Berechenbarkeitstheorie 7. Vorlesung
|
|
- Helmuth Bösch
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 1 Berechenbarkeitstheorie Dr. Institut für Mathematische Logik und Grundlagenforschung WWU Münster W 15/16 Alle Folien unter Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported Lizenz.
2 Das Pumpinglemma trukturelles Lemma über eine Eigenschaft von regulären prachen Hat eine prache diese Eigenschaft nicht, kann ie nicht regulär sein (Anwendung: Beweis Nichtregularität) Definition Eine prache heißt pumpbar gdw., es gibt ein k N, sodass für alle Wörter w L mit w k es eine Zerlegung von w = xyz gibt, für die gilt: 1. xy k, 2. i 0: xy i z L, 3. y > 0. 2 Pumpinglemma L REG L ist pumpbar
3 Beispiel L = {a k k ungerade} REG Zur Erinnerung: pumbar heißt k N w L: ( w k) xyz = w mit xy k, y > 0,und i 0: xy i z L In diesem Fall: k = 3 w L zerteile w wie folgt w = aaaaaa a x y z xy k und y > 0 sind erfüllt 3 i 0 gilt: w und xy i z unterscheiden sich um 2i as xy i z besitzt eine ungerade Anzahl von as xy i z L L ist pumpbar
4 Beweis des Pumpinglemmas Zu zeigen: L ist regulär, dann ist L pumpbar sei L regulär, und M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) ein DEA der L erkennt wir setzen k = Q + 1 jeder w-lauf ( w k) besucht mindestens k = Q + 1 Zustände 1 Zustand doppelt sei p der 1. Zustand der mehrfach besucht wurde 4 Lauf: q 0 p p p Teillauf zum 1. p x Eigenschaft 1: y > 0 Eigenschaft 2: xy k vom 1. zum 2. p y Teillauf ab 2. p z Eigenschaft 3: i 0: xy i z L
5 Am Beispiel M Q = 5 w = abbaba hat folgenden Lauf k = 5 5 erster doppelter Zustand ist 1 x = a, y = bba, z = ba Wiederholung i = 3 xyyyz = abbabbabbaba hat akzeptierenden Lauf
6 Anwendung des Pumpinglemmas PL: L REG L ist pumpbar Umkehrung PL: L nicht pumpbar L REG nicht pumpbar heißt: k N w L: ( w k) xyz = w mit xy k, y > 0 gilt i 0: xy i z L Interpretation als 2-pieler piel: Gegenspieler wählt bei den Quantoren. Wir wählen bei den Quantoren. Wahl in Abhängigkeit der vorigen Auswahlen. Haben wir eine Gewinnstrategie ist die prache nicht pumpbar und somit nicht regulär. 6
7 1. Beispiel L = {a n b n n 0} Zu zeigen: k N w L: ( w k) xyz = w mit xy k, y > 0 gilt i 0: xy i z L Gegenspieler bestimmt k wir wählen w L in Abhängigkeit von k, in unserem Fall w = a k b k Gegenspieler wählt Zerteilung von w wir zeigen: für jede seiner Wahlen finden wir ein i, sodass xy i z L in unserem Fall wissen wir dass y L(a ) und y ε 7 d.h. für i = 2 ist xy i z = a k+ y b k L also ist L nicht pumpbar und somit nicht regulär
8 2. Beispiel L = {uu u {a, b} } Zur Erinnerung k N w L: ( w k) xyz = w mit xy k, y > 0 gilt i 0: xy i z L wir wählen w L in Abhängigkeit von k, in unserem Fall w = a k ba k b wir zeigen für jede Zerteilung gibt es ein i, so dass xy i z L y besteht nur aus as xy i z enthält genau zweimal das Zeichen b bs legen Endpositionen von u fest xy 0 z = a k y ba k b L L ist nicht pumpbar, also ist L nicht regulär 8
9 3. Beispiel L = {a n2 n 0} Abstände zwischen Quadratzahlen wachsen linear (n + 1) 2 n 2 = 2n + 1 für Pumplänge k wählen wir w = a k2 L da Σ = {a} spielt bei der Zerteilung von w nur die Länge von y eine Rolle wir wählen i = 2, d.h. xy i z k 2 + k die zu k 2 nächste Quadratzahl ist (k + 1) 2 = k 2 + 2k + 1 k 2 < xy 2 z k 2 + k < k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2 xy 2 z liegt zwischen k 2 und (k + 1) 2 und kann demnach keine Quadratzahl sein L nicht pumpbar L REG 9
10 10 2. Kapitel Kontextfreie prachen
11 Kontextfreie Grammatiken Grammatiken = Formalismus zum Beschreiben von prachen mit Ableitungsregeln Ziel: {a n b n n 0} soll erkannt werden Ziel: Modell soll beherrschbar bleiben 11 Kontextfreie Grammatik Eine Kontextfreie Grammatik G ist ein 4 Tupel (V, Σ, R, ), bestehend aus V endliche Menge von Variablen, Σ endliche Menge von Terminalsymbolen, R V (V Σ) einer endliche Menge von Regeln, V einem tartsymbol.
