Übung Theoretische Grundlagen

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1 Übung Theoretische Grundlagen Berechenbarkeit/Entscheidbarkeit Nico Döttling November 26, 2009 INSTITUT FÜR KRYPTOGRAPHIE UND SICHERHEIT KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Laboratory of the Helmholtz Association

2 Themen Nico Döttling Übung November 26, /21

3 Das Rekursionstheorem Theorem Zu jeder (partiell) berechenbaren Funktion t : Σ Σ Σ gibt es eine Turingmaschine R die eine Funktion r : Σ Σ berechnet, sodass für alle w Σ gilt r(w) = t( R, w) Was heißt das nochmal genau? Man kann beliebigen Programmen (TMs) Zugriff auf ihren eigenen Sourcecode (Gödelnummer) geben! Davon verschieden: Programme die ihren Sourcecode aus dem Speicher lesen Nico Döttling Übung November 26, /21

4 Das Rekursionstheorem Theorem Zu jeder (partiell) berechenbaren Funktion t : Σ Σ Σ gibt es eine Turingmaschine R die eine Funktion r : Σ Σ berechnet, sodass für alle w Σ gilt r(w) = t( R, w) Was heißt das nochmal genau? Man kann beliebigen Programmen (TMs) Zugriff auf ihren eigenen Sourcecode (Gödelnummer) geben! Davon verschieden: Programme die ihren Sourcecode aus dem Speicher lesen Nico Döttling Übung November 26, /21

5 Das Rekursionstheorem Theorem Zu jeder (partiell) berechenbaren Funktion t : Σ Σ Σ gibt es eine Turingmaschine R die eine Funktion r : Σ Σ berechnet, sodass für alle w Σ gilt r(w) = t( R, w) Was heißt das nochmal genau? Man kann beliebigen Programmen (TMs) Zugriff auf ihren eigenen Sourcecode (Gödelnummer) geben! Davon verschieden: Programme die ihren Sourcecode aus dem Speicher lesen Nico Döttling Übung November 26, /21

6 Das Rekursionstheorem Theorem Zu jeder (partiell) berechenbaren Funktion t : Σ Σ Σ gibt es eine Turingmaschine R die eine Funktion r : Σ Σ berechnet, sodass für alle w Σ gilt r(w) = t( R, w) Was heißt das nochmal genau? Man kann beliebigen Programmen (TMs) Zugriff auf ihren eigenen Sourcecode (Gödelnummer) geben! Davon verschieden: Programme die ihren Sourcecode aus dem Speicher lesen Nico Döttling Übung November 26, /21

7 Das Rekursionstheorem Anwendung Das Rekursionstheorem ist das ultimative Werkzeug um Nichtberechenbarkeit/Nichentscheidbarkeit von Sprachen zu zeigen Notation: Wie notieren wir die Anwendung von Turingmaschinen die wir konstruieren? Üblicherweise so: Turingmaschine M Bei Eingabe w: Hole eigene Beschreibung M Tue irgendwas mit M und w Nico Döttling Übung November 26, /21

8 Das Rekursionstheorem Anwendung Das Rekursionstheorem ist das ultimative Werkzeug um Nichtberechenbarkeit/Nichentscheidbarkeit von Sprachen zu zeigen Notation: Wie notieren wir die Anwendung von Turingmaschinen die wir konstruieren? Üblicherweise so: Turingmaschine M Bei Eingabe w: Hole eigene Beschreibung M Tue irgendwas mit M und w Nico Döttling Übung November 26, /21

9 Das Rekursionstheorem Anwendung Das Rekursionstheorem ist das ultimative Werkzeug um Nichtberechenbarkeit/Nichentscheidbarkeit von Sprachen zu zeigen Notation: Wie notieren wir die Anwendung von Turingmaschinen die wir konstruieren? Üblicherweise so: Turingmaschine M Bei Eingabe w: Hole eigene Beschreibung M Tue irgendwas mit M und w Nico Döttling Übung November 26, /21

