Berechenbarkeitstheorie 17. Vorlesung
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- Karola Friedrich
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1 Berechenbarkeitstheorie Institut für Mathematische Logik und Grundlagenforschung WWU Münster WS 13/14 Alle Folien unter Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported Lizenz.
2 Satz 30 I CFL = { G 1, G 2 G 1, G 2 kfg und L(G 1 ) L(G 2 ) } E Beweis
3 Satz 30 I CFL = { G 1, G 2 G 1, G 2 kfg und L(G 1 ) L(G 2 ) } E Beweis Wir zeigen: PKP m I CFL S = ((x i, y i )) i n G 1, G 2 f
4 Satz 30 I CFL = { G 1, G 2 G 1, G 2 kfg und L(G 1 ) L(G 2 ) } E Beweis Wir zeigen: PKP m I CFL S = ((x i, y i )) i n G 1, G 2 f G 1 = ({S}, Σ, R 1, S}, G 2 = ({S}, Σ, R 2, S}
5 Satz 30 I CFL = { G 1, G 2 G 1, G 2 kfg und L(G 1 ) L(G 2 ) } E Beweis Wir zeigen: PKP m I CFL S = ((x i, y i )) i n G 1, G 2 f G 1 = ({S}, Σ, R 1, S}, G 2 = ({S}, Σ, R 2, S} Σ = {t 1, t 2,..., t n, a, b}
6 Satz 30 I CFL = { G 1, G 2 G 1, G 2 kfg und L(G 1 ) L(G 2 ) } E Beweis Wir zeigen: PKP m I CFL S = ((x i, y i )) i n G 1, G 2 f G 1 = ({S}, Σ, R 1, S}, G 2 = ({S}, Σ, R 2, S} Σ = {t 1, t 2,..., t n, a, b} R 1 : S x 1 St 1 x 2 St 2 x n St n x 1 t 1 x 2 t 2 x n t n
7 Satz 30 I CFL = { G 1, G 2 G 1, G 2 kfg und L(G 1 ) L(G 2 ) } E Beweis Wir zeigen: PKP m I CFL S = ((x i, y i )) i n G 1, G 2 f G 1 = ({S}, Σ, R 1, S}, G 2 = ({S}, Σ, R 2, S} Σ = {t 1, t 2,..., t n, a, b} R 1 : S x 1 St 1 x 2 St 2 x n St n x 1 t 1 x 2 t 2 x n t n R 2 : S y 1 St 1 y 2 St 2 y n St n y 1 t 1 y 2 t 2 y n t n
8 Satz 30 I CFL = { G 1, G 2 G 1, G 2 kfg und L(G 1 ) L(G 2 ) } E Beweis Wir zeigen: PKP m I CFL S = ((x i, y i )) i n G 1, G 2 f G 1 = ({S}, Σ, R 1, S}, G 2 = ({S}, Σ, R 2, S} Σ = {t 1, t 2,..., t n, a, b} R 1 : S x 1 St 1 x 2 St 2 x n St n x 1 t 1 x 2 t 2 x n t n R 2 : S y 1 St 1 y 2 St 2 y n St n y 1 t 1 y 2 t 2 y n t n L(G 1 ) = {uv u = x i1 x i2 x ik und v = t ik t i2 t i1 }
9 Satz 30 I CFL = { G 1, G 2 G 1, G 2 kfg und L(G 1 ) L(G 2 ) } E Beweis Wir zeigen: PKP m I CFL S = ((x i, y i )) i n G 1, G 2 f G 1 = ({S}, Σ, R 1, S}, G 2 = ({S}, Σ, R 2, S} Σ = {t 1, t 2,..., t n, a, b} R 1 : S x 1 St 1 x 2 St 2 x n St n x 1 t 1 x 2 t 2 x n t n R 2 : S y 1 St 1 y 2 St 2 y n St n y 1 t 1 y 2 t 2 y n t n L(G 1 ) = {uv u = x i1 x i2 x ik und v = t ik t i2 t i1 } L(G 2 ) = {uv u = y i1 y i2 y ik und v = t ik t i2 t i1 }
10 Satz 30 I CFL = { G 1, G 2 G 1, G 2 kfg und L(G 1 ) L(G 2 ) } E Beweis Wir zeigen: PKP m I CFL S = ((x i, y i )) i n G 1, G 2 f G 1 = ({S}, Σ, R 1, S}, G 2 = ({S}, Σ, R 2, S} Σ = {t 1, t 2,..., t n, a, b} R 1 : S x 1 St 1 x 2 St 2 x n St n x 1 t 1 x 2 t 2 x n t n R 2 : S y 1 St 1 y 2 St 2 y n St n y 1 t 1 y 2 t 2 y n t n L(G 1 ) = {uv u = x i1 x i2 x ik und v = t ik t i2 t i1 } L(G 2 ) = {uv u = y i1 y i2 y ik und v = t ik t i2 t i1 } L(G 1 ) L(G 2 ) = {uv u = x i1 x ik & u = y i1 y ik & t ik t i1 }
11 Satz 30 I CFL = { G 1, G 2 G 1, G 2 kfg und L(G 1 ) L(G 2 ) } E Beweis Wir zeigen: PKP m I CFL S = ((x i, y i )) i n G 1, G 2 f G 1 = ({S}, Σ, R 1, S}, G 2 = ({S}, Σ, R 2, S} Σ = {t 1, t 2,..., t n, a, b} R 1 : S x 1 St 1 x 2 St 2 x n St n x 1 t 1 x 2 t 2 x n t n R 2 : S y 1 St 1 y 2 St 2 y n St n y 1 t 1 y 2 t 2 y n t n L(G 1 ) = {uv u = x i1 x i2 x ik und v = t ik t i2 t i1 } L(G 2 ) = {uv u = y i1 y i2 y ik und v = t ik t i2 t i1 } L(G 1 ) L(G 2 ) = {uv u = x i1 x ik & u = y i1 y ik & t ik t i1 } (i 1,..., i k ): x i1 x ik = y i1 y ik L(G 1 ) L(G 2 )
