Abschluss gegen Substitution. Wiederholung. Beispiel. Abschluss gegen Substitution

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1 Wiederholung Beschreibungsformen für reguläre Sprachen: DFAs NFAs Reguläre Ausdrücke:, {ε}, {a}, und deren Verknüpfung mit + (Vereinigung), (Konkatenation) und * (kleenescher Abschluss) Abschluss gegen Substitution Definition T4.6.13: Seien Σ, Alphabete. Eine Funktion f : Σ {Sprachen über } heißt Substitution. f wird erweitert auf Σ* durch f(ε)=ε und f(w 1 w n )=f(w 1 )f(w 2 ) f(w n ). f(l)={ f(z) z L } Konkatenation von Sprachen Heute: Zuerst zwei weitere Abschlusseigenschaften von regulären Sprachen Beispiel Sei L=(01)* und f(0)={aa,bb}, f(1)={ab,ba} Dann: f(l)={w 1 w n {a,b}* n ist durch 4 teilbar und w 4i+1 =w 4i+2 und w 4i+3 w 4i+4 } =((aa+bb)(ab+ba))* Abschluss gegen Substitution Satz T5.3.4: Die regulären Sprachen sind gegen Substitution abgeschlossen, d.h., wenn L und alle f(a), a Σ, regulär sind, ist auch f(l) regulär. Beweis: Setze die regulären Ausdrücke für die f(a) für alle Vorkommen von a in einen regulären Ausdruck für L ein. Bemerkung: Beweis mit DFAs aufwändiger

2 Inverse Homomorphismen Definition : Ein Homomorphismus h ist eine Substitution, bei der h(a) für alle a Σ aus nur einem Wort aus * besteht. Weiterhin ist h -1 (L)={z Σ* h(z) L}. h -1 heißt inverser Homomorphismus. Beispiel zu inv. Homomorphismen Σ={0,1}, ={a,b} L={w * w enthält Teilwort aaa}. h(0)=ab, h(1)=abaa. Dann: h -1 (L)={x Σ* x enthält Teilwort 10 oder 11}. Ziel: Umformung DFA für L DFA für h -1 (L). 482 h -1 (L)={z Σ* h(z) L}. 483 Abschl. u. inv. Homomorphismen Beweis Satz T4.6.17: Sei h:σ * ein Homomorphismus. Sei h = a Σ h(a). Aus einem DFA A für L * kann in Zeit O( Q ( Σ + h )) ein DFA A für h -1 (L) konstruiert werden. Insbesondere sind die regulären Sprachen unter inversen Homomorphismen abgeschlossen. Sei A=(Q,,δ,q 0,F ) gegeben. Konstruiere A =(Q,Σ,δ,q 0,F ) mit δ (q,x)=δ(q,h(x)). Korrektheit: Es ist δ (q 0,z)=δ(q 0,h(z)). Also: z wird von A akzeptiert h(z) wird von A akzeptiert

3 Beispiel Σ={0,1}, ={a,b} L={w * w enthält Teilwort aaa}. h(0)=ab, h(1)=abaa. DFA für L: a b b a,b a a q 0 q 1 q 2 q 3 b 486 Fazit zu endlichen Automaten DFAs, NFAs und reguläre Ausdrücke sind Beschreibungsformen für reguläre Sprachen. Dazu kommen noch reguläre Grammatiken. Reguläre Sprachen sind zu eingeschränkt für Programmiersprachen (z.b. geklammerte Ausdrücke können nicht dargestellt werden). Pumping-Lemma. Minimierung. Nichtdeterminismus. Abschlusseigenschaften. 487 Teil 4: Grammatiken und Syntaxanalyse (Kapitel T5-T7) Grammatiken und die Chomsky- Hierarchie [T5.1] Ziel: Regelsysteme zur Erzeugung von Sprachen. Beispiel: arithmetische Ausdrücke können definiert werden durch a (Variable), a+a, a a sind arithmet. Ausdr. Wenn A und B arithm. Ausdr. sind, dann auch (A)+(B) und (A) (B). Grammatik: formalere Beschreibung solcher Regeln. 489

4 Bestandteile einer Grammatik T (oder Σ): endliche Menge von Terminalzeichen (das Alphabet der erzeugten Sprache) V : endliche Menge von Variablen (T V= ) S V : Startsymbol P : endliche Menge von Ableitungsregeln/ Produktionen Paare (l,r) mit l (V T ) +, r (V T )* (Schreibweise: l r) Beispiel: arithmetische Ausdrücke V={S} T={(,),a,+, } P = {S (S)+(S), S (S) (S), S a, S a+a, S a a} Herleitung eines Wortes: S (S)+(S) (S)+((S) (S)) (a a)+((s) (S)) (a a)+((a) (S)) (a a)+((a) (a +a)) Variante: l V Notation w z z lässt sich durch Anwendung einer Ableitungsregel (l,r) aus w herleiten, d.h., es gibt in w ein Teilwort l, so dass nach Ersetzen von l durch r das Wort z entsteht. w z * w w 1 w 2 w 3 w n z, d.h., z kann aus w in endlich vielen Schritten hergeleitet werden. L(G): Die von der Grammatik G erzeugte Sprache, also die Menge der Wörter w T* mit S w. * 492 Notation Variablen: Großbuchstaben. Terminale: meistens Kleinbuchstaben a,b,c,... oder Ziffern, manchmal auch Sonderzeichen oder Klammern. Wörter aus (V T )*: Kleinbuchstaben u,v,... oder griechische Kleinbuchstaben. 493

