TGI-Übung 4: Die Weihnachtsübung Dirk Achenbach

Transkript

1 TGI-Übung 4: Die Weihnachtsübung Dirk Achenbach INSTITUT FÜR KRYPTOGRAPHIE UND SICHERHEIT KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Agenda Neues aus dem Kummerkasten von Übungsblatt 4 Satz von Rice Random Access Machines Wiederholung: NP-Vollständigkeit Evaluation Dirk Achenbach TGI-Übung 4 2/37

3 Neues aus dem Kummerkasten Der Beweis zur Entscheidbarkeit der Theorie (N, +) wurde in der Vorlesung behandelt, fehlt aber im Skript. Es würde interessant sein, wenn es auch etwas formaler und ausführlicher ebenfalls im Skript steht. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 3/37

4 Aufgabe 1 Gegeben sei eine Funktion f : t v t + s 0. Die Parameter v N und s 0 N 0 sind unbekannt, aber fest. Beschreiben Sie einen Algorithmus, der eine Folge (s i ) N N 0 ausgibt, so dass ein j N 0 mit s j = f (j) existiert. (Der Algorithmus muss nicht terminieren, er muss nur irgendwann ein korrektes Folgenglied ausgeben.) Zähle (v, s 0 ) auf, führe Zähler i mit: (1, 0) (1, 1) (1, 2)... (2, 0) (2, 1)... (3, 0).... Dirk Achenbach TGI-Übung 4 4/37

5 Aufgabe 1 Gegeben sei eine Funktion f : t v t + s 0. Die Parameter v N und s 0 N 0 sind unbekannt, aber fest. Beschreiben Sie einen Algorithmus, der eine Folge (s i ) N N 0 ausgibt, so dass ein j N 0 mit s j = f (j) existiert. (Der Algorithmus muss nicht terminieren, er muss nur irgendwann ein korrektes Folgenglied ausgeben.) Zähle (v, s 0 ) auf, führe Zähler i mit: (1, 0) (1, 1) (1, 2)... (2, 0) (2, 1)... (3, 0).... Dirk Achenbach TGI-Übung 4 4/37

6 Aufgabe 1 Zähle (v, s 0 ) auf, führe Zähler i mit: (1, 0) (1, 1) (1, 2)... (2, 0) (2, 1)... (3, 0).... Für jedes i: Erzeuge f (v,s0 ). Berechne f (v,s0 )(i) und gib den Wert aus. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 5/37

7 Hauptklausur WS12/13, Aufgabe 3 Gegeben sei die Sprache L = { M x Σ : M(x) hält}, also die Sprache der Gödelnummern aller Turingmaschinen, für die mindestens eine Eingabe existiert, auf der sie halten. Ist L semi-entscheidbar? Begründen Sie Ihre Antwort! (Hinweis: Wie viele Turingmaschinen kann eine Turingmaschine simulieren?) Ja. Wir müssen für eine gegebene Maschine M erkennen, wenn eine Eingabe i existiert, auf der sie hält. Dazu zählen wir Eingaben i N auf. In jedem Verarbeitungsschritt i lassen wir jede bestehende Simulation M(1),..., M(i) einen Schritt weiterlaufen und stoßen eine neue Simulation M(i + 1) für die Eingabe i + 1 an. Hält eine der bereits laufenden Maschinen, sind wir fertig. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 6/37

8 Hauptklausur WS12/13, Aufgabe 3 Gegeben sei die Sprache L = { M x Σ : M(x) hält}, also die Sprache der Gödelnummern aller Turingmaschinen, für die mindestens eine Eingabe existiert, auf der sie halten. Ist L semi-entscheidbar? Begründen Sie Ihre Antwort! (Hinweis: Wie viele Turingmaschinen kann eine Turingmaschine simulieren?) Ja. Wir müssen für eine gegebene Maschine M erkennen, wenn eine Eingabe i existiert, auf der sie hält. Dazu zählen wir Eingaben i N auf. In jedem Verarbeitungsschritt i lassen wir jede bestehende Simulation M(1),..., M(i) einen Schritt weiterlaufen und stoßen eine neue Simulation M(i + 1) für die Eingabe i + 1 an. Hält eine der bereits laufenden Maschinen, sind wir fertig. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 6/37

