Übungsblatt Nr. 4. Lösungsvorschlag

Transkript

1 Institut für Kryptographie und Sicherheit Prof. Dr. Jörn Müller-Quade Dirk Achenbach Tobias Nilges Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Übungsblatt Nr. 4 svorschlag

2 Aufgabe 1: Ein neuer Held für Karlsruhe (K) (4 Punkte) Der ebenso geniale wie unberechenbare Wissenschaftler und Superbösewicht Doktor Meta ist unentschlossen. Ein neuer Held ist in Karlsruhe aufgetaucht. (Nicht der Held, den die Vorlesung braucht, aber der, den sie verdient hat.) Theorie-Man streift durch Karlsruhe und bekämpft das Verbrechen. Doktor Meta weiß nicht, wo Theorie-Man seine Basis hat. Das Rennmotorrad von Theorie-Man, eine Turing 3000, hat keine Höchstgeschwindigkeit. Doktor Meta möchte Theorie-Man stellen. Er weiß aber nicht, wie er ihn finden kann. Zur Vereinfachung des Problems überlegt er sich eine Abstraktion: Er modelliert den Ort von Theorie-Man als natürliche Zahl auf einem eindimensionalen Zahlenstrahl. Die Zeit diskretisiert er ebenfalls als natürliche Zahl. Dann kann er mit einer Funktion f : N 0 N 0 den Aufenthaltsort von Theorie-Man beschreiben. Er sucht nun ein System, mit dem er garantiert irgendwann zur richtigen Zeit am richtigen Ort ist. Gegeben sei eine Funktion f : t v t+s 0. Die Parameter v N und s 0 N 0 sind unbekannt, aber fest. Beschreiben Sie einen Algorithmus, der eine Folge (s i ) N N 0 ausgibt, so dass ein j N 0 mit s j = f(j) existiert. (Der Algorithmus muss nicht terminieren, er muss nur irgendwann ein korrektes Folgenglied ausgeben.) svorschlag Es gibt unendlich viele Parameterpaare (v, s 0 ). Wir können sie aber, wie Gödelnummern, aufzählen. Wir bedienen uns der gleichen Technik, mit der man auch Q aufzählt: Wir schreiben (v, s 0 ) in eine Tabelle: (1, 0) (1, 1) (1, 2)... (2, 0) (2, 1)... (3, 0).... Wir benutzen einen Zähler i und zählen (v, s 0 ) auf einer Spirale auf: (1, 0), (1, 1), (2, 0), (3, 0), (2, 1), (1, 2),... In jedem Schritt der Aufzählung inkrementieren wir i um 1. Weiterhin berechnen wir f(i) = v i + s 0 und geben f(i) aus. Der Algorithmus ist deshalb korrekt, weil die Aufzählung irgendwann das richtige Parameterpaar (v, s 0 ) erreicht. In diesem Iterationsschritt berechnet der Algorithmus f(i) korrekt und das geforderte Folgenglied ist gefunden. Korrekturhinweis: Für richtige Feststellungen, die aber nicht zum Ziel führen, werden Teilpunkte gegeben. ii

3 Aufgabe 2: Entscheidbarkeit (K) (4 Punkte) i.) Geben Sie für die folgenden Aussagen mit einer kurzen Begründung an, ob sie stimmen. (2P) a) Jede unentscheidbare Sprache enthält eine entscheidbare Teilmenge. b) Jede Teilmenge einer entscheidbaren Sprache ist entscheidbar. c) Für jede unentscheidbare Sprache L gibt es eine echte Obermenge, die ebenfalls unentscheidbar ist. d) Aus L 1 entscheidbar und L 1 L 2 entscheidbar folgt L 2 entscheidbar. ii.) Gegeben sei die Sprache L = { M M(x) = x 2 }. Zeigen Sie, dass L nicht entscheidbar ist. (2P) svorschlag i.) Hinweis: ohne Begründung können keine Punkte vergeben werden! a) Ja, jede unentscheidbare Sprache enthält eine endliche Teilmenge, und endliche Teilmengen sind immer entscheidbar. b) Nein, ein Gegenbeispiel ist das unentscheidbare allgemeine Halteproblem H {0, 1}, obwohl {0, 1} entscheidbar ist. c) Ja, denn für ein w / L ist {w} L unentscheidbar, wenn L unentscheidbar ist. Ein solches w existiert immer: L Σ, da Σ entscheidbar ist. (Es gibt sogar unendlich viele Elemente in L = Σ \ L, da L sonst entscheidbar wäre, was im Widerspruch zur Unentscheidbarkeit von L steht.) d) Nein, mit L 1 endlich kann L 1 L 2 immer eine endliche Menge sein, die entscheidbar ist. Daraus folgt aber keine Entscheidbarkeit für L 2. Beispiel: Gegeben L 1 = {w} und L 2 = H, dann ist L 1 L 2 endlich und entscheidbar, aber L 2 offensichtlich nicht. ii.) Es gilt: es existiert eine TM M, die f(x) = x 2 berechnet. Weiterhin gilt, dass nicht jede TM f(x) berechnet. Damit ist die Sprache L nicht-trivial. Mit dem Satz von Rice können wir nun folgern, dass L nicht entscheidbar ist. Alternative : Sei M eine TM, die L entscheidet, also gegeben die Beschreibung einer Turingmaschine M, entscheidet, ob diese für alle x den Wert x 2 ausgibt: M ( M ) = {, wenn x : M(x) = x 2,, wenn x : M(x) x 2. Wir konstruieren eine Turingmaschine D folgendermaßen: D holt sich seine eigene Beschreibung D (Rekursionstheorem) und führt M darauf aus. Akzeptiert M, lehnt D ab, und andersrum: { x 2, wenn M ( D ) =, D(x) =, wenn M ( D ) =. Das ist ein Widerspruch. iii