10 Zum Warmwerden (1) Es gibt eine Turingmaschine M die ihr eigens "Spiegelbild" erkennt. M Bei Eingabe w Hole eigene Beschreibung M Akzeptiere falls w = M, ansonsten lehne ab Nico Döttling Übung November 26, /21

11 Zum Warmwerden (1) Es gibt eine Turingmaschine M die ihr eigens "Spiegelbild" erkennt. M Bei Eingabe w Hole eigene Beschreibung M Akzeptiere falls w = M, ansonsten lehne ab Nico Döttling Übung November 26, /21

12 Zum Warmwerden (2) Die Sprache A = { M 1 M 2 M 1 akzeptiert M 2 gdw. M 2 akzeptiert M 1 } hat unendlich viele Elemente Nico Döttling Übung November 26, /21

13 Zum Warmwerden (2) Wir definieren ein geeignetes M 1 Turingmaschine M 1 Eingabe M 2 Hole eigene Beschreibung M 1 Simuliere M 2 bei Eingabe M 1 Akzeptiere genau dann wenn M 2 akzeptiert Nun gilt: Für jedes M 2 ist M 1 M 2 A. Nico Döttling Übung November 26, /21

14 Zum Warmwerden (2) Wir definieren ein geeignetes M 1 Turingmaschine M 1 Eingabe M 2 Hole eigene Beschreibung M 1 Simuliere M 2 bei Eingabe M 1 Akzeptiere genau dann wenn M 2 akzeptiert Nun gilt: Für jedes M 2 ist M 1 M 2 A. Nico Döttling Übung November 26, /21

15 Zum Warmwerden (3) Es gibt immer unendlich viele "Lösungen" R des Rekursionstheorems. Sei k eine beliebig große Zahl S so dass S > k und für alle M k berechnen S und M verschiedene Funktionen. Sei T die zur Funktion t : Σ Σ Σ gehörende Turingmaschine Wir definieren neues T Turingmaschine T Eingabe M und w Falls M k simuliere S bei Eingabe w und gib aus was immer S ausgibt. Falls M > k simuliere T mit Eingabe M, w und gib aus was immer T ausgibt. Nico Döttling Übung November 26, /21

16 Zum Warmwerden (3) Es gibt immer unendlich viele "Lösungen" R des Rekursionstheorems. Sei k eine beliebig große Zahl S so dass S > k und für alle M k berechnen S und M verschiedene Funktionen. Sei T die zur Funktion t : Σ Σ Σ gehörende Turingmaschine Wir definieren neues T Turingmaschine T Eingabe M und w Falls M k simuliere S bei Eingabe w und gib aus was immer S ausgibt. Falls M > k simuliere T mit Eingabe M, w und gib aus was immer T ausgibt. Nico Döttling Übung November 26, /21

17 Zum Warmwerden (3) Es gibt immer unendlich viele "Lösungen" R des Rekursionstheorems. Sei k eine beliebig große Zahl S so dass S > k und für alle M k berechnen S und M verschiedene Funktionen. Sei T die zur Funktion t : Σ Σ Σ gehörende Turingmaschine Wir definieren neues T Turingmaschine T Eingabe M und w Falls M k simuliere S bei Eingabe w und gib aus was immer S ausgibt. Falls M > k simuliere T mit Eingabe M, w und gib aus was immer T ausgibt. Nico Döttling Übung November 26, /21

18 Zum Warmwerden (3) Es gibt immer unendlich viele "Lösungen" R des Rekursionstheorems. Sei k eine beliebig große Zahl S so dass S > k und für alle M k berechnen S und M verschiedene Funktionen. Sei T die zur Funktion t : Σ Σ Σ gehörende Turingmaschine Wir definieren neues T Turingmaschine T Eingabe M und w Falls M k simuliere S bei Eingabe w und gib aus was immer S ausgibt. Falls M > k simuliere T mit Eingabe M, w und gib aus was immer T ausgibt. Nico Döttling Übung November 26, /21