9 Semi-Entscheidbarkeit und Entscheidbarkeit Entscheidbarkeit Gegeben sei eine Sprache L. Eine Turingmaschine, die für alle w L aus der Startkonfiguration q 0 w akzeptiert und für alle w / L hält, heißt Entscheider. L heißt rekursiv oder entscheidbar, wenn eine solche Turingmaschine existiert. Semi-Entscheidbarkeit Gegeben sei eine Sprache L. Eine Turingmaschine, die für alle w L aus der Startkonfiguration q 0 w akzeptiert, heißt Akzeptor. L heißt rekursiv aufzählbar oder semi-entscheidbar, wenn eine solche Turingmaschine existiert. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 7/37

10 Semi-Entscheidbarkeit und Entscheidbarkeit Entscheidbarkeit Gegeben sei eine Sprache L. Eine Turingmaschine, die für alle w L aus der Startkonfiguration q 0 w akzeptiert und für alle w / L hält, heißt Entscheider. L heißt rekursiv oder entscheidbar, wenn eine solche Turingmaschine existiert. Semi-Entscheidbarkeit Gegeben sei eine Sprache L. Eine Turingmaschine, die für alle w L aus der Startkonfiguration q 0 w akzeptiert, heißt Akzeptor. L heißt rekursiv aufzählbar oder semi-entscheidbar, wenn eine solche Turingmaschine existiert. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 7/37

11 Aufgabe 2i Jede unentscheidbare Sprache enthält eine entscheidbare Teilmenge. Ja, jede unentscheidbare Sprache enthält eine endliche Teilmenge, und endliche Teilmengen sind immer entscheidbar. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 8/37

12 Aufgabe 2i Jede unentscheidbare Sprache enthält eine entscheidbare Teilmenge. Ja, jede unentscheidbare Sprache enthält eine endliche Teilmenge, und endliche Teilmengen sind immer entscheidbar. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 8/37

13 Aufgabe 2i Jede Teilmenge einer entscheidbaren Sprache ist entscheidbar. Nein, ein Gegenbeispiel ist das unentscheidbare allgemeine Halteproblem H {0, 1}, obwohl {0, 1} entscheidbar ist. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 9/37

14 Aufgabe 2i Jede Teilmenge einer entscheidbaren Sprache ist entscheidbar. Nein, ein Gegenbeispiel ist das unentscheidbare allgemeine Halteproblem H {0, 1}, obwohl {0, 1} entscheidbar ist. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 9/37

15 Aufgabe 2i Für jede unentscheidbare Sprache L gibt es eine echte Obermenge, die ebenfalls unentscheidbar ist. Ja, denn für ein w / L ist {w} L unentscheidbar, wenn L unentscheidbar ist. Ein solches w existiert immer: L Σ, da Σ entscheidbar ist. (Es gibt sogar unendlich viele Elemente in L = Σ \ L, da L sonst entscheidbar wäre, was im Widerspruch zur Unentscheidbarkeit von L steht.) Dirk Achenbach TGI-Übung 4 10/37

16 Aufgabe 2i Für jede unentscheidbare Sprache L gibt es eine echte Obermenge, die ebenfalls unentscheidbar ist. Ja, denn für ein w / L ist {w} L unentscheidbar, wenn L unentscheidbar ist. Ein solches w existiert immer: L Σ, da Σ entscheidbar ist. (Es gibt sogar unendlich viele Elemente in L = Σ \ L, da L sonst entscheidbar wäre, was im Widerspruch zur Unentscheidbarkeit von L steht.) Dirk Achenbach TGI-Übung 4 10/37

17 Aufgabe 2i Aus L 1 entscheidbar und L 1 L 2 entscheidbar folgt L 2 entscheidbar. Nein, mit L 1 endlich kann L 1 L 2 immer eine endliche Menge sein, die entscheidbar ist. Daraus folgt aber keine Entscheidbarkeit für L 2. Beispiel: Gegeben L 1 = {w} und L 2 = H, dann ist L 1 L 2 endlich und entscheidbar, aber L 2 offensichtlich nicht. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 11/37

