2.2 Reguläre Sprachen Endliche Automaten

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1 2.2.1 Endliche Automaten E I N G A B E Lesekopf endliche Kontrolle Signal für Endzustand Ein endlicher Automat liest ein Wort zeichenweise und akzeptiert oder verwirft. endlicher Automat Sprache der akzeptierten Wörter Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 182 / 311

2 Definition 2.11 Ein deterministischer endlicher Automat (DEA,DFA) M wird durch ein 5-Tupel (Z,Σ,δ, z 0, E) beschrieben: Z endliche Menge von (internen) Zuständen Σ endliches Eingabealphabet Z Σ = z 0 Z Startzustand E Z Menge der Endzustände δ : Z Σ Z Überführungsfunktion Beschreibung durch Zustandsgraph G = (Kn, Ka): Kn := Z Ka : δ(z 1, a) = z 2, so Kante von z 1 nach z 2 mit Beschriftung a. z 0 und E werden besonders markiert. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 183 / 311

3 Kapitel 2: Automatentheorie und Formale Sprachen Beispiel: M = (Z,Σ,δ, z 0, E) mit Z = {z 0, z 1, z 2, z 3 }, Σ = {a, b}, E = {z 3 } δ(z 0, a) = z 1, δ(z 0, b) = z 3 δ(z 1, a) = z 2, δ(z 1, b) = z 0 δ(z 2, a) = z 3, δ(z 2, b) = z 1 δ(z 3, a) = z 0, δ(z 3, b) = z 2 Zustandsgraph: z 3 a b z 2 a z 0 b b a b z 1 a Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 184 / 311

4 Beispiel (Forts.) Eingabe: aabaa a a b a a z 0 endliche Kontrolle Rechnung: z 0 a z1 a z2 b z1 a z2 a z3 Ergebnis: aabaa wird akzeptiert. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 185 / 311

10 Definition 2.12 Sei M = (Z,Σ,δ, z 0, E) ein DEA. Berechnungsfunktion ˆδ : Z Σ Z: ˆδ(z,ε) := z ˆδ(z, ax) := ˆδ(δ(z, a), x) für alle z Z, a Σ und x Σ. T(M) := { x Σ ˆδ(z 0, x) E } von M akzeptierte Sprache Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 186 / 311

11 Beachte: Seien z Z und a 1, a 2,...,a n Σ: ˆδ(z, a 1 a 2...a n ) = ˆδ(δ(z, a 1 ), a 2...a n ) = ˆδ(δ(δ(z, a 1 ), a 2 ), a 3...a n ) = δ(δ(...δ(δ(z, a 1 ), a 2 )...,a n 1 ), a n ) Für alle u, v Σ gilt: ˆδ(z, uv) = ˆδ(ˆδ(z, u), v) Beispiel: T(M) = { x Σ x a x b 3 mod 4} Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 187 / 311

12 Satz 2.13 Wird eine Sprache von einem DEA akzeptiert, so ist sie regulär (d.h. vom Typ 3). Beweis: Sei A Σ mit A = T(M) für einen DEA M = (Z,Σ,δ, z 0, E). Definiere Grammatik G := (V, Σ, P, S) wie folgt: V := Z, S := z 0, P := { z 1 az 2 δ(z 1, a) = z 2 } { z 1 a δ(z 1, a) = z 2 und z 2 E } Ist z 0 E, d.h. ε T(M), dann füge neues Startsymbol ẑ 0 und folgende Regeln ein: {ẑ 0 ε} und { ẑ 0 az 2 δ(z 0, a) = z 2 } und { ẑ 0 a δ(z 0, a) E}. Dann ist G vom Typ 3. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 188 / 311

13 Behauptung: x Σ + : x T(M) gdw. x L(G). Beweis: x = a 1 a 2...a n T(M) gdw. z 1,...,z n Z : z n E und δ(z i 1, a i ) = z i (1 i n) gdw. z 1,...,z n V : z 0 a 1 z 1... a 1...a n 1 z n 1 a 1...a n 1 a n gdw. x = a 1 a 2...a n L(G). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 189 / 311