19 Zum Warmwerden (3) Es gibt immer unendlich viele "Lösungen" R des Rekursionstheorems. Sei k eine beliebig große Zahl S so dass S > k und für alle M k berechnen S und M verschiedene Funktionen. Sei T die zur Funktion t : Σ Σ Σ gehörende Turingmaschine Wir definieren neues T Turingmaschine T Eingabe M und w Falls M k simuliere S bei Eingabe w und gib aus was immer S ausgibt. Falls M > k simuliere T mit Eingabe M, w und gib aus was immer T ausgibt. Nico Döttling Übung November 26, /21

20 Zum Warmwerden (3) Nach dem Rekursionstheorem gibt es eine TM R die eine Funktion r berechnet sodass für alle w r(w) = t ( R, w) Es gilt R > k, ansonsten T die Maschine S simulieren würde und es damit ein w gäbe, sodass r(w) t ( R, w). Also ist für alle w t ( R, w) = t( R, w). Also ist R auch eine Lösung für t. Das gilt für beliebige k, also gibt es unendlich viele solche R Nico Döttling Übung November 26, /21

21 Zum Warmwerden (3) Nach dem Rekursionstheorem gibt es eine TM R die eine Funktion r berechnet sodass für alle w r(w) = t ( R, w) Es gilt R > k, ansonsten T die Maschine S simulieren würde und es damit ein w gäbe, sodass r(w) t ( R, w). Also ist für alle w t ( R, w) = t( R, w). Also ist R auch eine Lösung für t. Das gilt für beliebige k, also gibt es unendlich viele solche R Nico Döttling Übung November 26, /21

22 Zum Warmwerden (3) Nach dem Rekursionstheorem gibt es eine TM R die eine Funktion r berechnet sodass für alle w r(w) = t ( R, w) Es gilt R > k, ansonsten T die Maschine S simulieren würde und es damit ein w gäbe, sodass r(w) t ( R, w). Also ist für alle w t ( R, w) = t( R, w). Also ist R auch eine Lösung für t. Das gilt für beliebige k, also gibt es unendlich viele solche R Nico Döttling Übung November 26, /21

23 Zum Warmwerden (3) Nach dem Rekursionstheorem gibt es eine TM R die eine Funktion r berechnet sodass für alle w r(w) = t ( R, w) Es gilt R > k, ansonsten T die Maschine S simulieren würde und es damit ein w gäbe, sodass r(w) t ( R, w). Also ist für alle w t ( R, w) = t( R, w). Also ist R auch eine Lösung für t. Das gilt für beliebige k, also gibt es unendlich viele solche R Nico Döttling Übung November 26, /21

24 Zum Warmwerden (3) Nach dem Rekursionstheorem gibt es eine TM R die eine Funktion r berechnet sodass für alle w r(w) = t ( R, w) Es gilt R > k, ansonsten T die Maschine S simulieren würde und es damit ein w gäbe, sodass r(w) t ( R, w). Also ist für alle w t ( R, w) = t( R, w). Also ist R auch eine Lösung für t. Das gilt für beliebige k, also gibt es unendlich viele solche R Nico Döttling Übung November 26, /21

25 Beispiel: Virenerkenner Ein Virenerkenner ist ein Programm T das für ein beliebiges Programm M entscheiden kann ob dieses ein Virus ist oder nicht. Was ist ein Virus? Sagen wir der Einfachheit halber ein Programm welches eine Ausgabe INFECT erzeugen kann. Virenprogramme müssen also nicht unbedingt bei jeder Eingabe das System infizieren! Ein Virenerkenner darf kein harmloses Programm als Virus klassifizieren! Nico Döttling Übung November 26, /21