18 Aufgabe 2i Aus L 1 entscheidbar und L 1 L 2 entscheidbar folgt L 2 entscheidbar. Nein, mit L 1 endlich kann L 1 L 2 immer eine endliche Menge sein, die entscheidbar ist. Daraus folgt aber keine Entscheidbarkeit für L 2. Beispiel: Gegeben L 1 = {w} und L 2 = H, dann ist L 1 L 2 endlich und entscheidbar, aber L 2 offensichtlich nicht. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 11/37

19 Aufgabe 2ii Gegeben sei die Sprache L = { M M(x) = x 2 }. Zeigen Sie, dass L nicht entscheidbar ist. Aus dem Kummerkasten Hallo, ich wollte Sie fragen, ob Sie in der Übung den Satz von Rice wiederholen könnten? Es wäre sehr hilfreich, wenn Sie den Satz anhand eines Beispiels erklären könnten, damit keine offenen Fragen mehr entstehen. Denn so ganz klar ist mir der Satz leider nicht. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 12/37

20 Aufgabe 2ii Gegeben sei die Sprache L = { M M(x) = x 2 }. Zeigen Sie, dass L nicht entscheidbar ist. Aus dem Kummerkasten Hallo, ich wollte Sie fragen, ob Sie in der Übung den Satz von Rice wiederholen könnten? Es wäre sehr hilfreich, wenn Sie den Satz anhand eines Beispiels erklären könnten, damit keine offenen Fragen mehr entstehen. Denn so ganz klar ist mir der Satz leider nicht. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 12/37

21 Einschub Satz von Rice Sei S eine nichttriviale Eigenschaft der von einer Turingmaschine akzeptierten Sprache. Die Sprache C(S) = { M L(M) hat Eigenschaft S} ist nicht entscheidbar. Satz von Rice, präziser Sei S eine echte, nichtleere Teilmenge aller partiell Turing-berechenbaren Funktionen ( nichttriviale Teilmenge ). Dann ist C(S) = { M M berechnet eine Funktion aus S} nicht entscheidbar. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 13/37

22 Einschub Satz von Rice Sei S eine nichttriviale Eigenschaft der von einer Turingmaschine akzeptierten Sprache. Die Sprache C(S) = { M L(M) hat Eigenschaft S} ist nicht entscheidbar. Satz von Rice, präziser Sei S eine echte, nichtleere Teilmenge aller partiell Turing-berechenbaren Funktionen ( nichttriviale Teilmenge ). Dann ist C(S) = { M M berechnet eine Funktion aus S} nicht entscheidbar. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 13/37

23 Aufgabe 2ii Gegeben sei die Sprache L = { M M(x) = x 2 }. Zeigen Sie, dass L nicht entscheidbar ist. Satz von Rice, präziser Sei S eine echte, nichtleere Teilmenge aller partiell Turing-berechnbaren Funktionen ( nichttriviale Teilmenge ). Dann ist C(S) = { M L(M) berechnet eine Funktion aus S} nicht entscheidbar. Damit ganz einfach: Wähle S = {x x 2 }. (x x 2 ist offensichtlich turing-berechenbar und S ist nichttrivial.) Der Satz von Rice ist anwendbar und sagt das zu Zeigende aus. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 14/37

24 Aufgabe 2ii Gegeben sei die Sprache L = { M M(x) = x 2 }. Zeigen Sie, dass L nicht entscheidbar ist. Oder mit einem Widerspruch Sei M eine TM, die L entscheidet, also gegeben die Beschreibung einer Turingmaschine M, entscheidet, ob diese für alle x den Wert x 2 ausgibt: { M, wenn x : M(x) = x 2, ( M ) =, wenn x : M(x) x 2. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 15/37

25 Aufgabe 2ii Oder mit einem Widerspruch Wir konstruieren eine Turingmaschine D folgendermaßen: D holt sich seine eigene Beschreibung D (Rekursionstheorem) und führt M darauf aus. Akzeptiert M, lehnt D ab, und andersrum: { x 2, wenn M ( D ) =, D(x) =, wenn M ( D ) =. Das ist ein Widerspruch. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 16/37