4 Aufgabe 3: Berechnungsmodelle (K) (4 Punkte) Der pfiffige Informatikstudent Marvin Faulsson hat eine Idee: Ein Kellerautomat muss doch nicht nur einen Keller haben. Warum nicht mehr? Er definiert seine Erfindung, den n-pda, als 6-Tupel (Q, Σ, Γ, δ, q 0, F ), wobei für die Zustandsübergangsfunktion gilt: δ : Q Σ {ε} (Γ {ε}) n 2 Q (Γ {ε})n. Es handelt sich also um einen Kellerautomaten mit n Kellern. In einem Zustandsübergang kann von allen Kellern gelesen (pull), und auf alle Keller geschrieben (push) werden. Marvin stellt fest: Die Klasse 0-PDA beschreibt genau die Klasse der endlichen Automaten und akzeptiert damit die regulären Sprachen (Chomsky 3). Die Klasse 1-PDA beschreibt genau die Klasse der Kellerautomaten und akzeptiert genau die kontextfreien Sprachen (Chomsky 2). Marvin möchte nun die Mächtigkeit allgemeiner n-pdas untersuchen. Er vermutet, dass er die Chomsky-Hierarchie unendlich erweitern kann. i.) Geben Sie eine Transformation an, die jeden n-pda in einen vereinfachten n-pda umwandelt. Ein vereinfachter n-pda liest in jedem Zustandsübergang entweder ein Zeichen von genau einem Keller (pop) oder schreibt ein Zeichen auf genau einen Keller (push). (1P) ii.) Beschreiben Sie, wie jeder vereinfachte 2-PDA von einer Turingmaschine (mit einem Band) simuliert werden kann. (1P) iii.) Zeigen Sie: Bereits 2-PDAs sind turingmächtig, das heißt: Jede Turingmaschine kann durch einen 2-PDA simuliert werden. (2P) svorschlag i.) Wir transformieren einen n-pda, der in einem Zustandsübergang von n Kellern je ein Zeichen liest und auf n Keller je ein Zeichen schreibt, in einen vereinfachten n-pda, der in jedem Zustandsübergang auf genau einen Keller ein Zeichen schreibt oder von genau einem Keller ein Zeichen liest. Dazu gehen wir in zwei Schritten vor: Zuerst konstruieren wir einen Zwischenautomaten, der in einem Schritt ein Zeichen von genau einem Keller liest und ein Zeichen auf genau einen Keller schreibt. Diesen Zwischenautomaten transformieren wir dann in den gesuchten vereinfachten n-pda. Betrachte einen konkreten Übergang δ(q i, σ, (γ 1,..., γ n )) = (q i+1, (γ 1,..., γ n)). (Wir betrachten hier den Fall, dass ein Übergang indeterministisch ist, δ also auf eine Menge abbildet, nicht. In solch einem Fall muss die beschriebene Konstruktion für jedes Element der Bildmenge durchgeführt werden.) Wir führen n 1 Dummyzustände ˆq 1,..., ˆq n 1 ein, die wir mit einer Sequenz neuer Übergänge durchlaufen: δ(q i, σ, (γ 1, ε,...)) = (ˆq 1, (γ 1, ε,...)) iv

