Formale Methoden 2 LVA ,

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1 Formale Methoden 2 LVA , ( Georg Moser (VO) 1 Martin Korp (UE) 2 Friedrich Neurauter (UE) 3 Christian Vogt (UE) 4 1 georg.moser@uibk.ac.at Sprechstunden: Mittwoch, 13:00 15:00 (3M09) 2 csac9615@uibk.ac.at Sprechstunden: Freitag, 12:00 14:00 (3M03) 3 csad2836@uibk.ac.at Sprechstunden: Montag, 11:00 13:00 (3M03) 4 christian.vogt@uibk.ac.at Sprechstunden: Donnerstag, 10:00 12:00 (3M12) Sommersemester 2006 Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 1 RAs bilden zusammen mit den Operatoren Vereinigung, Konkatenation und Kleene Stern eine Algebra. Diese Algebra heißt Kleene Algebra. Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 2

2 Assoziativität und Kommutativität Seien L, M, N beliebige reguläre Ausdrücke, wir schreiben vereinfachend L für die von L beschriebene Sprache L(L). L + M = M + L Kommutativität von + (L + M) + N = L + (M + N) Assoziativität von + (LM)N = L(MN) Assoziativität der Verkettung Erinnerung: Kommutativität der Verkettung gilt nicht. Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 3 Neutrales Element und Löscher Ein neutrales Element für einen Operator ist ein Element das die Operation nicht beeinflusst. + L = L + = L ist das neutrale Element für + ɛl = Lɛ = L ɛ is das neutrale Element der Verkettung. + 0 = 0 0 = 0 ɛ Ein Löscher (Annihilator) für einen Operator ist ein Element das die Operation zunichte macht. L = L = ist ein Löscher der Verkettung. Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 4

3 Distributivgesetze und Idempotenzgesetz L(M + N) = LM + LN (M + N)L = ML + NL linkes Distributivgesetz rechtes Distributivgesetz Distributivgesetz = 0ɛ + 01 = 0(ɛ + 1 ) = 01 L + L = L Idempotenzgesetz von +. Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 5 Gesetze für den Kleene-Stern (L ) = L = ɛ L + = LL L? = ɛ + L Ein interessanteres Gesetz: (L + M) = (L M ) ((0) + 1?) = (((0) ) (1?) ) = (0 (ɛ + 1) ) = (0 1 ) Beweis Hausaufgabe Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 6

4 Ein Test für algebraische Gesetze für RAs Die Gleichheit der Ausdrücke E und F wird geprüft: Alle Variablen in E und F durch verschiedene konkrete Symbole ersetzen. Die Gleichung E = F wird dadurch in eine Gleichung C = D umgewandelt. Teste ob L(C) = L(D). Wenn Ja, dann gilt das Gesetz E = F. Wenn Nein, dann ist E = F falsch und das Gegenbeispiel zu C = D ist auch ein Gegenbeispiel zu E = F. Satz Korrektheit Der angegebene Test ist korrekt: Für jedes so gefundenes Gesetz gilt L(E) = L(F ) für alle beliebige Sprachen an der Stelle von E bzw. F. Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 7 Wir verwenden den Test, um L((L + M) ) L((L M ) ) zu zeigen. Ersetzte L, M durch a, b: L((a + b) ) L((a b ) ). Wir zeigen L((a + b) ) L((a b ) ): Sei w L((a + b) ). Dann bezeichnet w einen String aus as und bs. Für jeden Buchstaben w i von w gilt: w i L(a b ). Somit liegt w im Abschluss von L(a b ): w L(a b ). Somit w L(a b ) = L((a b ) ). Somit gilt L((L + M) ) L((L M ) ). Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 8