12 chreibweise: (x, w) R wird geschrieben als x w linke eite 12 rechte eite Zusammenfassen aller Regeln mit der gleichen linken eite (x, w 1 ), (x, w 2 ), (x, w 3 ) R geschrieben als x w 1 w 2 w 3 Variablen = Großbuchstaben Terminalsymbole = Kleinbuchstaben, Ziffern, onderzeichen wenn nicht anders angegeben, tartsymbol immer es genügt i.a. die Regeln der Grammatik anzugeben Beispiel: aaa ε A ax 1 a X 1 baa
13 prache einer kf Grammatik wenn u, v, w (Σ V ) und A w eine Regel, dann leitet uav zu uwv ab chreibweise: uav uwv wiederholtes Ableiten: uav t chreibweise: uav t 13 Definition Für eine kf Grammatik G ist die prache der Grammatik L(G) definiert als L(G) := {w Σ w}. also alle Wörter über Σ die ich aus dem tartsymbol ableiten kann
14 Beispiel 1 ab ε ab aabb a k b k a k b k L(G) = {a n b n n 0} Beispiel 2 aa bb ε 14 aa abba u u u u L(G) = {u u u {a, b} } Beispiel 3 () ε L(G) = {w {(, )} w korrekt gklammert }
15 Ableitungsbäume beim DEA/NEA bezeugte der Lauf eines Wortes die Berechnung lineare Ableitungssequenz w erfasst die truktur der Berechnung unzureichend Alternative: Ableitungsbaum eines Wortes w Knotenbeschrifteter Baum mit Elementen aus Σ V ausgezeichnete Wurzel, mit beschriftet Blätter enthalten Terminalsymbole wenn Knoten Bezeichnung X V hat und die Kinder (von links) u 1, u 2, u 3,..., dann muss es die Regel geben X u 1 u 2 u 3 geben w =Terminale des Baumes in Post-Order 15
16 Beispiel + a w = a + a a + 16 Nicht eindeutig! + a a a a a (a + a) a (a + a a) a Definition Gibt es ein Wort in einer kf. Grammatik G mit zwei unterschiedlichen Ableitungsbäumen so heißt G mehrdeutig. Mehrdeutigkeit gilt es zu vermeiden!
17 Definition Die prache L(G) einer kf. Grammatik G heißt kontextfreie prache. CFL := {L L ist kontextfrei} atz 10 L REG L CFL 17 Aus atz 10 folgt, dass REG CFL denn {a n b n n 0} ist kontextfrei aber nicht regulär endliche prachen REG CFL
Theorie der Informatik
Theorie der Informatik 6. Formale Sprachen und Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 17. März 2014 Einführung Beispiel: Aussagenlogische Formeln Aus dem Logikteil: Definition (Syntax
MehrAlgorithmen mit konstantem Platzbedarf: Die Klasse REG
Algorithmen mit konstantem Platzbedarf: Die Klasse REG Sommerakademie Rot an der Rot AG 1 Wieviel Platz brauchen Algorithmen wirklich? Daniel Alm Institut für Numerische Simulation Universität Bonn August
MehrPumping-Lemma. Beispiel. Betrachte die kontextsensitive Grammatik G mit den Produktionen. S asbc abc CB HB HB HC HC BC ab ab bb bb bc bc cc cc.
Pumping-Lemma Beispiel Betrachte die kontextsensitive Grammatik G mit den Produktionen S asbc abc CB HB HB HC HC BC ab ab bb bb bc bc cc cc. Sie erzeugt z.b. das Wort aabbcc: S asbc aabcbc aabhbc aabhcc
MehrTheoretische Informatik 2 (WS 2006/07) Automatentheorie und Formale Sprachen 19
Inhalt 1 inführung 2 Automatentheorie und ormale prachen Grammatiken Reguläre prachen und endliche Automaten Kontextfreie prachen und Kellerautomaten Kontextsensitive und yp 0-prachen 3 Berechenbarkeitstheorie
MehrDefinition (Reguläre Ausdrücke) Sei Σ ein Alphabet, dann gilt: (ii) ε ist ein regulärer Ausdruck über Σ.
