sommersemester

54 Beispiel Die Sprache E = {w Σ w enthält gleich viele 0en wie 1en} ist nicht regulär: 1 Die Anwendung des Schleifenlemmas wird einfach, wenn wir ein pumpbares Teilwort finden, welches ausschließlich aus 0en besteht 2 Wir wählen das Wort w := 0 n 1 n E 3 Betrachte alle Zerlegungen von w in x, y und z, sodass l(xy) n und y ɛ 4 Es muss gelten x = 0 i, y = 0 j, j 0 und i + j n 5 Nunn wählen wir k = 0 Diskrete Mathematik Sommersemester

55 Beispiel Die Sprache E = {w Σ w enthält gleich viele 0en wie 1en} ist nicht regulär: 1 Die Anwendung des Schleifenlemmas wird einfach, wenn wir ein pumpbares Teilwort finden, welches ausschließlich aus 0en besteht 2 Wir wählen das Wort w := 0 n 1 n E 3 Betrachte alle Zerlegungen von w in x, y und z, sodass l(xy) n und y ɛ 4 Es muss gelten x = 0 i, y = 0 j, j 0 und i + j n 5 Nunn wählen wir k = 0 Dann gilt immer x(y) 0 z E, also sind die Voraussetzung des Satzes zum Schleifenlemma erfüllt: L ist nicht regulär Diskrete Mathematik Sommersemester