Übungsblatt Nr. 3. Lösungsvorschlag

Transkript

1 Institut für Kryptographie und Sicherheit Prof. Dr. Jörn Müller-Quade Nico Döttling Dirk Achenbach Tobias Nilges Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Übungsblatt Nr. 3 svorschlag

2 Aufgabe 1 (K) (2,5 Punkte): Kellerautomaten und ihre Grenzen Der ebenso geniale wie exzentrische Wissenschaftler und Superbösewicht Doktor Meta hat sein neuestes Geheimprojekt, den Metareaktor, fertiggestellt und möchte ihn in Betrieb nehmen. Sein größter Widersacher, der internationale Spitzenagent Sven van Hagen, möchte das verhindern. Er ist dazu in den Komplex eingedrungen und kriecht nun durch das Lüftungssystem, das sich ihm als Labyrinth aus Röhren darstellt. Damit er nach seinem Sabotageakt unbeschadet entkommen kann, muss er den gleichen Weg zurück nehmen, den er auch hinein genommen hat. Sven van Hagen kann an jeder Gabelung eine der vier Richtungen Σ = {,,, } einschlagen. Die Sprache L(G) der möglichen Wege durch das Labyrinth wird durch die Grammatik G = (Σ, {S}, S, P) mit beschrieben. P = {S ε SS S S S S } i.) Ergänzen Sie w = durch Angabe von w so, dass ww L(G). Welchen (höchsten) Chomsky-Typ hat G? (1P) ii.) Konstruieren Sie einen Kellerautomaten (Push-Down Automaton PDA), der genau L(G) akzeptiert. Akzeptiert Ihr PDA mit leerem Keller? Wie kann man einen PDA, der mit nichtleerem Keller akzeptiert, in einen PDA umwandeln, der mit leerem Keller akzeptiert? Wie wandelt man einen PDA, der mit leerem Keller akzeptiert, in einen PDA um, der mit nichtleerem Keller akzeptiert? (1,5P) iii.) Sven van Hagen hat eine Abkürzung durch das Labyrinth gefunden: Er spart sich Wege nach unten. Betrachten Sie die Grammatik G = (Σ, {S}, S, P ) mit P = { S ε SS S S S S, S S, S S } Zeigen Sie, dass L(G ) nicht kontextfrei ist. Finden Sie dazu zuerst eine geeignete Menge von Wörtern W E und belegen Sie, dass W E L(G ). Verwenden Sie dann das Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen, um einen Widerspruch herbeizuführen. (1,5P) G ist keine kontextfreie Grammatik, da sie verkürzende Regeln enthält. Trotzdem ist L(G ) kontextfrei. Warum? (1,5P) svorschlag i.) w = ii.) Wir konstruieren den PDA (Q, Σ, Γ, δ, q 0, F ) mit Q = {q 0, q 1, q 2 }, Σ wie in der Aufgabe, Γ = Σ {S, $}, F = {q 2 } und δ gemäß dem Automatengraphen: ii