Reguläre Ausdrücke Definition (Reguläre Ausdrücke) Sei Σ ein Alphabet, dann gilt: (i) ist ein regulärer Ausdruck über Σ. (ii) ε ist ein regulärer Ausdruck über Σ. (iii) Für jedes a Σ ist a ein regulärer
MehrSchwach kontextsensitive Grammatikformalismen
chwach kontextsensitive Grammatikformalismen! Vorlesung Grammatikformalismen Alexander Koller! 2. Juni 2015 Grammatikformalismen Parsingkomplexität O(n) O(n 3 ) polynomiell exponentiell PPACE-vollst. unentscheidbar
MehrBerechenbarkeitstheorie 17. Vorlesung
Berechenbarkeitstheorie Institut für Mathematische Logik und Grundlagenforschung WWU Münster WS 13/14 Alle Folien unter Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported Lizenz. Satz 30 I CFL = {
MehrFORMALE SYSTEME. Sprachen beschreiben. Wiederholung. Wie kann man Sprachen beschreiben? 2. Vorlesung: Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie
Wiederholung FORMALE SYSTEME 2. Vorlesung: Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Markus Krötzsch Formale Sprachen sind in Praxis und Theorie sehr wichtig Ein Alphabet ist eine nichtleere, endliche Menge
MehrÜbungen zur Vorlesung Einführung in die Theoretische Informatik, Blatt 12 LÖSUNGEN
Universität Heidelberg / Institut für Informatik 7. Juli 24 Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies Nadine Losert Übungen zur Vorlesung Einführung in die Theoretische Informatik, Blatt 2 LÖSUNGEN Aufgabe Verwenden
MehrRekursiv aufzählbare Sprachen
Kapitel 4 Rekursiv aufzählbare Sprachen 4.1 Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Durch Zulassung komplexer Ableitungsregeln können mit Grammatiken größere Klassen als die kontextfreien Sprachen beschrieben
MehrLösungsvorschläge Blatt 4
Theoretische Informatik Departement Informatik Prof. Dr. Juraj Hromkovič http://www.ita.inf.ethz.ch/theoinf16 Lösungsvorschläge Blatt 4 Zürich, 21. Oktober 2016 Lösung zu Aufgabe 10 (a) Wir zeigen mit
Mehr11.1 Kontextsensitive und allgemeine Grammatiken
Theorie der Informatik 7. April 2014 11. Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Theorie der Informatik 11. Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen 11.1 Kontextsensitive und allgemeine Grammatiken Malte Helmert
Mehr4. Grammatiken. 4.1. Grundlegende Definitionen. Wie lassen sich formale Sprachen beschreiben?
4. Grammatiken 4.1. Grundlegende Definitionen Wie lassen sich formale prachen beschreiben? im endlichen Fall: Aufzählung der Wörter der prache im unendlichen Fall: akzeptierende Automaten, Mengenausdrücke:
MehrEin Satz der deutschen Sprache besitzt ein Subjekt, ein Prädikat und ein Objekt (SPO).
1 Grammatiken Autor: Tilman Blumenbach Letzte Änderung: 28. Juni 2012 18:15 Ziel von Grammatiken Wollen die Struktur von Sprachen modellieren und charakterisieren. Beispiel Ein Satz der deutschen Sprache
Mehr2.11 Kontextfreie Grammatiken und Parsebäume
2.11 Kontextfreie Grammatiken und Parsebäume Beispiel: Beispiel (Teil 3): Beweis für L(G) L: Alle Strings aus L der Länge 0 und 2 sind auch in L(G). Als Induktionsannahme gehen wir davon aus, dass alle
MehrMathematische Grundlagen der Informatik 2
Zusammenfassung Math2I Mathematische Grundlagen der Informatik 2 Emanuel Duss emanuel.duss@gmail.com 12. April 2013 1 Zusammenfassung Math2I Mathematische Grundlagen der Informatik 2 Dieses Dokument basiert
MehrAutomaten, Spiele und Logik
Automaten, Spiele und Logik Woche 13 11. Juli 2014 Inhalt der heutigen Vorlesung Linearzeit Temporale Logik (LTL) Alternierende Büchi Automaten Nicht-Determinisierung (Miyano-Ayashi) Beschriftete Transitionssysteme
MehrSprachen/Grammatiken eine Wiederholung
Sprachen/Grammatiken eine Wiederholung Was sind reguläre Sprachen? Eigenschaften regulärer Sprachen Sprachen Begriffe Symbol: unzerlegbare Grundzeichen Alphabet: endliche Menge von Symbolen Zeichenreihe:
MehrLösungen zu Übungsblatt 4
Lösungen zu Übungsblatt 4 Aufgabe 1 Sei Σ = {0,1,2} und u = 0102. Gesucht ist der minimale DEA der die Sprache L u = {w Σ u ist Teilwort von w} erkennt. Laut Vorlesung ist das Rückgrat des DEA von der
Mehr1 Σ endliches Terminalalphabet, 2 V endliche Menge von Variablen (mit V Σ = ), 3 P (V (Σ ΣV )) {(S, ε)} endliche Menge von Regeln,
Theorie der Informatik 8. März 25 8. Reguläre Sprachen I Theorie der Informatik 8. Reguläre Sprachen I 8. Reguläre Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger 8.2 DFAs Universität Basel 8. März 25 8.3 NFAs
MehrTheoretische Informatik 2
Theoretische Informatik 2 Johannes Köbler Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin WS 2009/10 Die Chomsky-Hierarchie Definition Sei G = (V, Σ, P, S) eine Grammatik. 1 G heißt vom Typ 3 oder
MehrAutomaten, Spiele, und Logik
Automaten, Spiele, und Logik Woche 2 25. April 2014 Inhalt der heutigen Vorlesung 1. Reguläre Ausdrücke 2. der Satz von Kleene 3. Brzozowski Methode 4. grep und perl Reguläre Ausdrücke Rekursive Definition,
MehrKapitel 2: Formale Sprachen Kontextfreie Sprachen. reguläre Grammatiken/Sprachen. kontextfreie Grammatiken/Sprachen
