Turingmaschinen. und eine kleine Einführung in Bereiche der theoretischen Informatik

Transkript

1 Turingmaschinen und eine kleine Einführung in Bereiche der theoretischen Informatik

2 Gliederung Einführung Leben Alan Turing Theoretische Informatik Turingmaschine Aufbau, Definition Beispiele Game of Life

3 Turing war Mathematiker Lösbarkeit, wie zeigen, dass nicht lösbar? Hilbert 1900 Liste ungelöster mathematischer Problem widerlegt von Kurt Gödel Unvollständigkeitssatz jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig Turing: Maschine entwickeln, die Unlösbarkeit eines Problems beweisen kann

4 Alan Turing 23. Juni 1912 in London geboren Studium in Cambridge 1936 On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem 1950 Turingtest 7. Juni 1954 Selbstmord

5 Die Turingmaschine ist ein vom britischen Mathematiker Alan Turing 1936 entwickeltes Modell, um eine Klasse von berechenbaren Funktionen zu bilden

6 Entscheidbarkeit wundersame Zahlen: wenn ungerade, dann *3 +1 wenn gerade, dann halbieren Teilmenge T einer Menge M entscheidbar, wenn : berechenbar ist Funktion ist berechenbar, wenn es einen Algorithmus gibt, der die Funktion berechnet

7 Die Turingmaschine ist ein vom britischen Mathematiker Alan Turing 1936 entwickeltes Modell, um eine Klasse von berechenbaren Funktionen zu bilden

8 Church-Turing Turing-TheseThese Die Klasse der Turing-berechenbaren Funktionen ist genau die Klasse der intuitiv berechenbaren Funktionen Nicht beweisbar 1954 Hans Hermes Beweis, das von-neumann Neumann- Rechenmaschinen turingvollständig sind

9 Das Halteproblem Ziel: Algorithmus finden ob ein Programm hält Eingabe: Programm P und Eingabewert E Stoppt (P,E) Ausgabe hält Ausgabe hält nicht und anhalten und anhalten

10 Das Halteproblem (2) Jetzt Algorithmus schreiben, der Existenz von Stopp-Tester voraussetzt Modul seltsam (P,E) Falls Stopp-Tester (P,E) hält nicht ausgibt dann stoppe sonst endlosschleife

11 Das Halteproblem (3) Jetzt als Eingabe das Programm selbst nehmen Fall 1: Programm hält an, dann Stopp-Tester liefert Hält nicht und es dürfte eigentlich nicht anhalten Fall 2: Programm hält nicht an, dann liefert Stopp-Tester Hält und es müsste eigentlich anhalten Dieser Algorithmus existiert nicht

12 Die Turingmaschine Aufbau Arbeitsband Lese-/Schreibkopf Steuereinheit

13 Aufbau Arbeitsband unendlich lang in einzelne Felder unterteilt, die genau ein Zeichen enthalten Les-und Schreibekopf befindet sich immer über genau einem Feld Steuereinheit enthält Turingprogramm

14 1 f Formale Definition 7-Tupel M=(Q, Σ, Γ, δ,, q 0,, q f ) δ: : Überführungsfunktion : (Q\{q f }) x Γ Q x Γ x {L,0,R} Manchmal auch noch verwerfender Zustand in Definition enthalten, dafür aber kein Blank- Symbol

15 Beispiel einer einfachen TM Zustand reject (1,R,0) (2,R,1) reject (4,R,0) (3,R,0) reject (4,R,0) (2,R,1) accept

16 Die universelle Turingmaschine kann jede lösbare Aufgabe lösen Eingabe enthält Steuereinheit der zu simulierenden TM + Eingabe

17 Beispiel als universelle TM CCC0C1R0C11R1 CC0C1111R0C111R0 CC0C1111R0C11R1 CC0C0C0 CCC

18 Weitere Variationen/Einteilungen Mehrbandturingmaschinen entsprechen eher dem Modell des Von-Neumann Neumann-Rechners Lineare Turingmaschinen Orakelturingmaschinen

19 Game of life unendlich großes zweidimensionales Spielfeld Regeln: kleiner 2 lebende Nachbarzellen: Tod mehr als 3 lebende Nachbarzellen: Tod genau 3: Geburt

20 wichtige Objekte (1) stationäre Objekte 2x2-Block Eater oszillierende Objekte Blinker Toads

21 wichtige Objekte (2) bewegende Objekte Spaceships LWSS, MWSS, HWSS Glider

22 wichtige Objekte (3) unendliche Objekte guns Glider Gun Puffer Rake

23 Logische Operationen Not And

24 Game of life als universelle TM

25 Game of life als universelle TM 2001 von Paul Rendell gezeigt Speicherzellen