H MPKP. Beispiel für eine Rechnung. Reduktion H MPKP. Überführungsregeln

Transkript

1 H MPKP Konfiguration einer TM als String schreiben: Bandinschrift zwischen den Blank-Zeichen Links von der Kopfposition Zustand einfügen. Beispiel für eine Rechnung ##q ab##xq b##xyq 2 ##xyzq 3 ##xyq 4 z### ##q ab##xq b##xyq 2 ##xyzq 3 ##xyq 4 z### Beispiel: 234q567 bedeutet: Kopf steht auf 5, Zustand ist q. Rechnung: Folge solcher Strings, getrennt durch Trennzeichen ##. 35 Anfangsregel Kopierregeln Überführungsregeln Abschlussregeln u. Löschregeln 36 Reduktion H MPKP Überführungsregeln Eingabe für H: M w Anfangsregel: (#,##q w#) MPKP erzwingt, dass hiermit begonnen wird erzeugt Anfangskonfiguration von M Kopierregeln: (a,a) für alle a Γ {#} Kopieren von Buchstaben Löschregeln: (aq,q), (qa,q) f. alle a Γ u.q Q Löschen von Buchstaben Abschlussregeln: (q###,#) für alle q Q Kopfbewegung δ(q,a)=(q,c,) (qa,q c) δ(q,b)=(q,c,) (q#,q c#) Kopfbewegung δ(q,a)=(q,c,) (qa,cq ) δ(q,b)=(q,c,) (q#,cq #) (für alle a Γ, q Q) Sonderfall rechtes Bandende Sonderfall rechtes Bandende 37 38

2 Überführungsregeln Kopfbewegung δ(q,a)=(q,c, ) (bqa,q bc) δ(q,a)=(q,c, ) (#qa,#q Bc) linkes Bandende δ(q,b)=(q,c, ) (bq#,q bc#) rechtes Bandende δ(q,b)=(q,c, ) (#q#,#q Bc#) (für alle a,b Γ, q Q) 39 Korrektheit f( M w): konstruierte MPKP-Eingabe Zu zeigen: M hält auf w : f( M w) hat Lsg. Rechnung als String aufschreiben. Zusätzliche Rechenschritte zum Löschen des Bandinhaltes einfügen Resultat ist Lösung von f( M w). 32 M hält auf w : f( M w) hat Lsg. Anfangsregel erzwingt, dass Lsg mit Anfangskonfiguration von M w beginnt. Kopier- und Überführungsregeln erzwingen korrekte Rechnung. Nur die Abschlussregel erreicht, dass die x- Folge und die y-folge gleich viele Zustandssymbole enthalten Es wird eine haltende Rechnung codiert. Überblick: nicht rekursive Sprachen D D H U H ε H ε MPKP PKP Rekursiv aufzählbar: D, H, H ε, U Nicht rek. aufzählbar: D, H, H ε, U L(S)

3 Fazit Entscheidbarkeitstheorie Es gibt Probleme, die nie von Rechnern gelöst werden können (unabhängig vom technologischen Fortschritt). Wenn man auf ein nicht entscheidbares Problem stößt: Herausfinden, ob es nicht genügt, eine einfachere Variante zu lösen. Teil 3: Endliche Automaten (Kapitel T4 u. T5.3) 323 Begriffe Schaltwerke im Huffmann-Modell Rechnerstrukturen Schaltnetz (ohne Rückkopplungen/ Speicher) andere gängige Begriffe Schaltkreis [T] circuit combinational circuit Input Schaltnetz Output Schaltwerk (mit Rückkopplungen/ Speicher) sequentieller Schaltkreis sequential circuit Flip-Flops Rückkopplung Takt 325 Vereinfachung: Keine Ausgabe 326