14 Kapitel 2: Automatentheorie und Formale Sprachen Nichtdeterministische Automaten a z z a z Definition 2.14 Ein nichtdeterministischer endlicher Automat (NEA,NFA) M wird durch ein 5-Tupel (Z, Σ, δ, S, E) beschrieben: Z endliche Menge von (internen) Zuständen Σ endliches Eingabealphabet Z Σ = S Z Menge der Startzustände E Z Menge der Endzustände δ : Z Σ P(Z) Überführungsfunktion Beschreibung durch Zustandsgraph Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 190 / 311

15 Definition 2.15 Sei M = (Z,Σ,δ, S, E) ein NEA. Berechnungsfunktion ˆδ: P(Z) Σ P(Z): ˆδ(Z,ε) := Z für alle Z Z ˆδ(Z, ax) := ˆδ(δ(z, a), x) für alle Z Z, a Σ und x Σ. z Z T(M) := { x Σ ˆδ(S, x) E } von M akzeptierte Sprache Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 191 / 311

16 Beispiel: (a) M 1 : 0, z 0 z 1 z 2 Sei x := S = {z 0, z 1 } 1 {z 0 } 1 {z 0 } 0 {z 0, z 1 } 0 {z 0, z 1, z 2 } Also ist x T(M 1 ). Tatsächlich gilt: T(M 1 ) = { x {0, 1} x = 0 oder y {0, 1} : x = y00 }. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 192 / 311

17 (b) M 2 : a, b b a a z 0 z 1 z 2 z 3 T(M 2 ) = { w {a, b} w endet mit baa}. Ein DEA für diese Sprache: M 3 : a b b a a z 0 z 1 z 2 z 3 a b b Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 193 / 311

18 Bemerkung: Sei M = (Z,Σ,δ, S, E) ein NEA. ˆδ(S, a 1 a 2...a n ) = ˆδ(δ(z 0, a 1 ), a 2...a n ) Damit: z 0 S = z 0 S. = z 0 S z 1 δ(z 0,a 1 ) z 1 δ(z 0,a 1 ) ˆδ(δ(z 1, a 2 ), a 3...a n )... z n 1 δ(z n 2,a n 1 ) δ(z n 1, a n ) ˆδ(S, a 1 a 2...a n ) E gdw. z 0, z 1,...,z n Z : z 0 S und z n E und z i δ(z i 1, a i ) (1 i n). gdw. z 0 S z n E : Im Zustandsgraph von M gibt es einen Weg von z 0 nach z n mit Beschriftung a 1 a 2...a n. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 194 / 311

19 Satz 2.16 (Rabin,Scott) Jede von einem NEA akzeptierte Sprache wird auch von einem DEA akzeptiert. Beweis: Sei M = (Z,Σ,δ, S, E) ein NEA. Ziel: Ein DEA M = (Z,Σ,δ, z 0, E ) mit T(M) = T(M ). Potenzmengenkonstruktion: Z := P(Z), z 0 := S, E := { Z Z Z E } δ (Z, a) := δ(z, a) = ˆδ(Z, a) z Z für alle Z Z und a Σ. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 195 / 311

20 Behauptung: T(M) = T(M ). Beweis: ε T(M) gdw. S E gdw. ε T(M ). Sei nun x = a 1...a n Σ +. Dann: x T(M) gdw. ˆδ(S, x) E gdw. Z 1, Z 2,...,Z n Z : δ (S, a 1 ) = Z 1, δ (Z 1, a 2 ) = Z 2,...,δ (Z n 1, a n ) = Z n und Z n E gdw. ˆδ (S, x) E gdw. x T(M ). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 196 / 311

21 Beispiel (Fortsetzung): M : M : 1 0, z 0 z 1 z 2 z 0, z 1, z z 0, z 1 z 0, z z , 1 z 1, z 2 0 z 1 z 2 0, Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 197 / 311

22 Beispiel: L k := { x = x 1...x n {0, 1} x = n k und x n k+1 = 0} NEA N k mit T(N k ) = L k : 0 0, 1 0, 1 0, 1 0, 1 z 0 z 1 z 2... z k 1 z k 0, 1 Sei M = (Q,{0, 1},δ, q 0, E) ein DEA mit T(M) = L k. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 198 / 311