reguläre Grammatiken/prachen Beschreibung für Bezeichner in Programmiersprachen Beschreibung für wild cards in kriptsprachen (/* reguläre Ausdrücke */)?; [a-z]; * kontextfreie Grammatiken/prachen Beschreibung
MehrZusammenfassung. 1 Wir betrachten die folgende Signatur F = {+,,, 0, 1} sodass. 3 Wir betrachten die Gleichungen E. 4 Dann gilt E 1 + x 1
Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Einführung in die Theoretische Informatik Woche 7 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 1 Wir betrachten die folgende Signatur
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 8: kontextfreie Grammatiken Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2009/2010 1/37 Überblick Kontextfreie Grammatiken
MehrBerechenbarkeit und Komplexität
Berechenbarkeit und Komplexität Prof. Dr. Dietrich Kuske FG Theoretische Informatik, TU Ilmenau Wintersemester 2010/11 1 Organisatorisches zur Vorlesung Informationen, aktuelle Version der Folien und Übungsblätter
MehrTheoretische Grundlagen des Software Engineering
Theoretische Grundlagen des Software Engineering 4: Nichtdeterminismus Teil 2 schulz@eprover.org Software Systems Engineering Nichtdeterministische endliche Automaten Definition: Ein nichtdeterministischer
MehrProgrammiersprachen und Übersetzer
Programmiersprachen und Übersetzer Sommersemester 2010 19. April 2010 Theoretische Grundlagen Problem Wie kann man eine unendliche Menge von (syntaktisch) korrekten Programmen definieren? Lösung Wie auch
MehrTheoretische Informatik 2 (WS 2006/07) Automatentheorie und Formale Sprachen / Kontextfreie Sprachen und Kellerautomaten
Inhalt 1 Einführung 2 Automatentheorie und Formale Sprachen Grammatiken Reguläre Sprachen und endliche Automaten Kontextfreie Sprachen und Kellerautomaten Kontextsensitive und Typ 0-Sprachen 3 Berechenbarkeitstheorie
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik 3. Endliche Automaten (V) 21.05.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Determinierte endliche Automaten (DEAs) Indeterminierte
MehrKapitel 2: Formale Sprachen Gliederung. 0. Grundbegriffe 1. Endliche Automaten 2. Formale Sprachen 3. Berechnungstheorie 4. Komplexitätstheorie
Gliederung 0. Grundbegriffe 1. Endliche Automaten 2. Formale Sprachen 3. Berechnungstheorie 4. Komplexitätstheorie 2.1. 2.2. Reguläre Sprachen 2.3. Kontextfreie Sprachen 2/1, Folie 1 2015 Prof. Steffen
MehrGrundbegriffe der Informatik Tutorium 7
Grundbegriffe der Informatik Tutorium 7 Tutorium Nr. 16 Philipp Oppermann 16. Dezember 2014 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum
MehrTheoretische Informatik I
Theoretische Informatik I Einheit 2.4 Grammatiken 1. Arbeitsweise 2. Klassifizierung 3. Beziehung zu Automaten Beschreibungsformen für Sprachen Mathematische Mengennotation Prädikate beschreiben Eigenschaften
MehrProgrammierkurs Python II
Programmierkurs Python II Michaela Regneri & tefan Thater FR 4.7 Allgemeine Linguistik (Computerlinguistik) Universität des aarlandes ommersemester 2010 (Charniak, 1997) the dog biscuits N V N V the dog
MehrTheoretische Informatik für Wirtschaftsinformatik und Lehramt
Theoretische Informatik für Wirtschaftsinformatik und Lehramt Reguläre Sprachen Priv.-Doz. Dr. Stefan Milius stefan.milius@fau.de Theoretische Informatik Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg
Mehr6 Kontextfreie Grammatiken
6 Kontextfreie Grammatiken Reguläre Grammatiken und damit auch reguläre Ausdrücke bzw. endliche Automaten haben bezüglich ihres Sprachumfangs Grenzen. Diese Grenzen resultieren aus den inschränkungen,
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 10.01.2012 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 12.01.2012 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der Informatik
Mehr2. Schriftliche Leistungskontrolle (EK)
TheGI 1: Grundlagen und algebraische Strukturen Prof. Dr.-Ing. Uwe Nestmann - 10. Februar 2009 2. Schriftliche Leistungskontrolle (EK) Punktzahl In dieser schriftlichen Leistungskontrolle sind 100 Punkte
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Tutorium 4 26..25 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu
MehrEndliche Sprachen. Folgerung: Alle endlichen Sprachen sind regulär. Beweis: Sei L={w 1,,w n } Σ*. Dann ist w 1 +L+w n ein regulärer Ausdruck für
Endliche Sprachen Folgerung: Alle endlichen Sprachen sind regulär. Beweis: Sei L={w 1,,w n } Σ*. Dann ist w 1 +L+w n ein regulärer Ausdruck für L. 447 Zusammenfassung Beschreibungsformen für reguläre Sprachen:
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Tutorium 27 29..24 FAKULTÄT FÜR INFORMATIK KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Definition
MehrTheoretische Informatik I
Theoretische nformatik inheit 3 Kontextfreie Sprachen 1. Kontextfreie Grammatiken 2. Pushdown Automaten 3. igenschaften kontextfreier Sprachen Theoretische nformatik inheit 3.1 Kontextfreie Grammatiken
MehrMotivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 5 Kontextfreie Sprachen. Informales Beispiel. Informales Beispiel.