26 Beispiel: Virenerkenner Ein Virenerkenner ist ein Programm T das für ein beliebiges Programm M entscheiden kann ob dieses ein Virus ist oder nicht. Was ist ein Virus? Sagen wir der Einfachheit halber ein Programm welches eine Ausgabe INFECT erzeugen kann. Virenprogramme müssen also nicht unbedingt bei jeder Eingabe das System infizieren! Ein Virenerkenner darf kein harmloses Programm als Virus klassifizieren! Nico Döttling Übung November 26, /21

27 Beispiel: Virenerkenner Ein Virenerkenner ist ein Programm T das für ein beliebiges Programm M entscheiden kann ob dieses ein Virus ist oder nicht. Was ist ein Virus? Sagen wir der Einfachheit halber ein Programm welches eine Ausgabe INFECT erzeugen kann. Virenprogramme müssen also nicht unbedingt bei jeder Eingabe das System infizieren! Ein Virenerkenner darf kein harmloses Programm als Virus klassifizieren! Nico Döttling Übung November 26, /21

28 Beispiel: Virenerkenner Ein Virenerkenner ist ein Programm T das für ein beliebiges Programm M entscheiden kann ob dieses ein Virus ist oder nicht. Was ist ein Virus? Sagen wir der Einfachheit halber ein Programm welches eine Ausgabe INFECT erzeugen kann. Virenprogramme müssen also nicht unbedingt bei jeder Eingabe das System infizieren! Ein Virenerkenner darf kein harmloses Programm als Virus klassifizieren! Nico Döttling Übung November 26, /21

29 Beispiel: Virenerkenner Ein Virenerkenner ist ein Programm T das für ein beliebiges Programm M entscheiden kann ob dieses ein Virus ist oder nicht. Was ist ein Virus? Sagen wir der Einfachheit halber ein Programm welches eine Ausgabe INFECT erzeugen kann. Virenprogramme müssen also nicht unbedingt bei jeder Eingabe das System infizieren! Ein Virenerkenner darf kein harmloses Programm als Virus klassifizieren! Nico Döttling Übung November 26, /21

30 Beispiel: Virenerkenner Lemma Es gibt keine Virenerkenner a a Der Fairness halber sei gesagt dass entsprechende Programme (Norton, Avira etc.) nicht als Virenerkenner sonder als Anti-Viren Software vermarktet werden Nico Döttling Übung November 26, /21

31 Beweis Annahme: Es gibt einen Virenerkenner T. Wir bauen uns den ultimativen Virus V. Turingmaschine V Hole eigene Beschreibung V. Simuliere T bei Eingabe V. Wenn T "Virus" ausgibt, dann gib Nichts aus Wenn T "kein Virus" ausgibt, dann gib INFECT aus Nico Döttling Übung November 26, /21

32 Beweis Annahme: Es gibt einen Virenerkenner T. Wir bauen uns den ultimativen Virus V. Turingmaschine V Hole eigene Beschreibung V. Simuliere T bei Eingabe V. Wenn T "Virus" ausgibt, dann gib Nichts aus Wenn T "kein Virus" ausgibt, dann gib INFECT aus Nico Döttling Übung November 26, /21

33 Beweis Annahme: Es gibt einen Virenerkenner T. Wir bauen uns den ultimativen Virus V. Turingmaschine V Hole eigene Beschreibung V. Simuliere T bei Eingabe V. Wenn T "Virus" ausgibt, dann gib Nichts aus Wenn T "kein Virus" ausgibt, dann gib INFECT aus Nico Döttling Übung November 26, /21

34 Beweis Ist V ein Virus? V ist Virus T klassifiziert V als Virus V gibt nie INFECT aus V ist kein Virus V ist kein Virus T klassifiziert V nicht als Virus V gibt INFECT aus V ist ein Virus Widerspruch! Nico Döttling Übung November 26, /21