12 Satz 30 I CFL = { G 1, G 2 G 1, G 2 kfg und L(G 1 ) L(G 2 ) } E Beweis Wir zeigen: PKP m I CFL S = ((x i, y i )) i n G 1, G 2 f G 1 = ({S}, Σ, R 1, S}, G 2 = ({S}, Σ, R 2, S} Σ = {t 1, t 2,..., t n, a, b} R 1 : S x 1 St 1 x 2 St 2 x n St n x 1 t 1 x 2 t 2 x n t n R 2 : S y 1 St 1 y 2 St 2 y n St n y 1 t 1 y 2 t 2 y n t n L(G 1 ) = {uv u = x i1 x i2 x ik und v = t ik t i2 t i1 } L(G 2 ) = {uv u = y i1 y i2 y ik und v = t ik t i2 t i1 } L(G 1 ) L(G 2 ) = {uv u = x i1 x ik & u = y i1 y ik & t ik t i1 } (i 1,..., i k ): x i1 x ik = y i1 y ik L(G 1 ) L(G 2 ) S PKP f(s) I CFL
13 Das Rekursionstheorem
14 Das Rekursionstheorem Vorüberlegung: Gibt es eine TM S, welche bei jeder Eingabe S auf ihr Ausgabeband schreibt?
15 Das Rekursionstheorem Vorüberlegung: Gibt es eine TM S, welche bei jeder Eingabe S auf ihr Ausgabeband schreibt? Programme die ihren Programmcode ausgeben heißen auch quines
16 Das Rekursionstheorem Vorüberlegung: Gibt es eine TM S, welche bei jeder Eingabe S auf ihr Ausgabeband schreibt? Programme die ihren Programmcode ausgeben heißen auch quines Bsp. (Python) a="a=%c%s%c;print(a%%(34,a,34))";print(a%(34,a,34))
17 Das Rekursionstheorem Vorüberlegung: Gibt es eine TM S, welche bei jeder Eingabe S auf ihr Ausgabeband schreibt? Programme die ihren Programmcode ausgeben heißen auch quines Bsp. (Python) a="a=%c%s%c;print(a%%(34,a,34))";print(a%(34,a,34)) Quine-Turingmaschine S S benutzt die folgenden 2 berechenbaren Funkt. als Unterprogramme
18 Das Rekursionstheorem Vorüberlegung: Gibt es eine TM S, welche bei jeder Eingabe S auf ihr Ausgabeband schreibt? Programme die ihren Programmcode ausgeben heißen auch quines Bsp. (Python) a="a=%c%s%c;print(a%%(34,a,34))";print(a%(34,a,34)) Quine-Turingmaschine S S benutzt die folgenden 2 berechenbaren Funkt. als Unterprogramme (1) print(w) := M mit M(z) ersetzt Eingabe z durch w und bewegt Kopf auf Anfang von w (2) seq( M 1, M 2 ) := M mit M (z) führt zuerst M 1 (z) aus und danach M 2 mit dem, was gerade auf dem Band steht
19 Das Rekursionstheorem Vorüberlegung: Gibt es eine TM S, welche bei jeder Eingabe S auf ihr Ausgabeband schreibt? Programme die ihren Programmcode ausgeben heißen auch quines Bsp. (Python) a="a=%c%s%c;print(a%%(34,a,34))";print(a%(34,a,34)) Quine-Turingmaschine S S benutzt die folgenden 2 berechenbaren Funkt. als Unterprogramme (1) print(w) := M mit M(z) ersetzt Eingabe z durch w und bewegt Kopf auf Anfang von w (2) seq( M 1, M 2 ) := M mit M (z) führt zuerst M 1 (z) aus und danach M 2 mit dem, was gerade auf dem Band steht sowohl print als auch seq können leicht durch eine TM umgesetzt werden
20 S besteht aus zwei Teilen A,B (jeweils TM-Programme) Teil A
21 S besteht aus zwei Teilen A,B (jeweils TM-Programme) Teil A Teil A mach Folgendes: Ersetze Eingabe durch B und bewege Kopf auf Anfang
22 S besteht aus zwei Teilen A,B (jeweils TM-Programme) Teil A Teil A mach Folgendes: Ersetze Eingabe durch B und bewege Kopf auf Anfang A = print( B )
