4. Übung zur Vorlesung Informatik III am

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1 1 4. Übung zur Vorlesung Informatik III am

2 Wiederholung Konkatenation 2 Definition Konkatenation Eine endliche Folge w von Symbolen aus Σ heißt Wort. Die Menge aller Wörter über Σ heißt Σ. Sei w Σ. Wir betrachten w in Vektorschreibweise w = (w 1,..., w n ) mit w i Σ. Seien v, w Σ, v = (v 1,..., v n ), w = (w 1,..., w m ). Dann ist die Konkatenation definiert durch v w = (v 1,..., v n ) (w 1,, w m ) = (v 1,..., v n, w 1,, w m )

3 Wiederholung Konkatenation 3 Assoziativität Seien u, v, w Σ, u = (u 1,..., u k ), v, w wie auf der letzten Folie. Dann gilt: u (v w) = (u 1,..., u k ) ( ) (v 1,..., v n ) (w 1,, w m ) = (u 1,..., u k ) (v 1,..., v n, w 1,, w m ) = (u 1,..., u k, v 1,..., v n, w 1,, w m ) = (u 1,..., u k, v 1,..., v n ) (w 1,, w m ) ( ) = (u 1,..., u k ) (v 1,..., v n ) (w 1,, w m ) = (u v) w

4 Wiederholung Regularität 4 Charakterisierung von regulären Sprachen Sei L eine reguläre Sprache. Dann sind äquivalent L wird durch regulären Ausdruck beschrieben L wird durch DEA erkannt L wird durch NEA erkannt Der Index von R L ist endlich Außerdem gilt: L erfüllt das Pumping Lemma

5 Wiederholung Pumping-Lemma 5 Pumping-Lemma Eine Sprache L ist regulär }{{} A = n N w L ( w > n) Zerl. w = uvx mit uv n und v ε : i N 0 uv i x L }{{} A B (Pumping-Lemma) und im Umkehrschluß B A (Anwendung d. PLs zum Beweis für Nichtregularität) B

6 Wiederholung Pumping-Lemma 6 Pumping-Lemma L erfüllt PL (B) n w L : w > n u, v, x : w = uvx, uv n, v ε i : uv i x L L erfüllt PL nicht ( B) n w L : w > n u, v, x : w = uvx, uv n, v ε i : uv i x / L

7 Wiederholung Pumping-Lemma 7 Pumping-Lemma als 2-Personen Spiel Ziel des Spiels: Zeige Nicht-Regularität einer Sprache Spieler 1: Wählt Sprache L. Spieler 2: Denkt sich ein bel. n N aus. Spieler 1: Wählt ein Wort w der Länge > n aus. Spieler 2: Gibt eine bel. Zerlegung w = uvx aus, mit uv n, v ε vor. Spieler 1: Nennt ein i und gewinnt, falls uv i x / L, weil er gezeigt hat dass L nicht regulär ist. Sonst gewinnt Spieler 2 und es wurde nichts gezeigt.

8 Wiederholung DEA 8 Unvollständigkeit Sei A = (Q, Σ, δ, s, F ) mit Σ = {a, b} Warum ist der Automat als DEA unvollständig? δ : Q Σ Q δ(0, b) ist nicht definiert Vervollständigung, warum wichtig? a 0 1 b b a 2 a, b

9 Aufgabe 1 Homomorphismen 9 Zeichenreihen-Homomorphismus Definition h : Σ Γ heißt Zeichenreihen-Homomorphismus, falls für alle v, w Σ h(v w) = h(v) h(w). h heißt surjektiv, falls h(σ ) = Γ, d.h. falls h(σ) = Γ. Dann gilt für w = w 1 w 2 w k, w i Σ h(w) = h(w 1 ) h(w 2 ) h(w k ). Die Bildsprache h(l) ist def. durch h(l) = {h(w) : w L}.

10 Aufgabe 1 Homomorphismen 10 Aufgabe 1 Sei h ein surjektiver Zeichenreihen-Homomorphismus. 1. Zeigen Sie, dass die Bilder zweier Wörter x, y Σ, die bezüglich der Nerode-Relation R L zur Sprache L äquivalent sind, auch bezüglich der Nerode-Relation R h(l) zur Bildsprache h(l) äquivalent sind. 2. Warum ist die Umkehrung im Allgemeinen falsch?

11 Aufgabe 2 11 Aufgabe 2 Geben Sie für die folgenden Sprachen jeweils die Äquivalenzklassen bezüglich der Nerode-Relation R L an. Welche der Sprachen sind regulär? Wie sieht der Minimalautomat dieser Sprachen aus? 1. Für ein endliches Alphabet Σ und ein Wort w Σ sei L = {vw : v Σ }. 2. Die Sprache L () der korrekten Klammerausdrücke. 3. L 2 = {a i 2 : i N, i 1}

12 Aufgabe 4 12 Aufgabe 4 Sei L eine reguläre Sprache. Zeigen Sie, dass L entscheidbar ist.

13 Aufgabe 3 13 Aufgabe 3 Entwerfen Sie eine deterministische Turing-Maschine, die zwei in Binärdarstellung gegebene Zahlen a und b addiert. Das Eingabealphabet der Turing-Maschine sei Σ = {0, 1, +, $, &} und die Eingabe der Turing-Maschine sei durch den String $ a + b & 0 codiert.

14 Aufgabe , R 1 1, R $ $, R Gehe zur aktuellen Ziffer von a. Lies aktuelle Ziffer von a. + +, L 0, R, L 1, R s q 0 $ $, R q 1 q 2 0 0, R 1 1, R + +, R, R Gehe zur aktuellen Ziffer von b. 0 0, R 1 1, R + +, R, R 0 0, R 1 1, R + +, R, R & &, L, L & &, L, L q 3 q 4 Lies aktuelle Ziffer von b. 0, L + +, L 1, L 1, L 0, L 0, L 1, L & &, L q 7, L q 8 1, L + +, N Lies aktuellen Übertrag und schreibe neuen Übertrag., R & &, R q 5 1 0, N 1 1, N q 6 0 0, N q 5 q 5 0 0, N 1 1, N 0 0, N 0 0, N 1 0, N Gehe zum ersten Blanksymbol links der Eingabe und Schreibe Teilergebnis. q 5 q 6 q 9 0 0, L 1 1, L + +, L $ $, L, L, L & &, L 0, R 0 0, L 1 1, L + +, L $ $, L, L, L & &, L 1, R s