35 Beweis Ist V ein Virus? V ist Virus T klassifiziert V als Virus V gibt nie INFECT aus V ist kein Virus V ist kein Virus T klassifiziert V nicht als Virus V gibt INFECT aus V ist ein Virus Widerspruch! Nico Döttling Übung November 26, /21

36 Beweis Ist V ein Virus? V ist Virus T klassifiziert V als Virus V gibt nie INFECT aus V ist kein Virus V ist kein Virus T klassifiziert V nicht als Virus V gibt INFECT aus V ist ein Virus Widerspruch! Nico Döttling Übung November 26, /21

37 Beweis Ist V ein Virus? V ist Virus T klassifiziert V als Virus V gibt nie INFECT aus V ist kein Virus V ist kein Virus T klassifiziert V nicht als Virus V gibt INFECT aus V ist ein Virus Widerspruch! Nico Döttling Übung November 26, /21

38 Beweis Ist V ein Virus? V ist Virus T klassifiziert V als Virus V gibt nie INFECT aus V ist kein Virus V ist kein Virus T klassifiziert V nicht als Virus V gibt INFECT aus V ist ein Virus Widerspruch! Nico Döttling Übung November 26, /21

39 Beweis Ist V ein Virus? V ist Virus T klassifiziert V als Virus V gibt nie INFECT aus V ist kein Virus V ist kein Virus T klassifiziert V nicht als Virus V gibt INFECT aus V ist ein Virus Widerspruch! Nico Döttling Übung November 26, /21

40 Beweis Ist V ein Virus? V ist Virus T klassifiziert V als Virus V gibt nie INFECT aus V ist kein Virus V ist kein Virus T klassifiziert V nicht als Virus V gibt INFECT aus V ist ein Virus Widerspruch! Nico Döttling Übung November 26, /21

41 Beweis Ist V ein Virus? V ist Virus T klassifiziert V als Virus V gibt nie INFECT aus V ist kein Virus V ist kein Virus T klassifiziert V nicht als Virus V gibt INFECT aus V ist ein Virus Widerspruch! Nico Döttling Übung November 26, /21

42 Beweis Ist V ein Virus? V ist Virus T klassifiziert V als Virus V gibt nie INFECT aus V ist kein Virus V ist kein Virus T klassifiziert V nicht als Virus V gibt INFECT aus V ist ein Virus Widerspruch! Nico Döttling Übung November 26, /21

43 Compiler Was sollen Compiler leisten? (Wikipedia) Übersetzen zwischen verschiedenen Programmiersprachen Elimination toten Programmcodes Erkennung unbenutzter Variablen Optimierung von Schleifen Nico Döttling Übung November 26, /21

44 Compiler Was sollen Compiler leisten? (Wikipedia) Übersetzen zwischen verschiedenen Programmiersprachen Elimination toten Programmcodes Erkennung unbenutzter Variablen Optimierung von Schleifen Nico Döttling Übung November 26, /21

45 Compiler Was sollen Compiler leisten? (Wikipedia) Übersetzen zwischen verschiedenen Programmiersprachen Elimination toten Programmcodes Erkennung unbenutzter Variablen Optimierung von Schleifen Nico Döttling Übung November 26, /21

46 Compiler Was sollen Compiler leisten? (Wikipedia) Übersetzen zwischen verschiedenen Programmiersprachen Elimination toten Programmcodes Erkennung unbenutzter Variablen Optimierung von Schleifen Nico Döttling Übung November 26, /21

47 Compiler Was sollen Compiler leisten? (Wikipedia) Übersetzen zwischen verschiedenen Programmiersprachen Elimination toten Programmcodes Erkennung unbenutzter Variablen Optimierung von Schleifen Nico Döttling Übung November 26, /21