23 Behauptung: Q 2 k. Beweis: Angenommen: Q = {q 0, q 1,...,q r } mit r < 2 k 1. y 1, y 2 {0, 1} k : y 1 y 2 und ˆδ(q 0, y 1 ) = ˆδ(q 0, y 2 ). Sei i die erste Stelle mit y 1 (i) y 2 (i), o.b.d.a. y 1 = u0v 1 und y 2 = u1v 2. Sei w {0, 1} i 1 beliebig. Dann gilt: y 1 w = u0v 1 w, v 1 w = k i + i 1 = k 1 y 1 w L k y 2 w = u1v 2 w, v 2 w = k 1 y 2 w L k. Aber: ˆδ(q 0, y 1 w) = ˆδ(ˆδ(q 0, y 1 ), w) = ˆδ(ˆδ(q 0, y 2 ), w) = ˆδ(q 0, y 2 w). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 199 / 311

24 Satz 2.17 Zu jeder regulären Grammatik G gibt es einen NEA M mit L(G) = T(M). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 200 / 311

25 Beweis: Sei G = (V,Σ, P, S) regulär. Wähle M := (Z,Σ,δ, S, E) mit: Z := V {X} (X neues Zeichen) S := { {S} {S, X} falls (S ε) P E := {X} sonst δ(a, a) := { B (A ab) P} { X (A a) P} für alle A V und a Σ. Dann: ε L(G) gdw. (S ε) P gdw. S E gdw. ε T(M). Für alle n 1 : a 1 a 2...a n L(G) gdw. A 1,...,A n 1 V : S a 1 A 1... a 1 a 2...a n 1 A n 1 a 1...a n gdw. A 1,...,A n 1 V : A 1 δ(s, a 1 ), A 2 δ(a 1, a 2 ),...,X δ(a n 1, a n ) gdw. a 1 a 2...a n T(M). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 201 / 311

26 Folgerung 2.18 Für eine Sprache L sind äquivalent: (1.) L ist regulär. (2.) Es gibt einen DEA M mit L = T(M). (3.) Es gibt einen NEA M mit L = T(M ). Bemerkung: Ist M ein DEA mit L = T(M), so liefert der Beweis oben eine reguläre Grammatik für L, die eindeutig ist. Folgerung 2.19 Keine reguläre Sprache ist inhärent mehrdeutig. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 202 / 311

27 2.2.3 Reguläre Ausdrücke Ausdruck γ Sprache L(γ) (1.) (2.) ε {ε} (3.) a (a Σ) {a} (4.) αβ L(α)L(β) (5.) (α β) L(α) L(β) (6.) (α) (L(α)) Beispiel: (i) regulärer Ausdruck: ( 0 (0 1) 00) Sprache: {0} { w00 w {0, 1} } (ii) Sei A = {x 1, x 2,...,x k }. Dann ist A = L(γ) für γ := (...((x 1 x 2 ) x 3 )... x k ). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 203 / 311

28 Satz 2.20 (Kleene) Die Menge der Sprachen, die durch reguläre Ausdrücke beschrieben werden können, ist genau die Menge der regulären Sprachen. Beweis: : regulären Ausdruck γ NEA M : T(M) = L(γ). Beweis durch Induktion über den Aufbau von γ: (1.) - (3.) γ =, γ = ε oder γ = a : klar. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 204 / 311

29 (4.) γ = αβ : Nach I.V. gibt es NEA M 1, M 2 mit T(M 1 ) = L(α) und T(M 2 ) = L(β). M: a b a, b a, b S(M) := S(M 1 ), E(M) := E(M 2 ), δ(m) := δ(m 1 ) δ(m 2 ) δ M 1 δ M 2 Sonderfall: ε T(M 1 ) : S(M) := S(M 1 ) S(M 2 ) Dann: T(M) = T(M 1 )T(M 2 ) = L(α)L(β) = L(γ). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 205 / 311