5 δ(ˆq 1, ε, (ε, γ 2, ε,...)) = (ˆq 2, (ε, γ 2, ε,...))... δ(ˆq n 1, ε, (ε,..., γ n )) = (q i+1, (ε,..., γ n)) Für die Transformation des konstruierten Zwischenautomaten in den vereinfachten n-pda wenden wir die Konstruktion aus der Übung an, mit der wir bei einem PDA erreicht haben, dass er in einem Schritt entweder ein Zeichen vom Keller liest oder schreibt: Wir führen für jeden Übergang einen neuen Dummyzustand ein, in den wir erst lesend übergehen und dann schreibend verlassen. ii.) Für verwenden ein Separatorzeichen #, um eine Stelle auf dem Band zu markieren. An dieser Stelle denken wir uns die Trennung beider Keller. Nach links wächst nun der eine Keller, nach rechts der andere (Kopf jeweils am äußeren Ende ). Für eine push- Operation fahren wir den Kopf ganz nach außen auf die nächste freie Zelle des Bandes und legen das zu schreibende Element ab. Analog lesen und löschen wir ein Zeichen für eine pop-operation. Dank des Separatorzeichens findet der Kopf jederzeit den Boden jedes Kellers. iii.) Wir beschreiben, wie ein 2-PDA eine Turingmaschine simuliert. Dazu stellen wir uns vor, dass nicht der Kopf auf dem Band wandert, sondern das Band unter dem Kopf durchgezogen wird. Wir nennen die beiden Keller des 2-PDA den linken und rechten Keller. Dann beschreibt der linke Keller den Bandinhalt der Turingmaschine links vom Kopf und der rechte Keller den Bandinhalt rechts vom Kopf. Eine Rechtsbewegung des Kopfes (Linksbewegung des Bandes) erreichen wir durch ein pop rechts und ein push links, eine Linksbewegung analog. Damit ist die Funktionsweise des 2-PDA beschrieben. Aufgabe 4: Schon wieder Palindrome (K) (4 Punkte) Wir betrachten die Palindromsprache L P = {wxw w Σ, x Σ {ε}} über dem Alphabet Σ = {0, 1}. i.) Geben Sie eine Turingmaschine als Übergangsgraph an, die genau L P erkennt. (2P) ii.) Simulieren Sie die Ausführung Ihrer Turingmaschine auf den Eingaben a) und (1P) b) (1P) Geben Sie dabei für jeden Schritt der Turingmaschine den aktuellen Zustand, die Kopfposition und den Bandinhalt an. Benutzen Sie die Notation (q 0 ) für eine Maschine im Zustand q 0, deren Kopf vor dem Bandinhalt steht. v

6 svorschlag i.) M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q a, q r ) mit Γ = {0, 1, }, Q = {q 0, q 1, q 2, q 3, q 4, q 5, q a, q r } und folgendem Übergangsgraphen: 0 0, R 1 1, R, L q 1 q 2 ii.) q 0 0, R 1, R 0 0, R 1 1, R q a, L q 3 q 4 1 L 0, L Der ablehnende Zustand q r ist nicht eingezeichnet und wird implizit angenommen. q 5 0 0, L 1 1, L a) (q 0 ) , (q 1 )001000, 0(q 1 )01000, 00(q 1 )1000, 001(q 1 )000, 0010(q 1 )00, 00100(q 1 )0, (q 1 ), 00100(q 2 )0, 0010(q 5 )0, 001(q 5 )00, 00(q 5 )100, 0(q 5 )0100, (q 5 )00100, (q 5 ) 00100, (q 0 )00100, (q 1 )0100, 0(q 1 )100, 01(q 1 )00, 010(q 1 )0, 0100(q 1 ), 010(q 2 )0, 01(q 5 )0, 0(q 5 )10, (q 5 )010, (q 5 ) 010, (q 0 )010, (q1)10, 1(q 1 )0, 10(q 1 ), 1(q 2 )0, (q 5 )1, (q 5 ) 1, (q 0 )1, (q 3 ), (q 4 ), (q a ) b) (q 0 ) , (q 1 ) ,..., (q 1 ), (q 2 )0, (q 5 )1,..., (q 0 ) , (q 3 )010101,..., (q 3 ), 01010(q 4 )1, 0101(q 5 )0,..., (q 0 )01010,..., 010(q 5 )1,..., (q 0 )010,..., (q 0 )1, (q 3 ), (q 4 ), (q a ) vi