48 Compiler Schön wäre doch ein Compiler der allen toten Programmcode entfernt, alle unbenutzten Variablen erkennt und alle Schleifen bestmöglich optimiert. Gehen wir davon aus dass die Quellsprache identsch mit der Zielsprache ist. Lemma Es gibt keine bestmöglich optimierenden Compiler Wird auch das "Compilerbauer werden nie arbeitslos"-theorem genannt (Goos) Nico Döttling Übung November 26, /21

49 Compiler Schön wäre doch ein Compiler der allen toten Programmcode entfernt, alle unbenutzten Variablen erkennt und alle Schleifen bestmöglich optimiert. Gehen wir davon aus dass die Quellsprache identsch mit der Zielsprache ist. Lemma Es gibt keine bestmöglich optimierenden Compiler Wird auch das "Compilerbauer werden nie arbeitslos"-theorem genannt (Goos) Nico Döttling Übung November 26, /21

50 Compiler Schön wäre doch ein Compiler der allen toten Programmcode entfernt, alle unbenutzten Variablen erkennt und alle Schleifen bestmöglich optimiert. Gehen wir davon aus dass die Quellsprache identsch mit der Zielsprache ist. Lemma Es gibt keine bestmöglich optimierenden Compiler Wird auch das "Compilerbauer werden nie arbeitslos"-theorem genannt (Goos) Nico Döttling Übung November 26, /21

51 Compiler Schön wäre doch ein Compiler der allen toten Programmcode entfernt, alle unbenutzten Variablen erkennt und alle Schleifen bestmöglich optimiert. Gehen wir davon aus dass die Quellsprache identsch mit der Zielsprache ist. Lemma Es gibt keine bestmöglich optimierenden Compiler Wird auch das "Compilerbauer werden nie arbeitslos"-theorem genannt (Goos) Nico Döttling Übung November 26, /21

52 Compiler Sei C ein optimaler Compiler (berechnet Funktion c), der ein Programm auf seine minimale Repräsentation abbildet und immer terminiert. Turingmaschine W Eingabe w Hole eigene Beschreibung W Zähle alle Turingmaschinen M auf und simuliere C bei Eingabe M. Sei N die Ausgabe von C. Falls das Programm N länger ist als W verlasse die Aufzählschleife. Simuliere N bei Eingabe w und gib aus was immer N ausgibt Nico Döttling Übung November 26, /21

53 Compiler Sei C ein optimaler Compiler (berechnet Funktion c), der ein Programm auf seine minimale Repräsentation abbildet und immer terminiert. Turingmaschine W Eingabe w Hole eigene Beschreibung W Zähle alle Turingmaschinen M auf und simuliere C bei Eingabe M. Sei N die Ausgabe von C. Falls das Programm N länger ist als W verlasse die Aufzählschleife. Simuliere N bei Eingabe w und gib aus was immer N ausgibt Nico Döttling Übung November 26, /21

54 Compiler Sei M 0 die Maschine für welche die Schleife Verlassen wird. C gibt bei Eingabe M 0 die Beschreibung N aus. W berechnet die selbe Funktion wie N aber ist kürzer. C ist also nicht optimal. Widerspruch! Nico Döttling Übung November 26, /21

55 Compiler Sei M 0 die Maschine für welche die Schleife Verlassen wird. C gibt bei Eingabe M 0 die Beschreibung N aus. W berechnet die selbe Funktion wie N aber ist kürzer. C ist also nicht optimal. Widerspruch! Nico Döttling Übung November 26, /21

56 Compiler Sei M 0 die Maschine für welche die Schleife Verlassen wird. C gibt bei Eingabe M 0 die Beschreibung N aus. W berechnet die selbe Funktion wie N aber ist kürzer. C ist also nicht optimal. Widerspruch! Nico Döttling Übung November 26, /21

57 Compiler Sei M 0 die Maschine für welche die Schleife Verlassen wird. C gibt bei Eingabe M 0 die Beschreibung N aus. W berechnet die selbe Funktion wie N aber ist kürzer. C ist also nicht optimal. Widerspruch! Nico Döttling Übung November 26, /21