23 S besteht aus zwei Teilen A,B (jeweils TM-Programme) Teil A Teil A mach Folgendes: Ersetze Eingabe durch B und bewege Kopf auf Anfang A = print( B ) Um Teil A zu definieren, muss ich Teil B kennen (kein Problem, Teil B wird unabhängig von Teil A definiert werden)
24 S besteht aus zwei Teilen A,B (jeweils TM-Programme) Teil A Teil A mach Folgendes: Ersetze Eingabe durch B und bewege Kopf auf Anfang A = print( B ) Um Teil A zu definieren, muss ich Teil B kennen (kein Problem, Teil B wird unabhängig von Teil A definiert werden) Teil B Situation: B kennt B denn das steht auf dem Band
25 S besteht aus zwei Teilen A,B (jeweils TM-Programme) Teil A Teil A mach Folgendes: Ersetze Eingabe durch B und bewege Kopf auf Anfang A = print( B ) Um Teil A zu definieren, muss ich Teil B kennen (kein Problem, Teil B wird unabhängig von Teil A definiert werden) Teil B Situation: B kennt B denn das steht auf dem Band B kann aber auch A, berechnen, denn A = print( B )
26 S besteht aus zwei Teilen A,B (jeweils TM-Programme) Teil A Teil A mach Folgendes: Ersetze Eingabe durch B und bewege Kopf auf Anfang A = print( B ) Um Teil A zu definieren, muss ich Teil B kennen (kein Problem, Teil B wird unabhängig von Teil A definiert werden) Teil B Situation: B kennt B denn das steht auf dem Band B kann aber auch A, berechnen, denn A = print( B ) B 1. Sichere Eingabe B und berechne A = print( B ) 2. Berechne M = seq( A, B ) 3. Drucke M und lösche Rest
27 S besteht aus zwei Teilen A,B (jeweils TM-Programme) Teil A Teil A mach Folgendes: Ersetze Eingabe durch B und bewege Kopf auf Anfang A = print( B ) Um Teil A zu definieren, muss ich Teil B kennen (kein Problem, Teil B wird unabhängig von Teil A definiert werden) Teil B Situation: B kennt B denn das steht auf dem Band B kann aber auch A, berechnen, denn A = print( B ) B 1. Sichere Eingabe B und berechne A = print( B ) 2. Berechne M = seq( A, B ) 3. Drucke M und lösche Rest
28 S besteht aus zwei Teilen A,B (jeweils TM-Programme) Teil A Teil A mach Folgendes: Ersetze Eingabe durch B und bewege Kopf auf Anfang A = print( B ) Um Teil A zu definieren, muss ich Teil B kennen (kein Problem, Teil B wird unabhängig von Teil A definiert werden) Teil B Situation: B kennt B denn das steht auf dem Band B kann aber auch A, berechnen, denn A = print( B ) B 1. Sichere Eingabe B und berechne A = print( B ) 2. Berechne M = seq( A, B ) 3. Drucke M und lösche Rest S := seq( A, B )
29 Zusammenfassung
30 Zusammenfassung S arbeitet wie folgt Drucke B Berechne A Kombiniere A und B zu seq( A, B ) Drucke seq( A, B ) Teil A Teil B
31 Zusammenfassung S arbeitet wie folgt Drucke B Berechne A Kombiniere A und B zu seq( A, B ) Drucke seq( A, B ) = S Teil A Teil B S
32 Zusammenfassung S arbeitet wie folgt Drucke B Berechne A Kombiniere A und B zu seq( A, B ) Drucke seq( A, B ) = S Teil A Teil B Rekursionstheorem Sei T eine TM, welche t: Σ Σ Σ berechnet. Dann existiert eine durch die TM R beschriebene berechenbare Funktion r : Σ Σ, so dass für alle Eingaben w Σ gilt r(w) = t( R, w). S
33 Zusammenfassung S arbeitet wie folgt Drucke B Berechne A Kombiniere A und B zu seq( A, B ) Drucke seq( A, B ) = S Teil A Teil B Rekursionstheorem Sei T eine TM, welche t: Σ Σ Σ berechnet. Dann existiert eine durch die TM R beschriebene berechenbare Funktion r : Σ Σ, so dass für alle Eingaben w Σ gilt r(w) = t( R, w). Interpretation und Anwendung S
