Logik und Beweisbarkeit

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1 Logik und Beweisbarkeit Einleitung Martin Mundhenk Univ. Jena, Institut für Informatik. Februar 0

2 Einleitung: U ber Sinn und Form Symbolisches Addieren Al-Chwarizmi (etwa 8 80) Problem: Was ist MMMDCCCXCIX plus CMLIV?? 0.0.

3 Einleitung: U ber Sinn und Form Symbolisches Addieren Al-Chwarizmi (etwa 8 80) Problem: Was ist MMMDCCCXCIX plus CMLIV?? Abhilfe: Dezimaldarstellung = eine Sprache fu r Zahlen erlaubt symbolisches Addieren

4 Additionen kann man puzzeln Grundwahrheiten (Axiome)... sind wie Puzzlestücke Regeln... korrektes Zusammenlegen zu einer schönen Form... Beispiel: + Jede korrekte Addition lässt sich puzzeln! 0.0.

5 Additionen kann man puzzeln Grundwahrheiten (Axiome)... sind wie Puzzlestücke Regeln... korrektes Zusammenlegen zu einer schönen Form... Beispiel: + Jede korrekte Addition lässt sich puzzeln! 0.0.

6 Additionen kann man puzzeln Grundwahrheiten (Axiome)... sind wie Puzzlestücke Regeln... korrektes Zusammenlegen zu einer schönen Form... Beispiel: + Jede korrekte Addition lässt sich puzzeln! 0.0.

7 Additionen kann man puzzeln Grundwahrheiten (Axiome)... sind wie Puzzlestücke Regeln... korrektes Zusammenlegen zu einer schönen Form... Beispiel: + Jede korrekte Addition lässt sich puzzeln! 0.0.

8 Additionen kann man puzzeln Grundwahrheiten (Axiome)... sind wie Puzzlestücke Regeln... korrektes Zusammenlegen zu einer schönen Form... Beispiel: + Jede korrekte Addition lässt sich puzzeln! 0.0.

9 Additionen kann man puzzeln Grundwahrheiten (Axiome)... sind wie Puzzlestücke Regeln... korrektes Zusammenlegen zu einer schönen Form... Beispiel: 0 + Jede korrekte Addition lässt sich puzzeln! 0.0.

10 Additionen kann man puzzeln Grundwahrheiten (Axiome)... sind wie Puzzlestücke Regeln... korrektes Zusammenlegen zu einer schönen Form... Beispiel: 0 + Jede korrekte Addition lässt sich puzzeln! 0.0.

11 Additionen kann man puzzeln Grundwahrheiten (Axiome)... sind wie Puzzlestücke Regeln... korrektes Zusammenlegen zu einer schönen Form... Beispiel: 0 + Jede korrekte Addition lässt sich puzzeln! 0.0.

12 Symbolische Logik und Mathematik Frege (88-) [Grundgesetze der Arithmetik (8, 0)] Satz: Es gibt unendlich viele Primzahlen. x y(x < y a, b(a b = y (a = b = ))) Beweis: Seien p,..., p n alle Primzahlen x. Dann besitzt q = p p... p n + kein p i als Primfaktor. Da jede nat. Zahl Produkt von Primfaktoren ist, gibt es also eine Primzahl y, die nicht zu p,..., p n gehört. Folglich gibt es unendlich viele Primzahlen. Freges These: Es gibt Axiome und Regeln, mit denen man jeden Satz der Arithmetik formal beweisen kann. Mathematik kann man puzzeln! 0.0.

13 Symbolische Logik und Mathematik Frege (88-) [Grundgesetze der Arithmetik (8, 0)] Satz: Es gibt unendlich viele Primzahlen. x y(x < y a, b(a b = y (a = b = ))) Beweis: Seien p,..., p n alle Primzahlen x. Dann besitzt q = p p... p n + kein p i als Primfaktor. Da jede nat. Zahl Produkt von Primfaktoren ist, gibt es also eine Primzahl y, die nicht zu p,..., p n gehört. Folglich gibt es unendlich viele Primzahlen. Freges These: Es gibt Axiome und Regeln, mit denen man jeden Satz der Arithmetik formal beweisen kann. Mathematik kann man puzzeln! 0.0.

14 0.0. Symbolische Logik und Mathematik Frege (88-), Russell (8-0), Whitehead (8-) [Principia Mathematica (0-... )]

15 Symbolische Logik und Mathematik Frege (88-), Russell (8-0), Whitehead (8-) [Principia Mathematica (0-... )]

16 Hilberts Programm (0) Hilbert (8-) Aufgabe : finde einen streng formalisierten Kalkül mit einfachen unmittelbar einleuchtenden Axiomen, der die Mathematik und Logik auf eine gemeinsame, nachweisbar konsistente Basis stellt d.h. finde die Puzzlestücke für das Mathe-Puzzle und beweise, dass das stimmt.