26 Jetzt Moment mal Ein Virenerkenner ist ein Programm T, das für ein beliebiges Programm M entscheiden kann, ob dieses ein Virus ist oder nicht. Was ist ein Virus? Sagen wir der Einfachheit halber, ein Programm, welches eine Ausgabe INFECT erzeugen kann. Virenprogramme müssen also nicht unbedingt bei jeder Eingabe das System infizieren! Ein Virenerkenner darf kein harmloses Programm als Virus klassifizieren! Dirk Achenbach TGI-Übung 4 17/37

27 Oha Annahme: Es gibt einen Virenerkenner T. Wir bauen uns den ultimativen Virus V. Turingmaschine V Hole eigene Beschreibung V. (Rekursionstheorem!) Simuliere T bei Eingabe V. Wenn T Virus ausgibt, dann gib nichts aus. Wenn T kein Virus ausgibt, dann gib INFECT aus. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 18/37

28 Beweis Ist V ein Virus? V ist Virus T klassifiziert V als Virus V gibt nie INFECT aus V ist kein Virus V ist kein Virus T klassifiziert V nicht als Virus V gibt INFECT aus V ist ein Virus Virenscanner müssen also heuristisch arbeiten! Dirk Achenbach TGI-Übung 4 19/37

29 Beweis Ist V ein Virus? V ist Virus T klassifiziert V als Virus V gibt nie INFECT aus V ist kein Virus V ist kein Virus T klassifiziert V nicht als Virus V gibt INFECT aus V ist ein Virus Virenscanner müssen also heuristisch arbeiten! Dirk Achenbach TGI-Übung 4 19/37

30 Aufgabe 3 (Q, Σ, Γ, δ, q 0, F), wobei δ : Q Σ {ε} (Γ {ε}) n 2 Q (Γ {ε})n. Es handelt sich also um einen Kellerautomaten mit n Kellern. In einem Zustandsübergang kann von allen Kellern gelesen (pull), und auf alle Keller geschrieben (push) werden. 1 n-pda vereinfachen 2 2-PDA mit TM simulieren 3 TM mit 2-PDA simulieren Dirk Achenbach TGI-Übung 4 20/37

31 Aufgabe 3 n-pda vereinfachen Zwei Schritte: δ(q i, σ, (γ 1,..., γ n )) = (q i+1, (γ 1,..., γ n)) wird zu δ(q i, σ, (γ 1, ε,...)) = (ˆq 1, (γ 1, ε,...)) δ(ˆq 1, ε, (ε, γ 2, ε,...)) = (ˆq 2, (ε, γ 2, ε,...))... δ(ˆq n 1, ε, (ε,..., γ n)) = (q i+1, (ε,..., γ n)) Nun noch schreiben oder lesen: Konstruktion wie in Vorlesung: Dummyzustand. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 21/37

32 Aufgabe 3 Simuliere 2-PDA mit TM Markiere eine Stelle # auf dem Band. Ein Keller wächst nach links, einer nach rechts. push: Mit dem Kopf ganz nach außen fahren, Element auf freie Stelle ablegen. pop: Element am weitesten außen entfernen. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 22/37

33 Aufgabe 3 TM mit 2-PDA simulieren Vereinbarung: Ein Keller heißt linker Keller, der andere rechter Keller. Linker Keller beschreibt den Bandinhalt links vom Kopf, rechter Keller den Bandinhalt rechts vom Kopf. Lesen, schreiben: pop rechts, push rechts. Rechtsbewegung: pop rechts, push links. Linksbewegung: pop links, push rechts. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 23/37

34 Aufgabe 3 Wir haben gelernt: 0-PDAs: NEAs DEAs. Erkennen reguläre Sprachen. 1-PDAs: NPDAs DPDAs. Erkennen kontextfreie Sprachen. 2-PDAs: NTMs. Turingmächtig. 3-PDAs, 4-PDAs,... : Kein Gewinn an Mächtigkeit mehr. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 24/37