34 Zusammenfassung S arbeitet wie folgt Drucke B Berechne A Kombiniere A und B zu seq( A, B ) Drucke seq( A, B ) = S Teil A Teil B Rekursionstheorem Sei T eine TM, welche t: Σ Σ Σ berechnet. Dann existiert eine durch die TM R beschriebene berechenbare Funktion r : Σ Σ, so dass für alle Eingaben w Σ gilt r(w) = t( R, w). Interpretation und Anwendung wir können für eine TM T annhemen, dass T Teil der Eingabe war und für uns verfügbar ist S
35 Zusammenfassung S arbeitet wie folgt Drucke B Berechne A Kombiniere A und B zu seq( A, B ) Drucke seq( A, B ) = S Teil A Teil B Rekursionstheorem Sei T eine TM, welche t: Σ Σ Σ berechnet. Dann existiert eine durch die TM R beschriebene berechenbare Funktion r : Σ Σ, so dass für alle Eingaben w Σ gilt r(w) = t( R, w). Interpretation und Anwendung wir können für eine TM T annhemen, dass T Teil der Eingabe war und für uns verfügbar ist dann gibt es eine TM R, die genauso arbeitet, ohne dass R als Eingabe übergeben wurde S
36 Zusammenfassung S arbeitet wie folgt Drucke B Berechne A Kombiniere A und B zu seq( A, B ) Drucke seq( A, B ) = S Teil A Teil B Rekursionstheorem Sei T eine TM, welche t: Σ Σ Σ berechnet. Dann existiert eine durch die TM R beschriebene berechenbare Funktion r : Σ Σ, so dass für alle Eingaben w Σ gilt r(w) = t( R, w). Interpretation und Anwendung wir können für eine TM T annhemen, dass T Teil der Eingabe war und für uns verfügbar ist dann gibt es eine TM R, die genauso arbeitet, ohne dass R als Eingabe übergeben wurde wir können immer annehmen, dass eine TM über ein Unterprogramm getyourowncode verfügt S
37 Beweis des Rekursionstheorems
38 Beweis des Rekursionstheorems (1) print(w) TM-Programm, welches #w hinter die Eingabe druckt (2) seq( M 1, M 2, M 3 ) := M mit M (z) führt zuerst M 1 (z) aus und danach M 2 mit dem, was gerade auf dem Band steht, danach M 3
39 Beweis des Rekursionstheorems (1) print(w) TM-Programm, welches #w hinter die Eingabe druckt (2) seq( M 1, M 2, M 3 ) := M mit M (z) führt zuerst M 1 (z) aus und danach M 2 mit dem, was gerade auf dem Band steht, danach M 3 R enthält 3 Teile: A, B, T Teil T stimmt mit TM T überein
40 Beweis des Rekursionstheorems (1) print(w) TM-Programm, welches #w hinter die Eingabe druckt (2) seq( M 1, M 2, M 3 ) := M mit M (z) führt zuerst M 1 (z) aus und danach M 2 mit dem, was gerade auf dem Band steht, danach M 3 R enthält 3 Teile: A, B, T Teil T stimmt mit TM T überein R(y) 1. Drucke # B # T hinter Eingabe aufs Band 2. Sichere y, B und T 3. Berechne print(# B # T ) = A 4. Berechne seq( A, B, T ) = R 5. Drucke R, y aufs Band 6. führe T ( R, y) aus Teil A Teil B Teil T
41 Beweis des Rekursionstheorems (1) print(w) TM-Programm, welches #w hinter die Eingabe druckt (2) seq( M 1, M 2, M 3 ) := M mit M (z) führt zuerst M 1 (z) aus und danach M 2 mit dem, was gerade auf dem Band steht, danach M 3 R enthält 3 Teile: A, B, T Teil T stimmt mit TM T überein R(y) 1. Drucke # B # T hinter Eingabe aufs Band 2. Sichere y, B und T 3. Berechne print(# B # T ) = A 4. Berechne seq( A, B, T ) = R 5. Drucke R, y aufs Band 6. führe T ( R, y) aus R = seq(a, B, T ) R(y) arbeitet wie T ( R, y) Teil A Teil B Teil T
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