4 Beschreibung von Schaltwerken k Flip-Flops 2 k Zustände Zustandsmenge Q. l Inputbits 2 l Inputs Eingabealphabet Σ mit Σ =2 l. Funktion des Schaltnetzes: Rückkopplung: δ:q Σ Q (Zustandsüberführungsfunktion) Ausgabe: γ:q Σ {,} r (Ausgabefkt., entfällt hier) Startzustand q. 327 Zugehöriges abstraktes Modell DFA (deterministic finite automaton) wird beschrieben durch: endliche Zustandsmenge Q, endliches Eingabealphabet Σ, Startzustand q, Übergangsfunktion δ:q Σ Q, F Q: Menge akzeptierender Zustände. Schreibweise: (Q,Σ,q,δ,F ) 328 Aufbau eines DFAs Arbeitsweise des DFAs (Q,Σ,q,δ,F) w w 2 Lesekopf Steuerung mit endl. Speicher w 3 w n Read-only Eingabeband Unterschied zu TMs: Band darf nur gelesen werden, Kopf darf nur nach rechts gehen. Eingabe: w=(w,,w n ) Σ n, Lesekopf auf w. Startzustand ist q. Aktion in jedem Rechenschritt: Wenn q der Zustand ist und w i gelesen wird, ist δ(q,w i ) der neue Zustand. Kopf geht um eine Position nach rechts. Akzeptanz, falls nach Lesen von w n ein Zustand aus F erreicht wird

5 Beispiel Beispiel (Fortsetzung) Q={q δ,,q 3 }, F={q } Anschaulicher: graphische Darstellung Startzustand q akzept. Zustände q q 2 q q q 2 q 3 q 3 q q q q 3 q 2 q q q 2 q 3 33 Bedeutung der Zustände: q : gerade Anzahl Nullen gerade Anzahl Einsen q : gerade Anzahl Nullen ungerade Anzahl Einsen q 2 : ungerade Anzahl Nullen gerade Anzahl Einsen q 3 : ungerade Anzahl Nullen ungerade Anzahl Einsen q q 2 q 3 Akzept. Sprache: {w w enth. gerade Anz. von Nullen und Einsen} 332 q Begriff: reguläre Sprache Definition: Ein Sprache L heißt regulär, wenn es für L einen DFA gibt. Beispiel L={w {a,b}* Auf zwei a s in w folgt immer ein b} 333 Vereinfachung: Fehlende Kanten entsprechen Kanten zu einem verwerfenden Zustand, der nie wieder verlassen wird. 334

6 Vereinfachte Schreibweise Bisher: δ:q Σ Q. Erweitere δ auf δ:q Σ* Q durch q Q: δ(q,ε)=q und δ(q,(w,,w n ))=δ(δ(q,w,,w n ),w n ). Bedeutung: δ(q,(w,,w n )) ist der Zustand, in dem der DFA beginnend mit q nach dem Lesen von w,,w n ist. Bsp: eingeschränktes SSS (KP**) Fest vorgegeben: Zahl A. Eingabe: Folge a,,a n {,,A}. Frage: Gibt es eine Teilfolge der Zahlen mit Summe A? Erinnerung: Wenn A Bestandteil der Eingabe ist, ist das Problem NP-vollständig. Akzeptanz: w wird akzeptiert δ(q,w) F DFA für eingeschränktes SSS Beispiel Eingabealphabet: Σ={,,A} Zustandsmenge Q enthält alle Teilmengen von {,,A}, die enthalten. Bedeutung: Menge der Summen, die aus den bisher gelesenen Zahlen gebildet werden können. Startzustand: {} Akzept. Zustände: alle Mengen in Q, die A enthalten. Übergangsfkt: δ(m,a)={i i M i a M}. 337 A=4, Σ={,2,3,4} Q={{},{,},{,2},{,3},{,4},{,,2},{,,3}, {,,4},, {,,2,3,4}} Startzustand {} F={{,4},{,,4},{,2,4},{,3,4},{,,2,4}, {,,3,4},{,2,3,4},{,,2,3,4}} Übergangsfunktion nur am Beispiel: δ({,3},) ={,,3,4} 338