Äquivalenzrelation R A zu DFA A. Rechtsinvarianz. Relation R L zur Sprache L

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1 Rechtsinvarianz Definition T4.2.8: Eine Äquivalenzrelation R auf Σ* heißt rechtsinvariant, wenn x R y z Σ*: xz R yz. Index von R: Anzahl der Äquivalenzklassen von R. Notation: ind(r) Im Folgenden: 2 rechtsinvariante Äquivalenzrelationen definieren. 42 Äquivalenzrelation R A zu DFA A Definition T4.2.9: Sei A ein DFA. x R A y δ(q,x)=δ(q,y). Beispiel: q q q 2 q 3 R A R A 43 Äquivalenzrelation R A zu DFA A Definition T4.2.9: Sei A ein DFA. x R A y δ(q,x)=δ(q,y). Bemerkung: R A ist rechtsinvariant, denn: x R A y δ(q,x)=δ(q,y) z Σ*: δ(q,xz)=δ(q,yz) z Σ*: xz R A yz. Bemerkung: Der Index von R A ist die Anzahl nicht überflüssiger Zustände. 44 Relation R L zur Sprache L Definition T4.2.: Sei L Σ* eine Sprache. Dann ist x R L y z Σ*: (xz L yz L). Name: Nerode-Relation Beispiel: L={w w enthält gerade Anzahl von Nullen und Einsen} R L R L 45

2 2. Beispiel L={ n n n } R L, da L, aber L. R L, R L, allgemeiner: i R L i+ Folgerung: R L hat unendlich viele Äquivalenzklassen. 46 Nerode-Relation R L Definition T4.2.: Sei L Σ* eine Sprache. Dann ist x R L y z Σ*: (xz L yz L). Bemerkung: R L ist rechtsinvariant, denn: x R L y z Σ*: (xz L yz L). w Σ* z Σ*: (xwz L ywz L). w Σ*: xw R L yw. Bemerkung: ind(r L ): minimale Größe eines DFAs für L. 47 Satz von Nerode Satz T4.2.: Die folgenden Aussagen sind äquivalent: () Die Sprache L wird von einem DFA akzeptiert. (2) L ist die Vereinigung von Äquiv.klassen einer rechtsinvarianten Äquivalenzrelation mit endlichem Index. (3) Die Nerode-Relation R L hat endlichen Index. Beweis: () (2) (3) () 48 Beweis () (2) Sei A DFA für L. Dann ist R A rechtsinvariante Äquiv.rel. mit endlichem Index. L ist die Vereinigung der Äquiv.klassen, die zu akzept. Zuständen gehören. Zu zeigen: L ist Vereinigung von Äquiv.klassen einer r.i. Äquiv.rel. mit endl. Index. x R A y δ(q,x)=δ(q,y). 49

3 Zu zeigen: Beweis (2) (3) Nerode-Rel. R L Sei R rechtsinvariante hat endl. Index. Äquiv.relation mit endlichem Index, so dass L Vereinigung einiger Äquiv.klassen von R. Zeige: R L ist Vergröberung von R x R y z Σ*: xz R yz z Σ*: (xz L yz L) x R L y R L hat endlichen Index. x R L y z Σ*: (xz L yz L). 4 Beweis (3) () Sei L Sprache, so dass R L endlichen Index hat. Konstruiere DFA: Q = { Menge der Äquiv.klassen von R L }, q = [ε], F = {[w] w L}, δ([w],a) = [wa]. Wohldefiniertheit von δ: [w]=[w ] w R L w wa R L w a [wa]=[w a] Zu zeigen: L wird von DFA akzept. 4 Q = { Menge der Äquiv.klassen von R L }, q = [ε], F = {[w] w L}, δ([w],a) = [wa]. Anmerkung: w L [w] F (nach Def. von R L ) DFA akzeptiert L: w L [w] F δ([ε],w) F δ(q,w) F. Minimaler DFA Folgerung T4.2.2: Der im Schritt (3) () konstruierte DFA für L ist minimal. Beweis: Sei A DFA für L mit Zustandsmenge Q. Wg. () (2): Konstruktion der Äquiv.rel. R A mit ind(r A ) Q. Wg. (2) (3): ind(r L ) ind(r A ): Wg. (3) (): Q =ind(r L ) Also Q Q