58 Der fleißige Biber 1962 hat Tibor Rado folgende Funktion betrachtet Σ(n) = max{k M hat n Zustände und erzeugt k mal 1 } Wir sagen TM M mit Bandalphabet Γ = {0, 1} erzeugt k mal 1 wenn M mit leerem Band startet, nach endlich vielen Schritten terminiert und dann k mal das Zeichen 1 auf dem Band steht. Nico Döttling Übung November 26, /21

59 Der fleißige Biber 1962 hat Tibor Rado folgende Funktion betrachtet Σ(n) = max{k M hat n Zustände und erzeugt k mal 1 } Wir sagen TM M mit Bandalphabet Γ = {0, 1} erzeugt k mal 1 wenn M mit leerem Band startet, nach endlich vielen Schritten terminiert und dann k mal das Zeichen 1 auf dem Band steht. Nico Döttling Übung November 26, /21

60 Der fleißige Biber Theorem (Rado) Σ(n) wächst schneller als jede berechenbare Funktion Wie hat man sich das vorzustellen? n # TMs Σ(n) , , > 4, Nico Döttling Übung November 26, /21

61 Der fleißige Biber Theorem (Rado) Σ(n) wächst schneller als jede berechenbare Funktion Wie hat man sich das vorzustellen? n # TMs Σ(n) , , > 4, Nico Döttling Übung November 26, /21

62 Der fleißige Biber Theorem (Rado) Σ(n) wächst schneller als jede berechenbare Funktion Wie hat man sich das vorzustellen? n # TMs Σ(n) , , > 4, Nico Döttling Übung November 26, /21

63 Der fleißige Biber Theorem (Rado) Σ(n) wächst schneller als jede berechenbare Funktion Wie hat man sich das vorzustellen? n # TMs Σ(n) , , > 4, Nico Döttling Übung November 26, /21

64 Der fleißige Biber Theorem (Rado) Σ(n) wächst schneller als jede berechenbare Funktion Wie hat man sich das vorzustellen? n # TMs Σ(n) , , > 4, Nico Döttling Übung November 26, /21

65 Der fleißige Biber Theorem (Rado) Σ(n) wächst schneller als jede berechenbare Funktion Wie hat man sich das vorzustellen? n # TMs Σ(n) , , > 4, Nico Döttling Übung November 26, /21

66 Der fleißige Biber Theorem (Rado) Σ(n) wächst schneller als jede berechenbare Funktion Wie hat man sich das vorzustellen? n # TMs Σ(n) , , > 4, Nico Döttling Übung November 26, /21

67 Der fleißige Biber Theorem (Rado) Σ(n) wächst schneller als jede berechenbare Funktion Wie hat man sich das vorzustellen? n # TMs Σ(n) , , > 4, Nico Döttling Übung November 26, /21

68 Beweis Annahme: Es gibt eine berechenbare Funktion f(n) die mindestens so stark wächst wie Σ(n) d.h. n N : f(n) Σ(n). Dann gibt es auch eine berechenbare Funktion h(n) die echt stärker wächst als Σ(n). Setze z.b. h(n) = f(n) 2. Da h(n) berechenbar, gibt es TM H die h(n) berechnet. Wir betrachten folgende Turingmaschine, die mit leerem Band startet. Turingmaschine M Hole eigene Beschreibung M. Setze n 0 = # Zustände von M. Simuliere H mit Eingabe n 0. Gib Ergebnis k 0 von H aus (Schreibe k 0 mal 1 auf das Band). Nico Döttling Übung November 26, /21

69 Beweis Annahme: Es gibt eine berechenbare Funktion f(n) die mindestens so stark wächst wie Σ(n) d.h. n N : f(n) Σ(n). Dann gibt es auch eine berechenbare Funktion h(n) die echt stärker wächst als Σ(n). Setze z.b. h(n) = f(n) 2. Da h(n) berechenbar, gibt es TM H die h(n) berechnet. Wir betrachten folgende Turingmaschine, die mit leerem Band startet. Turingmaschine M Hole eigene Beschreibung M. Setze n 0 = # Zustände von M. Simuliere H mit Eingabe n 0. Gib Ergebnis k 0 von H aus (Schreibe k 0 mal 1 auf das Band). Nico Döttling Übung November 26, /21

70 Beweis Annahme: Es gibt eine berechenbare Funktion f(n) die mindestens so stark wächst wie Σ(n) d.h. n N : f(n) Σ(n). Dann gibt es auch eine berechenbare Funktion h(n) die echt stärker wächst als Σ(n). Setze z.b. h(n) = f(n) 2. Da h(n) berechenbar, gibt es TM H die h(n) berechnet. Wir betrachten folgende Turingmaschine, die mit leerem Band startet. Turingmaschine M Hole eigene Beschreibung M. Setze n 0 = # Zustände von M. Simuliere H mit Eingabe n 0. Gib Ergebnis k 0 von H aus (Schreibe k 0 mal 1 auf das Band). Nico Döttling Übung November 26, /21

71 Beweis Annahme: Es gibt eine berechenbare Funktion f(n) die mindestens so stark wächst wie Σ(n) d.h. n N : f(n) Σ(n). Dann gibt es auch eine berechenbare Funktion h(n) die echt stärker wächst als Σ(n). Setze z.b. h(n) = f(n) 2. Da h(n) berechenbar, gibt es TM H die h(n) berechnet. Wir betrachten folgende Turingmaschine, die mit leerem Band startet. Turingmaschine M Hole eigene Beschreibung M. Setze n 0 = # Zustände von M. Simuliere H mit Eingabe n 0. Gib Ergebnis k 0 von H aus (Schreibe k 0 mal 1 auf das Band). Nico Döttling Übung November 26, /21

72 Beweis M hält immer, da h(n) berechenbar und damit H immer hält. M hat n 0 Zustände. Nach Definition von Σ(n) gilt k 0 Σ(n 0 ) Es gilt aber auch n N : h(n) > Σ(n). Das macht zusammen h(n 0 ) = k 0 Σ(n 0 ) < h(n 0 ). Widerspruch! Nico Döttling Übung November 26, /21

73 Beweis M hält immer, da h(n) berechenbar und damit H immer hält. M hat n 0 Zustände. Nach Definition von Σ(n) gilt k 0 Σ(n 0 ) Es gilt aber auch n N : h(n) > Σ(n). Das macht zusammen h(n 0 ) = k 0 Σ(n 0 ) < h(n 0 ). Widerspruch! Nico Döttling Übung November 26, /21

74 Beweis M hält immer, da h(n) berechenbar und damit H immer hält. M hat n 0 Zustände. Nach Definition von Σ(n) gilt k 0 Σ(n 0 ) Es gilt aber auch n N : h(n) > Σ(n). Das macht zusammen h(n 0 ) = k 0 Σ(n 0 ) < h(n 0 ). Widerspruch! Nico Döttling Übung November 26, /21

75 Beweis M hält immer, da h(n) berechenbar und damit H immer hält. M hat n 0 Zustände. Nach Definition von Σ(n) gilt k 0 Σ(n 0 ) Es gilt aber auch n N : h(n) > Σ(n). Das macht zusammen h(n 0 ) = k 0 Σ(n 0 ) < h(n 0 ). Widerspruch! Nico Döttling Übung November 26, /21

76 Beweis M hält immer, da h(n) berechenbar und damit H immer hält. M hat n 0 Zustände. Nach Definition von Σ(n) gilt k 0 Σ(n 0 ) Es gilt aber auch n N : h(n) > Σ(n). Das macht zusammen h(n 0 ) = k 0 Σ(n 0 ) < h(n 0 ). Widerspruch! Nico Döttling Übung November 26, /21