35 Aufgabe 4 Erkenne die Palindromsprache L P = {wxw w Σ, x Σ {ε}} mit einer TM. Idee: Lies Zeichen, spule ganz nach rechts, friss das gleiche Zeichen, spule ganz nach links, wiederhole. Wenn Band irgendwann leer, akzeptiere. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 25/37

36 Aufgabe 4 Erkenne die Palindromsprache L P = {wxw w Σ, x Σ {ε}} mit einer TM. Idee: Lies Zeichen, spule ganz nach rechts, friss das gleiche Zeichen, spule ganz nach links, wiederhole. Wenn Band irgendwann leer, akzeptiere. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 25/37

37 Aufgabe 4 q 1 q q 0 q a q 5 0 0, L 1 1, L 1 1 L q 3 q 4 Dirk Achenbach TGI-Übung 4 26/37

38 Aufgabe 4 q1 q2 0 0 q0 qa q5 0 0, L 1 1, L 1 1 L q3 q4 (q 0 ) Dirk Achenbach TGI-Übung 4 27/37

40 Aufgabe 4 q1 q2 0 0 q0 qa q5 0 0, L 1 1, L 1 1 L q3 q4 0(q 1 )01000 Dirk Achenbach TGI-Übung 4 27/37

44 Aufgabe 4 q1 q2 0 0 q0 qa q5 0 0, L 1 1, L 1 1 L q3 q (q 1 )0 Dirk Achenbach TGI-Übung 4 27/37

45 Aufgabe 4 q1 q2 0 0 q0 qa q5 0 0, L 1 1, L 1 1 L q3 q (q 1 ) Dirk Achenbach TGI-Übung 4 27/37

46 Aufgabe 4 q1 q2 0 0 q0 qa q5 0 0, L 1 1, L 1 1 L q3 q (q 2 )0 Dirk Achenbach TGI-Übung 4 27/37

51 Aufgabe 4 q1 q2 0 0 q0 qa q5 0 0, L 1 1, L 1 1 L q3 q4 (q 5 )00100 Dirk Achenbach TGI-Übung 4 27/37

58 Aufgabe 4 q1 q2 0 0 q0 qa q5 0 0, L 1 1, L 1 1 L q3 q4 0100(q 1 ) Dirk Achenbach TGI-Übung 4 27/37

63 Aufgabe 4 q1 q2 0 0 q0 qa q5 0 0, L 1 1, L 1 1 L q3 q4 (q 5 ) 010 Dirk Achenbach TGI-Übung 4 27/37

65 Aufgabe 4 q1 q2 0 0 q0 qa q5 0 0, L 1 1, L 1 1 L q3 q4 (q1)10 Dirk Achenbach TGI-Übung 4 27/37

67 Aufgabe 4 q1 q2 0 0 q0 qa q5 0 0, L 1 1, L 1 1 L q3 q4 10(q 1 ) Dirk Achenbach TGI-Übung 4 27/37

70 Aufgabe 4 q1 q2 0 0 q0 qa q5 0 0, L 1 1, L 1 1 L q3 q4 (q 5 ) 1 Dirk Achenbach TGI-Übung 4 27/37

74 Aufgabe 4 q1 q2 0 0 q0 qa q5 0 0, L 1 1, L 1 1 L q3 q4 (q a ) Dirk Achenbach TGI-Übung 4 27/37

75 JFLAP is software for experimenting with formal languages topics including nondeterministic finite automata, nondeterministic pushdown automata, multi-tape Turing machines, several types of grammars, parsing, and L-systems. In addition to constructing and testing examples for these, JFLAP allows one to experiment with construction proofs from one form to another, such as converting an NFA to a DFA to a minimal state DFA to a regular expression or regular grammar. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 28/37

76 Aber warum Turingmaschinen? Warum nicht ein anderes Maschinenmodell, wie beispielsweise Registermaschinen? Registermaschinen Programm aus endlich vielen Befehlen: LOAD STORE ADD IF GOTO... Befehlszähler Akkumulator Speicherzellen N Dirk Achenbach TGI-Übung 4 29/37