4 Korrektheit des gesamten Ansatzes Rechnung Satz T4.2.3: Sei A ein DFA ohne überflüssige Zustände. Der Äquivalenzklassenautomat A ist ein zu A äquivalenter DFA minimaler Größe. Beweis: Zeige: A hat höchstens ind(r L ) Zustände. Zeige dazu: x R L y x und y führen in A zum gleichen Zustand (d.h., δ(q,x) δ(q,y)) Fazit Minimierung Berechnung minimaler DFAs von Hand ist mühselig, der Algorithmus hat Rechenzeit O( Q 2 Σ ). - polynomiell in der Anzahl der Zustände, - exponentiell in der Anzahl der Flip-Flops (Beachte: Z.B. 3 Flip-Flops 2 3 Zustände). Zweiter Ansatz um zu zeigen, dass eine Sprache nicht von DFAs erkannt werden kann: Zeige, dass die Nerode-Relation unendlich viele Äquivalenzklassen hat. 46 Nichtdeterminismus und Random. Randomisierter endlicher Automat (in Lit. probabilistic finite automaton PFA) In jedem Rechenschritt zufällig zwischen mehreren Nachfolgezuständen wählen. In dieser Vorlesung nicht behandelt. Nichtdeterministischer endl. Automat (NFA). In jedem Rechenschritt wird ohne weitere Auswahlvorschrift zwischen mehreren Nachfolgezuständen gewählt. 47

5 NFAs Q: Zustandsmenge Σ: Eingabealphabet q : Startzustand F: Menge der akzeptierenden Zustände δ Q Σ Q: Übergangsrelation (q,a,q ) δ, wenn es erlaubt ist, vom Zustand q beim Lesen von a nach q überzugehen. Alternative Sichtweise δ: Q Σ P (Q) und Potenzmenge von Q (Menge aller Teilmengen von Q) δ(q,a) = {Menge aller q mit (q,a,q ) δ} Wie vorher Erweiterung auf Wörter: δ(q,w)={menge aller q, die beim Lesen von w erreicht werden können, wenn im Zustand q gestartet wird} Akzeptierte Sprache Die von einem NFA akzeptierte Sprache L ist die Menge aller Wörter w, so dass δ(q,w) einen Zustand aus F enthält. Oder: L ist die Menge aller Wörter w, für die es einen Rechenweg von q zu einem Zustand aus F gibt. (Hier Sichtweise: Raten des richtigen Rechenweges) Beispiel L k ={w {,}* In w ist der k-te Buchstabe von hinten eine } q,,,,..., q q 2 Satz T4.4.3: L k hat NFA mit k+ Zuständen. Jeder DFA für L k hat mindestens 2 k Zustände. q 3 q k 42 42

6 Untere Schranke für die DFA-Größe Idee: Zeige, dass die Nerode-Relation mindestens 2 k Äquivalenzklassen hat. Beispiel: String Matching Frage: Enthält die Eingabe aus Σ* den String s=s...s k? Behauptung: Alle Wörter aus {,} k sind nicht äquivalent bez. der Nerode-Relation R Lk. q s q q 2 s 3 q 3 s 4 s 2... s k q k Seien x,y {,} k mit x y. Dann gibt es i mit x i y i, z.b. x i =,y i =. Wähle z= i-. Dann ist xz L k, aber yz L k. Also xr Lk y. Σ Σ x R L y z Σ*: (xz L yz L) Bsp: eingeschränktes SSS (KP**) Fest vorgegeben: Zahl A. Eingabe: Zahlen a,...,a n {,...,A}. Frage: Gibt es eine Teilmenge der Zahlen mit Summe A? NFA: Q={,...,A}, q =, F={A}, δ(q,a)={q,q+a} Q. NFA rät bei jeder Zahl der Eingabe, ob sie zur Lösung gehört. 424