Kontextfreie Kontextfreie Motivation Formale rundlagen der Informatik 1 Kapitel 5 Kontextfreie Sprachen Bisher hatten wir Automaten, die Wörter akzeptieren Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de
Mehr7. Formale Sprachen und Grammatiken
7. Formale Sprachen und Grammatiken Computer verwenden zur Verarbeitung von Daten und Informationen künstliche, formale Sprachen (Maschinenspr., Assemblerspachen, Programmierspr., Datenbankspr., Wissensrepräsentationsspr.,...)
MehrTheGI 1: Grundlagen und algebraische Strukturen Prof. Dr.-Ing. Uwe Nestmann - 09. Februar 2010. 2. Schriftliche Leistungskontrolle (EK)
TheGI 1: Grundlagen und algebraische Strukturen Prof. Dr.-Ing. Uwe Nestmann - 09. Februar 2010 2. Schriftliche Leistungskontrolle (EK) Punktzahl In dieser schriftlichen Leistungskontrolle sind 100 Punkte
MehrEigenschaften regulärer Sprachen
= {} {0} {0} {} = {0} {} Für L(A) benötigen wir gemäß Gleichung.3 die Mengen R 3 und R3 3. R 3 = R R3 (R33) R3 = {0} {00} {0} {} ({ε} {0, } {0} {}) {0, } {00} = {0} {00} {0} {} ({0, } {0} {}) {0, } {00}
Mehr2.4 Kontextsensitive und Typ 0-Sprachen
Definition 2.43 Eine Typ 1 Grammatik ist in Kuroda Normalform, falls alle Regeln eine der folgenden 4 Formen haben: Dabei: A, B, C, D V und a Σ. Satz 2.44 A a, A B, A BC, AB CD. Für jede Typ 1 Grammatik
MehrFormale Sprachen. Formale Grundlagen (WIN) 2008S, F. Binder. Vorlesung im 2008S
Formale Grundlagen (WIN) Franz Binder Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2008S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Inhalt Das Alphabet Σ sei eine endliche
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 12.01.2012 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 12.01.2012 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der Informatik
MehrInformatik IV Theoretische Informatik: Formale Sprachen und Automaten, Berechenbarkeit und NP-Vollständigkeit
Informatik IV Theoretische Informatik: Formale Sprachen und Automaten, Berechenbarkeit und NP-Vollständigkeit Sommersemester 2011 Dozent: Prof. Dr. J. Rothe, Prof. Dr. M. Leuschel J. Rothe (HHU Düsseldorf)
MehrAutomaten und Formale Sprachen
Automaten und Formale Sprachen Prof. Dr. Dietrich Kuske FG Theoretische Informatik, TU Ilmenau Wintersemester 2011/12 WS 11/12 1 Organisatorisches zur Vorlesung Informationen, aktuelle Version der Folien
MehrSatz 90 Sei A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) ein DFA. Der Zeitaufwand des obigen Minimalisierungsalgorithmus ist O( Q 2 Σ ).
Satz 90 Sei A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) ein DFA. Der Zeitaufwand des obigen Minimalisierungsalgorithmus ist O( Q 2 Σ ). Beweis: Für jedes a Σ muss jede Position in der Tabelle nur konstant oft besucht werden.