30 (5.) γ = (α β) : Nach I.V. gibt es NEA M 1, M 2 mit T(M 1 ) = L(α) und T(M 2 ) = L(β). O.B.d.A.: Z(M 1 ) Z(M 2 ) = M: M 1 M 2 Z(M) := Z(M 1 ) Z(M 2 ) S(M) := S(M 1 ) S(M 2 ) E(M) := E(M 1 ) E(M 2 ) Dann: T(M) = T(M 1 ) T(M 2 ) = L(α) L(β) = L(α β). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 206 / 311

31 (6.) γ = (α) : Nach I.V. gibt es NEA M 1 mit T(M 1 ) = L(α). M: a a M 1 Z(M) := Z(M 1 ) {Z 0 } S(M) := S(M 1 ) {Z 0 } E(M) := E(M 1 ) {Z 0 } Z 0 Dann: T(M) = (T(M 1 )) + {ε} = (T(M 1 )) = (L(α)) = L(γ). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 207 / 311

32 Beispiel: r = ((0 1) 00) A {0} : A {1} : A 0 1 : A 00 : A (0 1) : Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 208 / 311

33 A r : ˆ1 0 ˆ2 0 0 ˆ1 ˆ2 Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 209 / 311

34 : DEA M regulären Ausdruck γ : T(M) = L(γ). Sei M = (Z,Σ,δ, z 1, E) mit Z = {z 1, z 2,...,z n } ein DEA. Definiere für alle i, j {1, 2,...,n}, k {0, 1,...,n}: R k i,j := { x Σ ˆδ(z i, x) = z j und für alle y, z Σ +, x = yz, gilt ˆδ(z i, y) = z s für ein s k } z j1 x 1 j 1 k z j2... x 2 x 3 x m j 2 k R 0 i,j = { a Σ δ(z i, a) = z j } (i j) R 0 i,i = { a Σ δ(z i, a) = z i } {ε} Also: z i R 0 i,j sind endliche Sprachen. z j Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 210 / 311

35 R k+1 i,j = R k i,j R k i,k+1 (Rk k+1,k+1 ) R k k+1,j α k+1 i,j := (α k i,j α k i,k+1 (αk k+1,k+1 ) α k k+1,j ) T(M) = z i E R n 1,i, d.h. für E = {z i1,...,z im } ist γ = (α n 1,i 1 α n 1,i 2... α n 1,i m ). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 211 / 311

36 Beispiel: M: b a 1 a, b 2 R k i,j : i, j {1, 2}, k {0, 1, 2}. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 212 / 311

37 R1,1 0 = {ε, b}, R0 1,2 = {a}, R0 2,1 =, R0 2,2 = {ε, a, b} R1,1 1 = R0 1,1 R0 1,1 (R0 1,1 ) R1,1 0 = {ε, b} {ε, b} {ε, b} {ε, b} = b R 1 1,2 = R0 1,2 R0 1,1 (R0 1,1 ) R 0 1,2 = {a} {ε, b} {ε, b} {a} = b a R 1 2,1 = R0 2,1 R0 2,1 (R0 1,1 ) R 0 1,1 = {ε, b} {ε, b} = R 1 2,2 = R0 2,2 R0 2,1 (R0 1,1 ) R 0 1,2 = {ε, a, b} {ε, b} b a = {ε, a, b} R 2 1,1 = R1 1,1 R1 1,2 (R1 2,2 ) R 1 2,1 = b b a {ε, a, b} = b R 2 1,2 = R1 1,2 R1 1,2 (R1 2,2 ) R 1 2,2 = b a b a {ε, a, b} {ε, a, b} {ε, a, b} = b a {a, b} R 2 2,1 = R1 2,1 R1 2,2 (R1 2,2 ) R 1 2,1 =... = R 2 2,2 = R1 2,2 R1 2,2 (R1 2,2 ) R 1 2,2 = {ε, a, b} {ε, a, b} {ε, a, b} {ε, a, b} = {a, b}. L(M) = R 2 1,2 = b a {a, b} = { b i aw i 0, w {a, b} } = {w {a, b} w a 1 } Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 213 / 311