77 Registermaschinen Abbildung aus dem TGI-Skript von Prof. Dr. Wagner Dirk Achenbach TGI-Übung 4 30/37

78 Ja genau! Registermaschinen sind zu Turingmaschinen äquivalent. Das bedeutet, dass eine Turingmaschine (mit polynomiellem Overhead) eine Registermaschine simulieren kann und umgekehrt. Registermaschinen sind also gleich mächtig wie Turingmaschinen. In der theoretischen Informatik sind Turingmaschinen aber oft handlicher. Deshalb benutzen wir diese meist für Beweise und Überlegungen. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 31/37

79 Rafail Ostrovsky: Software protection and simulation on Oblivious RAMs Software protection is one of the most important issues concerning computer practice. There exist many heuristics and ad-hoc methods for protection, but the problem as a whole has not received the theoretical treatment it deserves. In this paper, we provide theoretical treatment of software protection. We reduce the problem of software protection to the problem of efficient simulation on oblivious RAM. A machine is oblivious if the sequence in which it accesses memory locations is equivalent for any two inputs with the same running time. For example, an oblivious Turing Machine is one for which the movement of the heads on the tapes is identical for each computation. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 32/37

80 Wiederholung: NP-vollständige Probleme NP NP ist die Klasse aller Sprachen, die von nichtdeterministischen Turingmaschinen in polynomieller Zeit akzeptiert werden. NP, Variante Eine Sprache L ist genau dann in NP, wenn es eine Relation R L (L {1, 0} ) mit R L P gibt, wobei x L y : (x, y) R L. Weiterhin muss y beschränkt sein durch p( x ), wobei p wieder ein beliebiges Polynom ist. Dabei heißt y Zeuge. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 33/37

81 Wiederholung: NP-vollständige Probleme NP NP ist die Klasse aller Sprachen, die von nichtdeterministischen Turingmaschinen in polynomieller Zeit akzeptiert werden. NP, Variante Eine Sprache L ist genau dann in NP, wenn es eine Relation R L (L {1, 0} ) mit R L P gibt, wobei x L y : (x, y) R L. Weiterhin muss y beschränkt sein durch p( x ), wobei p wieder ein beliebiges Polynom ist. Dabei heißt y Zeuge. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 33/37

82 Wiederholung: NP-vollständige Probleme NP-Schwere Seien L, L Sprachen. L heißt NP-schwer, wenn L NP : L L gilt. ( steht hier für eine Many-one-Reduktion, die von einer Polynomialzeitturingmaschine berechenbar ist.) NP-Vollständigkeit Eine Sprache L heißt NP-vollständig, wenn 1 L NP und 2 L NP : L L, L also NP-schwer ist. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 34/37

83 Wiederholung: NP-vollständige Probleme NP-Schwere Seien L, L Sprachen. L heißt NP-schwer, wenn L NP : L L gilt. ( steht hier für eine Many-one-Reduktion, die von einer Polynomialzeitturingmaschine berechenbar ist.) NP-Vollständigkeit Eine Sprache L heißt NP-vollständig, wenn 1 L NP und 2 L NP : L L, L also NP-schwer ist. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 34/37

84 NP-Vollständigkeit zeigen Das geht in zwei Schritten: 1 L NP. Also: Es gibt eine Maschine, die richtige en akzeptiert. 2 L NP : L L. Dazu meist: Nimm ein NP-vollständiges Problem und reduziere es auf L. Nutzt die Transitivität von. Wir zeigen damit, dass L mindestens so schwer ist wie alle Probleme in NP. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 35/37

85 NP-Vollständigkeit zeigen Das geht in zwei Schritten: 1 L NP. Also: Es gibt eine Maschine, die richtige en akzeptiert. 2 L NP : L L. Dazu meist: Nimm ein NP-vollständiges Problem und reduziere es auf L. Nutzt die Transitivität von. Wir zeigen damit, dass L mindestens so schwer ist wie alle Probleme in NP. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 35/37

86 Evaluation. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 36/37

87 Frohe Weihnachten. Dirk Achenbach TGI-Übung 4 37/37