Mehrt r Lineare Codierung von Binärbbäumen (Wörter über dem Alphabet {, }) Beispiel code( ) = code(, t l, t r ) = code(t l ) code(t r )
Definition B : Menge der binären Bäume, rekursiv definiert durch die Regeln: ist ein binärer Baum sind t l, t r binäre Bäume, so ist auch t =, t l, t r ein binärer Baum nur das, was durch die beiden vorigen
MehrFormale Sprachen, reguläre und kontextfreie Grammatiken
Formale Sprachen, reguläre und kontextfreie Grammatiken Alphabet A: endliche Menge von Zeichen Wort über A: endliche Folge von Zeichen aus A A : volle Sprache über A: Menge der A-Worte formale Sprache
MehrTeil V. Weiterführende Themen, Teil 1: Kontextsensitive Sprachen und die Chomsky-Hierarchie
Teil V Weiterführende Themen, Teil 1: Kontextsensitive Sprachen und die Chomsky-Hierarchie Zwei Sorten von Grammatiken Kontextsensitive Grammatik (CSG) (Σ, V, P, S), Regeln der Form αaβ αγβ α, β (Σ V ),
Mehr8. Turingmaschinen und kontextsensitive Sprachen
8. Turingmaschinen und kontextsensitive Sprachen Turingmaschinen (TM) von A. Turing vorgeschlagen, um den Begriff der Berechenbarkeit formal zu präzisieren. Intuitiv: statt des Stacks bei Kellerautomaten
MehrAufgabentypen die in der Klausur vorkommen
Aufgabentypen die in der Klausur vorkommen können 1. Nennen Sie fünf wichtige Anwendungsgebiete der Computerlinguistik. 2. Für welches der drei Anwendungsgebiete Maschinelle Übersetzung, Rechtschreibkorrektur
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Ulrich Furbach. Sommersemester 2014
Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Ulrich Furbach Institut für Informatik Sommersemester 2014 Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik:
MehrMathematische Grundlagen der Computerlinguistik Bäume
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Dozentin: Wiebke Petersen 6. Foliensatz (basierend auf Folien von Gerhard Jäger) Wiebke Petersen math. Grundlagen 1 Baumdiagramme Ein Baumdiagramm eines
MehrGrammatiken. Einführung
Einführung Beispiel: Die arithmetischen Ausdrücke über der Variablen a und den Operationen + und können wie folgt definiert werden: a, a + a und a a sind arithmetische Ausdrücke Wenn A und B arithmetische
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 15: Reguläre Ausdrücke und rechtslineare Grammatiken Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/25 Was kann man mit endlichen
Mehr4.2 Die Chomsky Normalform
4.2 Die Chomsky Normalform Für algorithmische Problemstellungen (z.b. das Wortproblem) aber auch für den Nachweis von Eigenschaften kontextfreier Sprachen ist es angenehm, von CFG in Normalformen auszugehen.
MehrAutomatentheorie und formale Sprachen
Automatentheorie und formale Sprachen VL 4 Reguläre Ausdrücke und reguläre Sprachen Kathrin Hoffmann 10. April 2012 Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen 10.4. 2012 114 Aufgabe 13:
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Lösungen Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Kapitel I: Mengen Aufgabe
Mehräußere Klammern können entfallen, ebenso solche, die wegen Assoziativität von + und Konkatenation nicht notwendig sind:
3. Reguläre Sprachen Bisher wurden Automaten behandelt und Äquivalenzen zwischen den verschiedenen Automaten gezeigt. DEAs erkennen formale Sprachen. Gibt es formale Sprachen, die nicht erkannt werden?
Mehr1 Einführung. 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen. 3 Berechnungsmodelle. 4 Unentscheidbarkeit. 5 Unentscheidbare Probleme. 6 Komplexitätstheorie
1 Einführung 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen 3 Berechnungsmodelle 4 Unentscheidbarkeit 5 Unentscheidbare Probleme 6 Komplexitätstheorie 15 Ziele vgl. AFS: Berechnungsmodelle für Typ-0- und Typ-1-Sprachen (Nicht-)Abschlußeigenschaften
MehrTheoretische Informatik Testvorbereitung Moritz Resl
Theoretische Informatik Testvorbereitung Moritz Resl Bestandteile einer Programmiersprache: a) Syntax (Form): durch kontextfreie Grammatik beschrieben b) Semantik (Bedeutung) 1.) Kontextfreie Sprachen
MehrAnwendungen des Fréchet-Abstandes Das Constrained Free Space Diagram zur Analyse von Körperbewegungen
Anwendungen des Fréchet-Abstandes Das Constrained Free Space Diagram zur Analyse von Körperbewegungen David Knötel Freie Universität Berlin, Institut für Informatik Seminar über Algorithmen Leitfaden Wiederholung
MehrSyntax (= Satzgefüge), vgl. auch Grammatik
1 Natürliche Sprachen Natürliche Sprachen bezeichnen wie das Wort "Sprache" ausdrückt zunächst das Gesprochene. Das Schweizerdeutsch etwa ist eine typische natürliche Sprache. Mit der Erfindung der Aufzeichnung
MehrAusgewählte unentscheidbare Sprachen
Proseminar Theoretische Informatik 15.12.15 Ausgewählte unentscheidbare Sprachen Marian Sigler, Jakob Köhler Wolfgang Mulzer 1 Entscheidbarkeit und Semi-Entscheidbarkeit Definition 1: L ist entscheidbar
Mehra n b n c n ist kontextsensitiv kontextfreie Sprachen (Typ 2) Abschnitt 3.3 kontextfreie Sprachen: Abschlusseigenschaften Chomsky NF und binäre Bäume
Kap 3: Grammatiken Chomsky-Hierarchie 32 Kap 3: Grammatiken Kontextfreie 33 a n b n c n ist kontextsensiti Beispiel 3111 modifizieren: Σ = {a, b, c G = (Σ, V, P, X ) V = {X, Y, Z P : X ε X axyz ZY YZ ay
MehrSatz von Kleene. (Stephen C. Kleene, ) Wiebke Petersen Einführung CL 2
Satz von Kleene (Stephen C. Kleene, 1909-1994) Jede Sprache, die von einem deterministischen endlichen Automaten akzeptiert wird ist regulär und jede reguläre Sprache wird von einem deterministischen endlichen
MehrWortproblem für kontextfreie Grammatiken
Wortproblem für kontextfreie Grammatiken G kontextfreie Grammatik. w Σ w L(G)? Wortproblem ist primitiv rekursiv entscheidbar. (schlechte obere Schranke!) Kellerautomat der L(G) akzeptiert Ist dieser effizient?
