Wie viel Mathematik kann ein Computer?

Transkript

1 Wie viel Mathematik kann ein Computer? Die Grenzen der Berechenbarkeit Dr. Daniel Borchmann Wie viel Mathematik kann ein Computer? / 1

2 Mathematik und Computer Computer sind schon praktisch, denn sie können... Rechnen, besser als wir alle zusammen; Gleichungssysteme lösen; Differentialgleichungen lösen; ein bisschen beweisen; besser Schach spielen; besser Jeopardy spielen;... Jetzt könnte man fragen... Gibt es etwas, was sie nie können werden? Wie viel Mathematik kann ein Computer? / 1

3 Wie viel Mathematik kann ein Computer? Frage 1 Kann ein Computer alles ausrechnen, was man sich vorstellen kann? Frage 2 Kann ein Computer alles beweisen, was man sich vorstellen kann? Wie viel Mathematik kann ein Computer? / 1

4 Hilberts 23 Probleme Eine kleine Zeitreise Anfang des 20. Jahrhunderts stellt David Hilbert eine Liste von 23 ungelösten Problemen vor, die er für die wichtigsten der Mathematik hält. Kontinuumshypothese (1.) Gibt es eine Menge, die größer ist als N, aber kleiner als R? Konsistenz der Arithmetik (2.) Gibt es Widersprüche in der Arithmetik? Riemann-Hypothese (8.) Haben alle nicht-trivialen Nullstellen der ζ-funktion Realteil 1{2? Diophantische Gleichungen (10.) Gibt es einen Algorithmus, der entscheidet, ob eine Diophantische Gleichung eine Lösung besitzt? Wie viel Mathematik kann ein Computer? / 1

5 Diophantische Gleichungen Eine Diophantische Gleichung ist eine algebraische Gleichung mit mindestens zwei Unbekannten, in der die Unbekannten nur ganzzahlig sein dürfen: Ppx 1,..., x n q 0 wobei Ppx 1,..., x n q ein ganzzahliges Polynom ist, und x 1,..., x n nur Werte in Z annehmen dürfen. Beispiele Fermats Letzter Satz: Für n ą 2 gibt es keine ganzzahligen Lösungen von x n ` y n z n 0. Pells Gleichung: Finde für n P N ganzzahlige Lösungen von x 2 ny 2 1. Wie viel Mathematik kann ein Computer? / 1

6 Hilberts 10. Problem Gibt es einen Algorithmus, der, gegeben ein ganzzahliges Polynom Ppx 1,..., x n q, entscheidet, ob die Diophantische Gleichung eine ganzzahlige Lösung hat? Ppx 1,..., x n q 0 Satz (Davis, Matiyasevich, Putnam, und Robinson, ) Solch einen Algorithmus gibt es nicht. Ein Computer wird also niemals alle Diophantischen Gleichungen lösen können! Achtung! Das bedeutet aber nicht, dass der Computer gar keine Diophantische Gleichung lösen kann! (Ñ Pells Gleichung) Wie viel Mathematik kann ein Computer? / 1

7 Das Entscheidungsproblem Das Entscheidungsproblem (Hilbert und Ackermann, 1928) Gibt es einen Algorithmus, der, gegeben eine Formel φ und eine Menge von Axiomen A, feststellt, ob φ aus A folgt? Beispiel Satz (Church, Turing, 1936) A x ě y. x ` y y ` x ` y 0 u φ p@xdy. x ` y ě 0q. Solch einen Algorithmus gibt es nicht. Computer können also nicht automatisch beweisen! Wie viel Mathematik kann ein Computer? / 1

8 Wieso ist das so? Fragen über Fragen! Wie kann man so etwas eigentlich beweisen? Was ist eigentlich ein Algorithmus? c National Portrait Gallery, London Wie viel Mathematik kann ein Computer? / 1