17 Gödels Unvollständigkeitssatz () Gödel (0-8) Hilberts Aufgabe hat keine Lösung! (Es gibt kein Mathe-Puzzle... )

18 Hilberts Programm (0) Hilbert (8-) Aufgabe : finde einen streng formalisierten Kalkül (Axiome & Regeln) mit einfachen unmittelbar einleuchtenden Axiomen, mit dem man jede wahre mathematische Aussage beweisen kann.

19 Hilberts Programm (0) Hilbert (8-) Aufgabe : finde ein Verfahren, mit dem man jede wahre mathematische Aussage beweisen kann.

20 Hilberts Entscheidungsproblem () Hilbert (8-) Aufgabe : finde ein Verfahren, mit dem man logische Formel für jede wahre mathematische Aussage beweisen kann, ob sie wahr oder falsch ist.

21 0.0.8 Hilberts Entscheidungsproblem () Hilbert (8-) Aufgabe : finde ein Verfahren, mit dem man logische Formel für jede wahre mathematische Aussage beweisen kann, ob sie wahr oder falsch ist.. Finde Puzzlestücke, aus denen man alle wahren logischen Formeln puzzeln kann.. Finde Puzzlestücke, aus denen man alle falschen logischen Formeln puzzeln kann.

22 0.0.8 Gödels Vollständigkeitssatz () Gödel (0-8) Aufgabe : finde ein Verfahren, mit dem man logische Formel für jede wahre mathematische Aussage beweisen kann, ob sie wahr oder falsch ist.. Finde Puzzlestücke, aus denen man alle wahren logischen Formeln puzzeln kann. (Vollständigkeitssatz, Gödel ). Finde Puzzlestücke, aus denen man alle falschen logischen Formeln puzzeln kann.

23 Turings Unvollständigkeitssatz () Turing (-) Hilberts Aufgabe. hat keine Lösung! (Es gibt kein Puzzle für die falschen logischen Formeln.)

24 On computable numbers... () Turing (-) computing machines (Turing-Maschinen) was geht: berechenbare Zahlen TMen sind programmierbar was geht nicht: das Halteproblem lösen wie man Unlösbarkeit zeigen kann: Reduktion vom Halteproblem zum Entscheidungsproblem wie s auch geht: äquivalente Maschinerie Sprache für Algorithmen Theorie der Berechenbarkeit

25 Inhalt der Vorlesung. Vollständigkeitssatz für einen Teil der Arithmetik Aussagenlogik (- Wochen) Natürliches Schließen & dessen Vollständigkeit (Σ -)Arithmetik ( Wochen) Natürliches Schließen & dessen (Un-)Vollständigkeit. Unvollständigkeitssatz der Arithmetik Berechenbarkeit, (Semi-)Entscheidbarkeit ( Wochen) Unvollständigkeit der Peano-Arithmetik ( Wochen) Umfassende Frage: was kann man mit welcher Sprache ausdrücken? Literatur: van Dalen: Logic and Structure (Springer Verlag, 008) Cutland: Computability (Cambridge University Press, ) Smith: An introduction to Gödel s theorems (Cambridge University Press, 0)

26 Inhalt der Vorlesung. Vollständigkeitssatz für einen Teil der Arithmetik Aussagenlogik (- Wochen) Natürliches Schließen & dessen Vollständigkeit (Σ -)Arithmetik ( Wochen) Natürliches Schließen & dessen (Un-)Vollständigkeit. Unvollständigkeitssatz der Arithmetik Berechenbarkeit, (Semi-)Entscheidbarkeit ( Wochen) Unvollständigkeit der Peano-Arithmetik ( Wochen) Umfassende Frage: was kann man mit welcher Sprache ausdrücken? Literatur: van Dalen: Logic and Structure (Springer Verlag, 008) Cutland: Computability (Cambridge University Press, ) Smith: An introduction to Gödel s theorems (Cambridge University Press, 0) 0.0.

27 Inhalt der Vorlesung. Vollständigkeitssatz für einen Teil der Arithmetik Aussagenlogik (- Wochen) Natürliches Schließen & dessen Vollständigkeit (Σ -)Arithmetik ( Wochen) Natürliches Schließen & dessen (Un-)Vollständigkeit. Unvollständigkeitssatz der Arithmetik Berechenbarkeit, (Semi-)Entscheidbarkeit ( Wochen) Unvollständigkeit der Peano-Arithmetik ( Wochen) Umfassende Frage: was kann man mit welcher Sprache ausdrücken? Literatur: van Dalen: Logic and Structure (Springer Verlag, 008) Cutland: Computability (Cambridge University Press, ) Smith: An introduction to Gödel s theorems (Cambridge University Press, 0) 0.0.

28 Formalien zur Vorlesung/Übung Vorlesung/Übung dienstags 8 Uhr, donnerstags Uhr Sprechstunde freitags 0 Uhr und nach Vereinbarung Zulassungsvoraussetzung zur Prüfung: erfolgreiche Bearbeitung der wöchentlichen Übungsaufgabe mündliche Prüfung in der vorlesungsfreien Zeit (Termin wird noch bekanntgegeben)