38 2.2.4 Das Pumping Lemma Satz 2.21 (Pumping Lemma, Lemma von Bar-Hillel, uvw-theorem) Sei L eine reguläre Sprache. Dann gibt es eine positive Zahl n, sodass sich alle Wörter x L mit x n zerlegen lassen als x = uvw, sodass folgende Eigenschaften gelten: (1.) v 1, (2.) uv n, (3.) für alle i = 0, 1, 2,... gilt uv i w L. Beweis: Sei M ein DEA mit T(M) = L. Wähle n := Z, und sei x L mit x n. M : z 0 z 1 z n 1 z n z E x1 x2 xn 1 xn x für x = x 1 x 2...x n x mit x 1,...,x n Σ und x Σ. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 214 / 311

39 Dann gibt es r und s mit 0 r < s n und z r = z s. Dann kann x zerlegt werden als x = uvw mit u = r, 1 v = s r n, ˆδ(z 0, u) = z r, ˆδ(z r, v) = z s = z r, ˆδ(z s, w) = z E. Also gilt: ˆδ(z 0, uv i w) = ˆδ(z r, v i w) = ˆδ(z s, v i 1 w) = ˆδ(z r, v i 1 w) = ˆδ(z s, w) = z E, d.h. uv i w T(M) = L. Beachte: Auch gewisse nicht-reguläre Sprachen erfüllen das Pumping Lemma! Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 215 / 311

40 Beispiel: L = { c m a n b n m, n 0} {a, b}. Später: L ist nicht regulär. Aber: L erfüllt das Pumping Lemma. Sei k := 1, und sei x L mit x k. (i) x {a, b} : klar. (ii) x = c m a n b n mit m 1: Wähle u := ε, v := c, w := c m 1 a n b n. Dann: x = uvw, 1 v, uv = 1 k, uv i w = c i+m 1 a n b n L f.a. i 0. Menge aller Sprachen Sprachen, die das Pumping Lemma erfüllen reguläre Sprachen Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 216 / 311

41 Beispiel 1: Behauptung: L = { a m b m m 1} ist nicht regulär. Beweis indirekt: Angenommen, L ist regulär. Dann erfüllt L das Pumping Lemma, d.h. n N + x L : x n x = uvw : v 1, uv n und uv i w L für alle i 0. Betrachte x := a n b n : x L mit x = 2n > n. Also: x = uvw mit: v 1, uv n und uv i w L für alle i 0. x = a n b n = uvw mit uv n u = a r, v = a s und w = a n s r b n für gewisse Zahlen r, s mit r 0, s 1, r + s n. Dann: uv 0 w = a r a n s r b n = a n s b n L. Widerspruch! Folgerung 2.22 L 3 L 2. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 217 / 311

42 Beispiel 2: Behauptung: L = { 0 m m ist Quadratzahl} ist nicht regulär. Beweis indirekt: Angenommen, L ist regulär. Sei n die Konstante für L aus dem Pumping Lemma. Betrachte x := 0 n2 : x L mit x = n 2 > n. Also: x = uvw mit v 1, uv n und uv i w L für alle i 0. Betrachte das Wort uv 2 w: n 2 = uvw < uv 2 w = uvw + v = n 2 + v n 2 + n < n 2 + 2n+1 = (n+1) 2, d.h. uv 2 w ist keine Quadratzahl, d.h. uv 2 w L. Widerspruch! Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 218 / 311

43 Beispiel 3: Behauptung: L = { 0 p p ist Primzahl} ist nicht regulär. Beweis: siehe Buch. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 219 / 311

44 2.2.5 Äquivalenzrelationen und Minimalautomaten Sei L Σ. Definition 2.23 Die Nerode Relation R L Σ Σ zu L ist definiert durch Lemma 2.24 x R L y gdw. z Σ : (xz L yz L). R L ist eine Äquivalenzrelation auf Σ. Gilt x R L y, so gilt für alle w Σ auch xw R L yw. R L zerlegt Σ (und L) in disjunkte Äquivalenzklassen. Index von R L := Anzahl der Äquivalenzklassen. Satz 2.25 (Myhill, Nerode) Eine Sprache L ist genau dann regulär, wenn der Index von R L endlich ist. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 220 / 311