5 Weiteres Beispiel L = { w w {a,b,c}* und w enthält gleich viele a s, b s und c s } Angabe einer Grammatik: V = {S,A,B,C,R}, T = {a,b,c}, P = {S R, S ε, R RABC, R ABC AB BA, BA AB, CA AC, AC CA, BC CB, CB BC, A a, B b, C c} Eingeschränkte Grammatiken Definition T5.1.1: Chomsky-0-Grammatiken: Grammatiken ohne weitere Einschränkungen. Chomsky-1-Grammatiken: Produktionen der Form S ε oder u v mit u V +, v ((V T) {S})* und u v. monoton oder kontextsensitiv (Beispiel: siehe vorherige Folie) Eingeschr. Grammatiken (Forts.) Chomsky-2-Grammatiken: Produktionen der Form A v mit A V, v (V T)*. kontextfrei Chomsky-3-Grammatiken: Produktionen der Form A ε oder A ab mit A,B V, a T. rechtslinear oder regulär Sprachklassen L i : Menge der von Chomsky-i-Grammatiken erzeugbaren Sprachen, genauer L 0 : Chomsky-0-Sprachen (=rekursiv aufzählbare Sprachen) L 1 : kontextsensitive Sprachen L 2 : kontextfreie Sprachen L 3 : rechtslineare Sprachen (=reguläre Sprachen)

6 Chomsky-Hierarchie Folgerung aus der Definition: L 3 L 2 L 1 L 0 Später: Alle Inklusionen sind echt. Chomsky-0-Grammatiken (T5.2) Ziel: Chomsky-0-Sprachen = rek. aufz. Sprachen Grammatik: S * Wort Turing-Maschine: Wort akz. Konfig. D.h.: Die Rechnung einer Grammatik verläuft anders herum Rek. Aufz. Chomsky-0-Grammatik Satz T5.2.1: L rekursiv aufzählbar Es gibt Chomsky-0-Grammatik G mit L(G)=L. Beweis: Sei L rekursiv aufzählbar und M zugehörige deterministische Turingmaschine, d.h., x L M akzeptiert x, x L M läuft endlos. Vereinfachungen von M M kann modifiziert werden, so dass gilt: Der Startzustand q 0 wird nur zu Beginn der Rechnung benutzt. Es gibt nur einen akzept. Zustand q*. Vor dem Akzeptieren löscht M das Band. Startkonfiguration: q 0 w 1 w n Akzep. Konfiguration: q*

7 Rückwärtsrechnung von G V = Q {S,L,R,X,Y} (Γ Σ), Startsymbol S T = Σ Regeln: Bandalphabet Eingabealphabet 1. Erzeugung der Endkonfiguration: S Lq*R, q* q*b, q* Bq* 2. Rückwärtsrechnung: δ(q,a)=(q,a,1): a q qa, δ(q,a)=(q,a,-1): q ba bqa f.a. b Γ δ(q,a)=(q,a,0): q a qa Schlussregeln für den Test, ob tatsächlich eine Startkonfiguration beschrieben wird, und zum Löschen der Randmarkierungen: Bq 0 q 0 Lq 0 q 0 q 0 a ax f.a. a Σ Xa ax f.a. a Σ XB Y YB Y YR ε XR ε q 0 B Y Zeichen links des hergel. Wortes löschen Zum rechten Ende des hergel. Wortes gehen Zeichen rechts des hergel. Wortes löschen Sonderfall leeres Wort 503 Korrektheit 1. L(M) L(G). Sei c 1,,c m eine akzeptierende Rechnung für w 1 w n von M. Dann gibt es in G die Herleitung S Lq*R * LB Bq*B BR = LB Bc m B BR LB Bc m-1 B BR LB Bc 1 B BR = LB Bq 0 w 1 w n B BR * w 1 w n. 504 Korrektheit 2. L(G) L(M). Sei S Lq*R * w 1 w n Herleitung in G. L,R, Zustandssymbol können nur mit den Schlussregeln entfernt werden LB Bq 0 w 1 w n B BR wurde erreicht. Die Herleitung Lq*R * LB Bq 0 w 1 w n B BR entspricht einer umgekehrten Rechnung von M. M akzeptiert w 1 w n. 505

8 Beispiel Rechnung von M auf ab : q 0 ab cq 1 b cdq 2 B cq 3 db q 4 cbb q*bbb Herleitung in G: S Lq*R Lq*BR Lq*BBR Lq*BBBR Lq 4 cbbr Lcq 3 dbr Lcdq 2 BR Lcq 1 bbr Lq 0 abbr q 0 abbr aq 0 bbr abq 0 BR abq 0 R ab 506