Theoretische Grundlagen der Informatik

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1 Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 17.November 2011 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Definition Zu w {0, 1} sei T w die Turing-Maschine mit der Gödelnummer (GN) w, bzw die Turing-Maschine, die akzeptiert. Es sei L(T w ) ist die Sprache, die von T w akzeptiert wird Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

3 Die Diagonalsprache Wir konstruieren die sogenannte Diagonalsprache L d, wie folgt: Betrachte die Wörter aus {0, 1} in kanonischer Reihenfolge, d.h. w i steht vor w j (i < j), falls w i < w j, oder w i = w j und w i lexikographisch vor w j steht. M j sei die TM, die durch die Gödelnummer w j kodiert ist. Wir konstruieren eine unendliche Tabelle, an deren Position (i, j) für 1 i, j < eine Null oder eine Eins steht, und welche beinhaltet, ob w i in L(M j ) ist. Damit gilt für die Einträge { 1 falls M (i, j) = j w i akzeptiert 0 sonst Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

4 Die Diagonalsprache Damit gilt für die Einträge { 1 falls M (i, j) = j w i akzeptiert 0 sonst Definiere dazu L d := {w i M i akzeptiert w i nicht}. L d enthält also alle w i, für die auf der Diagonalen an der Stelle (i, i) eine Null steht. Dies führt später zu einem Diagonalbeweis (Cantor) Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

5 Die Diagonalsprache - Veranschaulichung w {0, 1} Gödelnummer w i w j w k.. w i w i L d w j w j L d w k w k L d Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

6 Unentscheidbarkeit der Diagonalsprache Satz (Unentscheidbarkeit der Diagonalsprache): Die Sprache L d ist nicht entscheidbar Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

7 Unentscheidbarkeit der Diagonalsprache Satz (Unentscheidbarkeit der Diagonalsprache): Die Sprache L d ist nicht entscheidbar. Beweis: Falls L d entscheidbar ist, gibt es eine Turing-Maschine M i, die (1) stets hält (2) genau die w L d akzeptiert. Wende nun M i auf w i an: Falls w i L d, dann wird w i, wegen (2) von M i akzeptiert. Falls w i L d, dann akzeptiert M i das Wort w i wegen (2) nicht. Beides ist ein Widerspruch zur Definition von L d Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

8 Korollar Korollar Die Sprache L c d := {0, 1} \L d ist nicht entscheidbar Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

9 Korollar Korollar Die Sprache L c d := {0, 1} \L d ist nicht entscheidbar. Beweis: Falls L c d entscheidbar ist, gibt es eine Turing-Maschine, die Lc d entscheidet. Diese kann aber leicht zu einer Turing-Maschine modifiziert werden, die L d entscheidet. Dies ist ein Widerspruch zur Unentscheidbarkeit der Diagonalsprache Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

10 Korollar Korollar Die Sprache L c d := {0, 1} \L d ist nicht entscheidbar. Beweis: Falls L c d entscheidbar ist, gibt es eine Turing-Maschine, die Lc d entscheidet. Diese kann aber leicht zu einer Turing-Maschine modifiziert werden, die L d entscheidet. Dies ist ein Widerspruch zur Unentscheidbarkeit der Diagonalsprache. Interpretation: Das Problem, ob eine Turing-Maschine auf einer Eingabe w stoppt, ist nicht entscheidbar Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

11 Das Halteproblem Das Halteproblem definiert folgende Sprache H := {wv T w hält auf der Eingabe v}. Satz (Unentscheidbarkeit des Halteproblems): H ist nicht entscheidbar Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

12 Das Halteproblem Satz (Unentscheidbarkeit des Halteproblems): H = {wv T w hält auf der Eingabe v} ist nicht entscheidbar. Beweis: Angenommen es existiert eine stets haltende Turing-Maschine, die H entscheidet. Wir konstruieren daraus eine stets haltende Turing-Maschine, die L c d entscheidet, mit Widerspruch zum letzten Korollar. Sei w eine Eingabe, für die wir entscheiden wollen, ob w L c d. Wir können wie folgt vorgehen: Berechne das i, so dass w = w i ist. Betrachte die durch w i kodierte Turing-Maschine M i. Wende die Turing-Maschine für H auf M i w i an Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

13 Das Halteproblem Satz (Unentscheidbarkeit des Halteproblems): H = {wv T w hält auf der Eingabe v} ist nicht entscheidbar. Sei w eine Eingabe, für die wir entscheiden wollen, ob w L c d. Wir können wie folgt vorgehen: Berechne das i, so dass w = w i ist. Betrachte die durch w i kodierte Turing-Maschine M i. Wende die Turing-Maschine für H auf M i w i an. Wir machen folgende Fallunterscheidung: Falls M i w i nicht akzeptiert wird, dann hält M i nicht auf w i. Nach Definition von H ist also w i L d und damit w i L c d. Falls M i w i akzeptiert wird, dann hält M i auf w i. Dann können wir auf der universellen Turing-Maschine die Berechnung von M i auf w i simulieren Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

14 Die Universelle Sprache Die universelle Sprache L u über {0, 1} ist definiert durch L u := {wv v L(T w )}. L u ist also die Menge aller Wörter wv für die T w bei der Eingabe v hält und v akzeptiert. Satz (Unentscheidbarkeit der Universellen Sprache): Die Sprache L u ist nicht entscheidbar Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