9 Was braucht man für einen Computer? Turingmaschinen eine endliche Menge Σ von Symbolen (für Ein- und Ausgabe) eine endliche Menge Q von Zuständen eine endliche Menge F Ď Q von Endzuständen einen Initialzustand q 0 P Q eine Übergangsfunktion δ Beispiel q 1 δpq 1, aq pq 2, b, Lq pq 2, b, R... a b b c a... Wie viel Mathematik kann ein Computer? / 1

10 Turingmaschinen Turingmaschinen modellieren das Verhalten unserer Computer sehr gut ein Algorithmus ist jetzt nichts anderes als eine Turingmaschine: die Eingabe wird auf das Band geschrieben die Turingmaschine arbeitet diese Eingabe ab, bis sie einen finalen Zustand erreicht der Inhalt des Bandes ist dann die Ausgabe des Algorithmus Wir müssen also zeigen Es gibt keine Turingmaschine, die für eine Diophantische Gleichung als Eingabe entscheidet (z.b. indem sie eine 0 oder 1 auf das Band schreibt), ob diese Gleichung eine Lösung hat. für eine gegebene Formel φ und eine gegebene Menge A von Axiomen entscheidet, ob φ aus A folgt. Wie viel Mathematik kann ein Computer? / 1

11 Beweisstrategie Abstrakt Wir wollen zeigen, dass ein Problem Q nicht durch einen Algorithmus entscheidbar ist. Idee Frage Finde ein Problem P, für das bekannt ist, dass es keine Turingmaschine gibt, die P entscheidet. Zeige: wenn für Q ein Algorithmus existiert, dann existiert auch einer für P. (Widerspruch!) Was ist solch ein Problem P? Wie viel Mathematik kann ein Computer? / 1

12 Das Halteproblem Beobachtung Turingmaschinen lassen sich durch eine endliche Folge von Zeichen darstellen. Das Halteproblem Gegeben eine Turingmaschine M und eine Eingabe w. Erreicht dann M mit der Eingabe w den finalen Zustand, d.h. hält M mit Eingabe w? Wie viel Mathematik kann ein Computer? / 1

13 Die Unentscheidbarkeit der Halteproblems Frage Wie zeigen wir, dass es keine Turingmaschine gibt, die das Halteproblem entscheidet? Versuch Mittels Widerspruchsbeweis! Annahme Angenommen, es gibt eine Turingmaschine H mit # 1 falls Mpwq hält, HpM, wq 0 sonst. Wir wollen argumentieren, dass dann Unsinn passiert! Wie viel Mathematik kann ein Computer? / 1

14 Die Unentscheidbarkeit des Halteproblems Eine neue Maschine M M w H hält hält nicht 1Endlosschleife 0 Stopp H 1 Idee: Selbstreferenz! Was passiert, wenn ich H 1 auf H 1 anwende? Angenommen, H 1 ph 1 q hält. Dann ist HpH 1, H 1 q 1. Also hält H 1 ph 1 q nicht, Widerspruch! Angenommen, H 1 ph 1 q hält nicht. Dann ist HpH 1, H 1 q 0. Also hält H 1 ph 1 q, Widerspruch! Aber das ist Unsinn, denn H 1 ph 1 q muss entweder halten, oder nicht! Also kann es H nicht geben! Wie viel Mathematik kann ein Computer? / 1

15 Vom Halteproblem zur Unentscheidbarkeit der Welt! Unsere bekannten Probleme Mit ein wenig Arbeit kann gezeigt werden: Falls das Entscheidungsproblem entscheidbar wäre, dann wäre auch das Halteproblem entscheidbar. Mit viel mehr Arbeit kann dies auch für das Lösen Diophantischer Gleichungen getan werden. Weitere unentscheidbare Probleme Posts Korrespondenzproblem Kolmogorov-Komplexität Äquivalenz von Computerprogrammen Gleichheit reeller Zahlen Tiling-Problem (Wang Tiles)... Wie viel Mathematik kann ein Computer? / 1