MehrFormale Sprachen und deren Grammatiken. Zusammenhang mit der Automatentheorie.
Formale Sprachen Formale Sprachen und deren Grammatiken. Zusammenhang mit der Automatentheorie. Inhaltsübersicht und Literatur Formale Sprachen: Definition und Darstellungen Grammatiken für formale Sprachen
MehrEinführung in die Computerlinguistik
Einführung in die Computerlinguistik Syntax II WS 2008/2009 Manfred Pinkal Morphologie und Syntax Gegenstand der Morphologie ist die Struktur des Wortes: der Aufbau von Wörtern aus Morphemen, den kleinsten
MehrVorlesung 4 BETWEENNESS CENTRALITY
Vorlesung 4 BETWEENNESS CENTRALITY 101 Aufgabe! Szenario: Sie arbeiten bei einem sozialen Online-Netzwerk. Aus der Netzwerk-Struktur Ihrer Benutzer sollen Sie wichtige Eigenschaften extrahieren. [http://www.fahrschule-vatterodt.de/
MehrZusammenfassung. Satz. 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke (in den Variablen x 1,..., x n ) 2 Seien f : B n B, g : B n B ihre Booleschen Funktionen
Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Einführung in die Theoretische Informatik Woche 6 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Satz 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke
MehrMusterlösung zur Nachklausur Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2013/14
Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Jörn Müller-Quade Musterlösung zur Nachklausur Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 203/4 Vorname Nachname Matrikelnummer Hinweise Für die
MehrGrammatiken und die Chomsky-Hierarchie
Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Def.: Eine Grammatik G=(Σ,V,S,R) besteht aus endlichem Alphabet Σ endlicher Variablenmenge V mit V Σ= Startsymbol SєV endlicher Menge R с (V Σ) + x(v Σ)* von Ableitungsregeln
MehrGrammatiken und ANTLR
Grammatiken und ANTLR Zusatzfolien zu Algo Blatt 6 Author: Henry Schaefer http://www.majeeks.de/folien_blatt6.pdf Grammatik Definition: syntaktische Beschreibung einer Sprache (H.S.) Definiton Grammatik
Mehrliefern eine nicht maschinenbasierte Charakterisierung der regulären
Reguläre Ausdrücke 1 Ziel: L=L M für NFA M L=L(r) für einen regulären Ausdruck r Reguläre Ausdrücke über einem Alphabet Σ Slide 1 liefern eine nicht maschinenbasierte Charakterisierung der regulären Sprachen
MehrProgrammieren I. Formale Sprachen. www.kit.edu. Institut für Angewandte Informatik
Programmieren I Formale Sprachen KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Großforschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Formale Sprachen: Allgemeines Sprachen werden
MehrEINFÜHRUNG IN DIE THEORETISCHE INFORMATIK
EINFÜHRUNG IN DIE THEORETISCHE INFORMATIK Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies Sommersemester 2012 17. DIE KONTEXTFREIEN SPRACHEN II: ABSCHLUSSEIGENSCHAFTEN, MASCHINENCHARAKTERISIERUNG, KOMPLEXITÄT Theoretische
MehrVorlesung Theoretische Informatik
Vorlesung Theoretische Informatik Automaten und Formale Sprachen Hochschule Reutlingen Fakultät für Informatik Masterstudiengang Wirtschaftsinformatik überarbeitet von F. Laux (Stand: 09.06.2010) Sommersemester
MehrGrundlagen der Künstlichen Intelligenz
Grundlagen der Künstlichen Intelligenz 27. Aussagenlogik: Logisches Schliessen und Resolution Malte Helmert Universität Basel 28. April 2014 Aussagenlogik: Überblick Kapitelüberblick Aussagenlogik: 26.
Mehrist ein regulärer Ausdruck.
Dr. Sebastian Bab WiSe 12/13 Theoretische Grlagen der Informatik für TI Termin: VL 11 vom 22.11.2012 Reguläre Ausdrücke Reguläre Ausdrücke sind eine lesbarere Notation für Sprachen Denition 1 (Regulärer
MehrTheoretische Informatik 2
Theoretische Informatik 2 Johannes Köbler Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin WS 2009/10 Kontextfreie Sprachen Bemerkung Wie wir gesehen haben, ist folgende Sprache nicht regulär: L
MehrTheoretische Informatik Mitschrift
6. Kontextfreie Sprachen Theoretische Informatik Mitschrift Typ-2-Grammatiken: Regeln der Form A mit A N und N * Beispiel: Grammatik für arithmetische Ausdrücke G= {E,T,F },{,,,,a}, P, E, P : E ET T T
MehrEinführung in die Informatik Grammars & Parsers
Einführung in die Informatik Grammars & Parsers Grammatiken, Parsen von Texten Wolfram Burgard Cyrill Stachniss 12.1 Einleitung Wir haben in den vorangehenden Kapiteln meistens vollständige Java- Programme
Mehr7 Endliche Automaten. Reimund Albers Papierfalten Kapitel 7 Endliche Automaten 103
Reimund Albers Papierfalten Kapitel 7 Endliche Automaten 103 7 Endliche Automaten Ein erstes Beispiel Ganz im Sinn der vorangegangenen Kapitel machen wir wieder Anleihen in einem wohl etablierten Gebiet.
MehrZahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} Ganze Zahlen : Aus
MehrFormale Sprachen. Spezialgebiet für Komplexe Systeme. Yimin Ge. 5ahdvn. 1 Grundlagen 1. 2 Formale Grammatiken 4. 3 Endliche Automaten 5.
Formale Sprachen Spezialgebiet für Komplexe Systeme Yimin Ge 5ahdvn Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 2 Formale Grammatien 4 Endliche Automaten 5 4 Reguläre Sprachen 9 5 Anwendungen bei Abzählproblemen
MehrCompiler, Übersetzer. Allgemeine Erklärung / Definition
Compiler, Übersetzer Allgemeine Erklärung / Definition Ein Übersetzer ist ein Programm, das ein S 1 -Wort den Quelltext in ein S 2 -Wort umwandelt den Zieltext wobei die Semantik erhalten bleibt. Frage:
MehrFunktionale Programmierung mit Haskell
Funktionale Programmierung mit Haskell Prof. Dr. Hans J. Schneider Lehrstuhl für Programmiersprachen und Programmiermethodik Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg Sommersemester 2011 I. Die
MehrTextkomprimierung. Stringologie. Codes. Textkomprimierung. Alle Komprimierung beruht auf Wiederholungen im Text. Textkomprimierung
Stringologie Peter Leupold Universität Leipzig Vorlesung SS 2014 Alle Komprimierung beruht auf Wiederholungen im Text Die Komprimierung muss rückgängig gemacht werden können Je kleiner das Alphabet, desto
Mehr1. Formale Sprachen 1.2 Grammatiken formaler Sprachen
1. Formale Sprachen 1.2 Grammatiken formaler Sprachen Die Regeln zur Bildung korrekter Wörter einer Sprache kann man in einer natürlichen Sprache formulieren. Da dies jedoch wieder Mehrdeutigkeiten mit
MehrGrundlagen der Informatik II. Teil I: Formale Modelle der Informatik
Grundlagen der Informatik II Teil I: Formale Modelle der Informatik 1 Einführung GdInfoII 1-2 Ziele/Fragestellungen der Theoretischen Informatik 1. Einführung abstrakter Modelle für informationsverarbeitende
MehrSprachen und Automaten. Tino Hempel
Sprachen und Automaten 11 Tino Hempel Bisherige Automaten Automat mit Ausgabe/Mealy-Automat Akzeptor, Sprache eines Akzeptors Grenze: L = {a n b n } Kellerautomat erkennt L = {a n b n } Grenze:? T. Hempel
MehrLösung zur Klausur. Grundlagen der Theoretischen Informatik. 1. Zeigen Sie, dass die folgende Sprache regulär ist: w {a, b} w a w b 0 (mod 3) }.
Lösung zur Klusur Grundlgen der Theoretischen Informtik 1. Zeigen Sie, dss die folgende Sprche regulär ist: { w {, } w w 0 (mod 3) }. Lösung: Wir nennen die Sprche L. Eine Sprche ist genu dnn regulär,
MehrREG versus CF. Theorem REG ist echt in CF enthalten.
REG versus CF Theorem REG ist echt in CF enthalten. Beweis: Wir wissen: L = {a m b m m 1} ist nicht regulär. Andererseits ist L kontextfrei, wie die einfache kontextfreie Grammatik G = ({a, b}, {S}, S,
Mehr