5 Pumping Lemma Satz Sei L eine reguläre Sprache, dann existiert eine Konstante n, sodass für jeden String w L, w n, w = αβγ mit β ɛ, αβ n, Für alle k 0, der String α(β) k γ L. Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 9 Beweis Angenommen L ist regulär, also existiert ein DEA A mit n Zuständen, sodass L = L(A). Sei w = a 1 a m, definiere p i = ˆδ(q 0, a 1 a i ); Informell bezeichnet p i den Zustand nach dem Lesen von i Symbolen von w. Beachte p 0 = q 0. Nach dem Schubfachprinzip können die n + 1 p i nicht alle verschieden sein. Es gibt nur n Zustände! Es muss also i, j geben sodass p i = p j und i < j Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 10

6 Beweis (2) Zerlege w: a 1 a i }{{} α a i+1 a j }{{} β ɛ a j+1 a m }{{} γ. β p 0 α p i γ Um das Wort α(β) k γ zu akzeptieren, läuft der Automat k-mal durch den Pfad, der p i mit p j verbindet. Da p i = p j ist dies beliebig oft möglich. Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 11 Kontraposition des Pumping-Lemma Wir verwenden das Pumping Lemma um zu zeigen, dass eine bestimmte Sprache L nicht regulär ist. Satz Kontraposition des Pumping-Lemma Angenommen für jedes n existiert ein String w mit w n und für jede Zerlegung von w L in α, β und γ (w = αβγ) mit β ɛ, αβ n, existiert k mit α(β) k γ L. Dann ist L nicht regulär. Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 12

7 Pumping Lemma als Spiel können wir auch als Spiel formulieren: 1. Spielerin 1 wählt die Sprache, die als nicht-regulär nachzuweisen ist. 2. Spieler 2 wählt ein beliebiges n. 3. Spielerin 1 wählt ein Wort w L, w n. 4. Spieler 2 zerlegt in 3 Teile α,β,γ, sodass αβ n, β ɛ. Spieler 2 muss die Zerlegung nicht mitteilen. 5. Spielerin 1 gewinnt, wenn sie k wählen kann, sodass α(β) k γ L. L ist genau dann nicht regulär, wenn die Spielerin 1 immer gewinnt. Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 13 Wir betrachten die Sprache L, deren Worte genausoviele 0en wie 1en enthält. Nennen wir die Spieler Zenzi (Spielerin 1) und Sepp (Spieler 2). 1. Natürlich wählt Zenzi die Sprache L. 2. Sepp wählt als Zahl n. 3. Zenzi wählt daraufhin das Wort w = 0 n 1 n, welches in L ist. 4. Sepp zerlegt w beliebig in α,β und γ. Er muss darauf achten, dass αβ n und β ɛ. 5. Zenzi kennt die Zerlegung nicht, kann aber aus den Bedingungen und der Kenntnis von w darauf schließen, dass αβ = 0 i für i n. Sie wählt für k = 0. Nun hat Zenzi gewonnen: β ɛ, angenommen β = 0. Nun fehlt, aber in αγ eine 0, obwohl αγ noch dieselbe Anzahl an 1en enthält. Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 14

8 Wir betrachten die Sprache L, die aus allen Strings von 1ern besteht, deren Länge eine Primzahl ist. Wir zeigen die Voraussetzungen der (Kontraposition des) Pumping Lemmas. Sei n beliebig. Wir wählen p n + 2 n und setzen w = 1 p. Dann gilt w n. Zerlege w in beliebige α,β und γ, sodass αβ n und β ɛ. Sei β = m, also αγ = p m. Setze k = (p m) und betrachte das Wort α(β) (p m) γ Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 15 Wir zeigen dass α(β) (p m) γ L: α(β) (p m) γ = (p m) + m (p m) = (p m) (m + 1). Wir sind fertig, wenn: (p m) 1 und (m + 1) 1. (m + 1) 1, da m = β und β ɛ. (p m) 1, da m = β αβ = n und p n + 2 somit (p m) n + 2 m n + 2 n 2. Die Anwendung der (Kontraposition des) Pumping Lemmas zeigt: L ist nicht regulär. Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 16

9 Zusammenfassung Ein Test für algebraische Gesetze Die Kontraposition des Pumping Lemma als Spiel Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 17