15 Die Universelle Sprache Satz (Unentscheidbarkeit der Universellen Sprache): Die Sprache L u := {wv v L(T w )} ist nicht entscheidbar. Beweis: Wir zeigen, dass L u eine Verallgemeinerung von L c d ist. Wir nehmen an, dass es eine TM gibt, die L u entscheidet. Dann zeigen wir, dass wir damit auch L c d entscheiden können. Wir gehen wie folgt vor: Berechne das i, für das w = w i. Betrachte die durch w i codierte Turing-Maschine M i. Wende die Turing-Maschine für L u auf M i w i an. Wäre L u entscheidbar, so auch L c d mit Widerspruch zum letzen Korollar Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

16 Die Universelle Sprache Satz (Semi-Entscheidbarkeit der Universellen Sprache): Die Sprache L u := {wv v L(T w )} ist semi-entscheidbar Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

17 Die Universelle Sprache Satz (Semi-Entscheidbarkeit der Universellen Sprache): Die Sprache L u := {wv v L(T w )} ist semi-entscheidbar. Beweis: Wir benutzen die universelle Turing-Maschine, mit der Eingabe wv: Falls T w die Eingabe v akzeptiert, geschieht dies nach endlich vielen Schritten und die universelle Turing-Maschine akzeptiert wv. Falls T w die Eingabe v nicht akzeptiert, wird wv von der universellen Turing-Maschine ebenfalls nicht akzeptiert. Dies ist unabhängig davon, ob die Simulation stoppt oder nicht Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

18 Die Universelle Sprache Satz (Semi-Entscheidbarkeit der Universellen Sprache): Die Sprache L u := {wv v L(T w )} ist semi-entscheidbar. Beweis: Wir benutzen die universelle Turing-Maschine, mit der Eingabe wv: Falls T w die Eingabe v akzeptiert, geschieht dies nach endlich vielen Schritten und die universelle Turing-Maschine akzeptiert wv. Falls T w die Eingabe v nicht akzeptiert, wird wv von der universellen Turing-Maschine ebenfalls nicht akzeptiert. Dies ist unabhängig davon, ob die Simulation stoppt oder nicht. Bemerkung: Die Begriffe entscheidbar und semi-entscheidbar unterscheiden sich tatsächlich Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

19 Satz von Rice - Motivation Wir haben bisher gezeigt, dass wir kein Programm schreiben können, das für ein Turing-Maschinen-Programm M und eine Eingabe w entscheidet, ob M auf der Eingabe w hält. Wir werden im folgenden sehen, dass wir aus einem Programm im allgemeinen keine nicht-trivialen Eigenschaften der von dem Programm realisierten Funktion ableiten können Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

20 Satz von Rice Satz (Satz von Rice): Sei R die Menge der von Turing-Maschinen berechenbaren Funktionen und S eine nicht-triviale Teilmenge von R ( = S = R). Dann ist die Sprache L(S) := { M M berechnet eine Funktion aus S} nicht entscheidbar Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

21 Satz von Rice Satz (Satz von Rice): Sei R die Menge der von Turing-Maschinen berechenbaren Funktionen und S eine nicht-triviale Teilmenge von R ( = S = R). Dann ist die Sprache L(S) := { M M berechnet eine Funktion aus S} nicht entscheidbar. Beweisskizze: Zeige: H ε := { M M hält auf der Eingabe ε} ist unentscheidbar Zeige: H c ε ist unentscheidbar Führe den Widerspruchsbeweis für die Unentscheidbarkeit von L(S): Konstruiere TM für H c ε unter Benutzung von TM M für L(S) Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

22 Bemerkungen zum Satz von Rice Der Satz von Rice hat weitreichende Konsequenzen: Es ist für Programme nicht entscheidbar, ob die durch sie definierte Sprache endlich, leer, unendlich oder ganz Σ ist. Wir haben hier nur die Unentscheidbarkeit von L d direkt bewiesen. Die anderen Beweise folgten dem folgenden Schema: Um zu zeigen, dass ein Problem A unentscheidbar ist, zeigen wir, wie man mit einem Entscheidungsverfahren für A ein bekanntermaßen unentscheidbares Problem B entscheiden kann. Dies liefert den gewünschten Widerspruch Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

23 Das Post sche Korrespondenzproblem Post sches Korrespondenzproblems Gegeben ist endliche Folge von Wortpaaren K = ((x 1, y 1 ),..., (x n, y n )) über einem endlichen Alphabet Σ. Es gilt x i = ε und y i = ε. Gefragt ist, ob es eine endliche Folge von Indizes i 1,..., i k {1,..., n} gibt, so dass x i1... x ik = y i1... y ik gilt. Beispiele K = ((1, 111), (10111, 10), (10, 0)) hat die Lösung (2, 1, 1, 3), denn es gilt: x 2 x 1 x 1 x 3 = = y 2 y 1 y 1 y 3 K = ((10, 101), (011, 11), (101, 011)) hat keine Lösung K = ((001, 0), (01, 011), (01, 101), (10, 001)) hat eine Lösung der Länge Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

24 Das Post sche Korrespondenzproblem Satz (Unentscheidbarkeit des PKP): Das Post sche Korrespondezproblem ist nicht entscheidbar Beweis: Beweis über Nicht-Entscheidbarkeit des Halteproblems Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

25 Eigenschaften von (semi-)entscheibaren Sprachen Die entscheidbaren Sprachen sind abgeschlossen unter Komplementbildung, Schnitt und Vereinigung. Die semi-entscheidbaren Sprachen sind abgeschlossen unter Schnitt und Vereinigung, aber nicht unter Komplementbildung. Satz: Sei L Σ und L c = Σ \ L. Dann gilt L entscheidbar gdw L c entscheidbar. L und L c semientscheidbar gdw L entscheidbar. Beweis: Übung und Tutorien Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE