Das Halteproblem. Ein unlösbares Problem der Informatik - 1 -

Transkript

1 1 Ein unlösbares Problem der Informatik - 1 -

2 Endlosschleifen 2 Beispiel: input x; while(x 0) { x = x+1; } Wenn man für x eine negative Zahl eingibt, hält das Programm an. nichtnegative Zahl eingibt, hält das Programm nie an ( Endlosschleife )

3 Endlosschleifen 3 Programm M Gegeben: Programm M (im Rechner) Input Daten (auf Diskette in Laufwerk A). Frage: Hält M mit Input an oder läuft es in eine Endlosschleife? Problem: Einfach M mit Input laufen lassen geht nicht, weil man nie weiß, ob man in einer Endlosschleife steckt oder ob das Programm doch noch irgendwann anhält

4 Halteproblem 4 Halteproblem: Schreiben Sie ein Programm H, das von jedem Programm M, und jedem Input entscheidet, ob M mit hält. Programm H 1 wenn M mit Input hält B: M 0 wenn M mit Input nicht hält Unlösbarkeit des Halteproblems: So ein Programm H gibt es nicht! - 4 -

5 Ein Versuch... 5 Programm H 1 wenn Programm M mit Input hält B: M 0 wenn Programm M mit Input nicht hält Versuch für Programm H Lade M von Laufwerk B. Starte M. Wenn M hält, gebe 1 aus. Wenn M nicht hält, gebe 0 aus. Problem: Wenn M nicht hält, dann hält auch H nicht. Daher wird H nie 0 ausgeben

6 Beweis durch Widerspruch 6 Programm H 1 wenn Programm M mit Input hält M B: 0 wenn Programm M mit Input nicht hält Angenommen es ist gelungen, Programm H zu schreiben. Dann kann man damit folgendes Programm R entwickeln: Programm R Kopiere Laufwerk A nach B. Führe Programm H aus. Wenn dessen Ergebnis 1 ist, dann starte eine Endlosschleife, sonst halte an

7 Beweis durch Widerspruch 7 Programm R Kopiere Laufwerk A nach B Führe Programm H aus: 1 wenn Programm mit Input hält B: 0 wenn Programm mit Input nicht hält Was macht R eigentlich? Wenn Ergebnis = 1, dann starte Endlosschleife. Wenn Ergebnis = 0, dann halte an. Rückbezüglichkeit Das Programm auf Diskette A soll sich selbst als Input verarbeiten. Wenn das hält, dann gehe in eine Endlosschleife, sonst halte an. Negation R hält mit Input genau dann wenn mit Input nicht hält

8 Beweis durch Widerspruch 8 Wir speichern Programm R auf einer Diskette. R Was passiert, wenn wir diese Diskette in Laufwerk A einlegen und Programm R starten? Programm R R - 8 -

9 Beweis durch Widerspruch 9 Programm R R Kopiere Laufwerk A nach B Führe Programm H aus: R 1 wenn Programm R mit Input R hält B: R 0 wenn Programm R mit Input R nicht hält Wenn Ergebnis = 1, dann starte Endlosschleife. Wenn Ergebnis = 0, dann halte an. Annahme: R mit Input R hält Dann muss Ergebnis von H gleich 0 gewesen sein. Das heißt: R mit Input R hält nicht. Widerspruch! Annahme: R mit Input R hält nicht Dann muss Ergebnis von H gleich 1 gewesen sein. Das heißt: R mit Input R hält. Widerspruch! - 9 -

10 Konsequenz 10 Konsequenz Ein Programm H, welches das Halteproblem löst, gibt es nicht! In der Informatik gibt es noch viele andere, praktisch relevante Probleme, die unentscheidbar sind. Es gibt z.b. auch kein Programm, das von prädikatenlogischen Formeln entscheidet, ob sie wahr oder falsch sind

11 Konsequenz 11 Woran liegt s? Zu wenig Speicher? Wir haben keine Annahme gemacht, dass der verfügbare Speicher begrenzt ist. Zu wenig Rechenleistung? Wir haben auch keine Annahme gemacht, dass die zur Verfügung stehende Rechenzeit für H begrenzt ist. Die falsche Programmiersprache? Von der Programmiersprache haben wir nur vorausgesetzt, dass man mit ihr Endlosschleifen schreiben kann und dass sie ein if/else Konstrukt hat. Das gilt aber für alle gängigen Programmiersprachen wie C, Java, Pascal, Assembler,