3 q 2 ε, $ ε ε, ε S$ Der PDA akzeptiert mit leerem Keller. q 0 q 1 ε, S ε ε, S SS ε, S S ε, S S ε, S S ε, S S, ε, ε, ε, ε Akzeptiert ein PDA mit nichtleerem Keller, kann er einfach in einen PDA umgebaut werden, der mit leerem Keller akzeptiert: Man fügt einen neuen Startzustand und einen neuen Endzustand ein. Der neue Startzustand hat einen Übergang auf den alten Startzustand. Dieser Übergang legt (bei leerer Eingabe und leerem Keller) ein spezielles Boden -Symbol auf den Keller. Beim Übergang in den neuen Endzustand (vom alten Endzustand aus) wird dieses Bodensymbol bei leerer Eingabe wieder heruntergenommen. Akzeptiert ein PDA wiederum mit leerem Keller, kann er ebenfalls durch das Einfügen eines neuen Endzustands in einen PDA mit nichtleerem Keller überführt werden: Beim Übergang in den neuen Endzustand (vom alten Endzustand aus) wird ein beliebiges Symbol aus Γ auf den Keller gelegt. Damit sind PDAs, die mit leerem Keller akzeptieren, äquivalent zu solchen, die mit nichtleerem Keller akzeptieren. iii.) Betrachte W E = { n n n n N}. Jedes w i W E kann auf folgende Weise erreicht werden: Erzeuge zuerst i S i i i durch 2i + 2-faches Anwenden der ersten Produktionsregel (ein mal die Option S SS, i mal S S, dann i mal die Option S S und einmal S ε). Wende anschließend i mal die dritte Regel an, um i zu entfernen und entferne schließlich S durch S ε. Damit ist W E L(G ). Sei nun p die Zahl aus dem Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen. Wähle s = p p p L(G ). Dann lässt s sich so in Teilworte zerlegen, dass s = uvxyz mit vy > 0, vxy p und uv i xy i z L(G ) i N {0}. Da vxy p, enhält vxy entweder kein oder kein (oder beides). Sei o. B. d. A. vxy. Betrachte uv 0 xy 0 z = uxz: uxz = p, aber wegen vy > 0 ist uxz + uxz < 2p und damit uxz L(G ). E Die ursprünglich auf dem Übungsblatt vorgegebene Vorgehensweise führte zu einem Beweis, der lediglich zeigte, dass eine Teilmenge von L(G ) nicht kontextfrei ist. Dies liefert jedoch keine Aussage über L(G ). Tatsächlich kann P durch eine Äquivalenzumformung in eine Produktionsmenge ohne verkürzende Regeln überführt werden. Durch Einsetzen der verkürzenden Produktionen in die erste ergibt sich P = { S ε SS S S S S S S } Die entsprechende Grammatik G = (Σ, {S}, S, P ) mit L(G ) = L(G ) ist kontextfrei. Also ist L(G ) kontextfrei. iii

4 Aufgabe 2 (K) (4 Punkte): Chomsky-Normalform und Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus i.) Gegeben sei die kontextfreie Grammatik G 1 mit den folgenden Produktionen in Chomsky- Normalform: S BV s A AA V n V a a n B V b A V a a V b b V n n V s s Prüfen Sie mithilfe des Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus, ob sich das Wort bananas aus G 1 ableiten lässt. (1P) ii.) Gegeben sei die kontextfreie Grammatik G 2 mit den folgenden Produktionen: S AB aac ε A a ab DC B b bb bc C c D D d a) Überführen Sie G 2 in Chomsky-Normalform. (1P) b) Prüfen Sie mithilfe des Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus, ob sich das Wort aabbdc aus G 2 ableiten lässt. (1P) iii.) Wie kann man den Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus so erweitern, dass er direkt einen Ableitungsbaum mit angibt? (1P) svorschlag i.) Also ist bananas L(G 1 ). V b B B B B B S b A, V a A A A A a A, V n A A A n A, V a A A a A, V n A n A, V a a V s s iv

5 ii.) a) Einführen eines neues Startzustandes S 0 und entfernen der ε-produktionen: S 0 S ε S AB aac A a ab DC B b bb bc C c D D d b) Entfernen der Kettenregeln: S 0 S ε S AB aac A a ab DC B b bb bc C c d D d Chomsky-Normalform: S 0 S ε S AB EV c A a V a B DC B b V b B V b C C c d D d E V a A V a a V b b V c c Damit aabbdc L(G 2 ). A, V a E E E E S a A, V a S, A S, A S, A a B, V b B B b B, V b B b C, D A d C, V c c c) Zu jedem Nichtterminal, welches in die Tabelle eingetragen wird, muss gespeichert werden, aus welchen Nichtterminalen es entstanden ist. Dazu speichert man zu jedem Nichtterminal Referenzen auf die Tabellenzellen, von dem man es hat. Nach Ablauf des normalen Algorithmus werden mittels einer Tiefensuche von dem Startsymbol aus wieder die Nichtterminale abgeleitet, bis das komplette Wort abgeleitet ist. Man speichert also V ij = {(A, ρ l, ρ r ) A V, A w}, wobei ρ l und ρ r Verweise auf das Zellenpaar sind, aus dem w abgeleitet wird. v

6 Aufgabe 3 (K) (4 Punkte): Linear beschränkte Turingmaschinen Gegeben sei die Sprache L = {w {a, b, c} w a w c = w b }. ( w τ bezeichnet die Häufigkeit des Vorkommens von τ in w.) i.) Geben Sie eine linear beschränkte Turingmaschine an, welche diese Sprache erkennt. Geben Sie die Zustandsübergangsfunktion als Graph an. Beschriften Sie dabei die Pfeile wie in Aufgabe 4. (2P) ii.) Ist diese Sprache kontextfrei? Wenn ja, geben Sie eine kontextfreie Grammatik an, welche diese Sprache erzeugt. Wenn nein, beweisen Sie, dass diese Sprache nicht kontextfrei ist. (2P) svorschlag i.) Wir konstruieren die Maschine (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q a, q r ) mit Σ = {a, b, c}, Γ = Σ {, }, Q = {q 0, q 1, q 3, q 4, q a, q r } und δ nach dem folgenden Zustandsübergangsgraphen: a : a, L b : b, L c : c, L :, L :, R q 0 q 1 a :, L b : b, R c, c : R :, R :, R q 2 q 3 a : a, L b : b, L c : c, L :, L b :, L c :, L :, L :, N a : a, R :, R :, L q 4 q r b : b, N c : c, N :, N ii.) Die Sprache L ist kontextfrei. Die Grammatik G = ({a, b, c}, {S}, S, P) mit P = {S ε SS asb asc bsa csa} erzeugt sie. q a Aufgabe 4 (K) (4 Punkte): Noch mehr Turingmaschinen Gegeben sei die Turingmaschine M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q accept, q reject ) mit Q = {q 0,..., q 9, q accept, q reject }, Σ = {0, 1}, und Γ = { } Σ. Die Zustandsübergangsfunktion vi

7 ist durch den untenstehenden Automatengraphen gegeben. Die Pfeilbeschriftung x : y, D bedeutet: Lies Zeichen x vom Band, schreibe Zeichen y auf das Band und bewege den Kopf in Richtung D {L, R, N}. Ist für einen gegebenen Zustand und ein Bandsymbol kein Zustandsübergang im Graphen definiert, so geht der Zustandsautomat in den Zustand q reject (nicht im Graphen eingezeichnet) über. 0 : 0, L 1 : 1, L q 7 :, R q 6 1 :, R q 0 0 :, R 0 :, R 0 : 0, R 1 : 1, R 1 :, R q :, L 1 q 2 :, N :, N q accept q 4 q 5 :, L q 9 0 : 0, R 1 : 1, R :, R q 8 0 : 0, L 1 : 1, L 1 :, L 0 :, L 0 :, L q 3 1 :, L i.) Simulieren Sie die Berechnung dieser Turingmaschine auf der Eingabe w = (1P) ii.) Welche Sprache erkennt diese Turingmaschine? (2P) iii.) Geben Sie eine Grammatik maximalen Chomsky-Typs an, welche diese Sprache erzeugt. Welchen (höchsten) Chomsky-Typ hat Ihre Grammatik? (1P) svorschlag i.) vii

8 1. (q 0 ) (q 1 ) (q 1 ) (q 1 ) (q 1 ) (q 1 ) (q 1 ) (q 1 ) (q 1 ) (q 2 ) (q 3 ) (q 6 ) (q 6 ) (q 6 ) (q 6 ) (q 6 ) (q 6 ) (q 7 ) (q 0 ) (q 4 ) (q 4 ) (q 4 ) (q 4 ) (q 5 ) (q 3 ) (q 8 ) (q 8 ) (q 9 ) (q 0 ) 30. (q accept ) ii.) L = {ww w {0, 1} }, w ist w in umgekehrter Reihenfolge und mit 0 und 1 vertauscht. iii.) G = ({0, 1}, {S}, S, P) mit P = {S ε 0S1 1S0}. Die Grammatik ist kontextfrei. Aufgabe 5 (*): Lochstreifenmaschinen Eine Lochstreifenturingmaschine ist eine Turingmaschine, bei der das Band durch einen Lochstreifen ersetzt wird. Anstatt Symbole auf das Band zu schreiben, kann diese Maschine nur Löcher in das Band stanzen, welche sich nicht mehr überschreiben lassen. Im Anfangszustand befinden sich keine Löcher auf dem Band. Ihre Eingabe erhält eine Lochstreifenturingmaschine durch ein gesondertes Read-Once Band, welches sich nicht beschreiben und bei welchem sich jede Bandstelle nur ein mal lesen lässt. viii

9 Zeigen Sie: Lochstreifenturingmaschinen sind genauso mächtig wie normale Turingmaschinen. Gehen Sie dazu wie folgt vor: i.) Überlegen Sie zunächst, wie sich ein größeres Bandalphabet auf einem Lochstreifen codieren läßt. ii.) Finden Sie eine Codierung für den Gesamtzustand einer normalen Turingmaschine (inklusive Bandinhalt). iii.) Wie kann eine Lochstreifenturingmaschine mit einer derartigen Codierung eine normale Turingmaschine simulieren? svorschlag i.) Sei das Bandalphabet der Lochstreifenmaschine Γ = {, }; bedeute Streifen noch nicht ausgestanzt, bedeute Streifen ausgestanzt. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit habe die andere Turingmaschine das Bandalphabet Γ = {0, 1, }. (Maschinen mit größeren Bandalphabeten können wiederum von regulären Turingmaschinen simuliert werden.) Wir codieren nun jedes bandzeichen der ursprünglichen Turingmaschine mit zwei Stellen auf dem Lochstreifen: Codiere als, 0 als und 1 als. Codiere ein zusätzliches Begrenzungszeichen # als. ii.) Man kann den Zustand als String b 1... b i q b i+1... b n codieren, wobei die Maschine im Zustand q ist und der Zeiger hier auf Bandsymbol b i+1 zeigt. iii.) Wir schreiben für jede Zelle des Bandes der Turingmaschine vier Felder auf das Band unserer Lochstreifenmaschine: Wir reservieren doppelt Platz für die Binärcodierung des Zustandes der Turingmaschine (ld Q 2 2 viele Lochstreifen) und für weitere vier Lochstreifen, um dort zwei Zelleninhalte speichern zu können). Nun schreiben wir die Eingabe vom Read-Once-Band auf den Lochstreifen (mit der obigen Codierung). Die Zustandsfelder lassen wir leer, außer an der Stelle, an der der Kopf steht: Dort speichern wir den Zustand der Turingmaschine (in einem Zustandsfeld). Ein Zustandsfeld und zwei Lochstreifen (für eine Bandzelle der Turingmaschine) sind noch frei. Diese freien Lochstreifen nutzen wir, um die Folgekonfiguration der Turingmaschine auf den Lochstreifenstellen jeweils neben den aktuellen Zellen und Zuständen zu schreiben. Dann kopieren wir die Folgekonfiguration hinter das Begrenzungszeichen und wiederholen das Ganze. Stellen, die bereits kopiert wurden, entwerten wir dabei durch # (jedes Zeichen läßt sich durch # = überschreiben). Dieser Vorgang wird wiederholt, bis die simulierte Turingmaschine hält. ix