45 Beweis: : Sei L regulär, und sei M = (Z,Σ,δ, z 0, E) ein DEA mit L = T(M). Definiere R M Σ Σ : x R M y gdw. ˆδ(z 0, x) = ˆδ(z 0, y). Behauptung: R M R L. Beweis: x R M y, und sei z Σ beliebig. Dann: xz L gdw. ˆδ(z0, xz) E gdw. ˆδ(ˆδ(z 0, x), z) E gdw. ˆδ(ˆδ(z 0, y), z) E gdw. ˆδ(z 0, yz) E gdw. yz L. Also: x R L y. Damit: Index(R L ) Index(R M ) Z <. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 221 / 311

46 : Sei der Index von R L endlich. Dann gibt es endlich viele Wörter x 1, x 2,...,x k Σ mit Σ = [x 1 ] [x 2 ]... [x k ]. Definiere DEA M := (Z,Σ,δ, z 0, E) durch: Z := {[x 1 ],...,[x k ]}, z 0 := [ε], E := {[x] x L}, δ([x], a) := [xa] (a Σ). Dann ˆδ([ε], x) = [x] für alle x Σ, d.h. x T(M) gdw. ˆδ(z0, x) E gdw. ˆδ([ε], x) E gdw. [x] E gdw. x L. Äquivalenzklassenautomat Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 222 / 311

47 Beispiel 1: L = { a n b n n 1} Dann: [ab] = L [a 2 b] = {a 2 b, a 3 b 2, a 4 b 3,...} [a 3 b] = {a 3 b, a 4 b 2, a 5 b 3,...}. [a k b] = { a k+i 1 b i i 1} Für i j sind a i b und a j b nicht äquivalent bzgl. R L, d.h. Index(R L ) =. Also: L ist nicht regulär. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 223 / 311

48 Beispiel 2: L = { x {0, 1} x endet mit 00} Dann: [ε] = { x x ended nicht mit 0} [0] = { x x endet mit 0, aber nicht mit 00} [00] = { x x endet mit 00} {0, 1} = [ε] [0] [00], d.h. Index(R L ) = 3. Äquivalenzklassenautomat M für L: [ε] [0] 0 [00] Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 224 / 311

49 Beispiel 3: L = { c m a n b n m 1, n 1 } {a, b} L erfüllt das Pumping Lemma für reguläre Sprachen. [cab] = { c m ab m 1 } [ca 2 b] = { c m a 2 b, c m a 3 b 2, c m a 4 b 3,... m 1 }. [ca k b] = { c m a k+i 1 b i m 1, i 1 } für alle k 3. Insbesondere sind [ca i b] [ca j b] = für alle i j. Damit ist Index(R L ) =, d.h. L ist nicht regulär. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 225 / 311

50 Sei L regulär, sei M ein DEA für L, und sei M 0 der Äquivalenzklassenautomat für L. Dann: R M R L = R M0 Also: Z Z 0 = Index(R L ). Weiter: Ist Z = Z 0, so ist R M = R L, d.h. M und M 0 sind isomorph. Damit: M 0 ist der Minimalautomat für L. Wie erkennt man, ob ein DEA M minimal ist? M ist nicht minimal gdw. z, z Z, z z : x Σ : ˆδ(z, x) E ˆδ(z, x) E. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 226 / 311

51 Algorithmus Minimalautomat Eingabe: DEA M = (Z,Σ,δ, z 0, E) (0.) Entferne alle Zustände, die von z 0 aus nicht erreichbar sind. (1.) Initialisiere Tabelle aller Paare {z, z } mit z z. (2.) Markiere alle Paare {z, z } mit {z, z } E und {z, z } (Z E). (3.) Für jedes noch unmarkierte Paar {z, z } und jedes a Σ teste, ob {δ(z, a),δ(z, a)} markiert ist. Falls ja, markiere auch {z, z }. (4.) Wiederhole (3.), bis keine Änderung der Markierung mehr eintritt. (5.) Für jedes unmarkierte Paar {z, z } werden z und z zu einem Zustand verschmolzen. Ausgabe: Minimalautomat für T(M) Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 227 / 311

52 Beispiel 1: M : z z 1 z z 2 z 3 1 Tabelle: (1.) (2.) (3.) 0, 1 z 1 z 1 z 1 x z 2 z 2 z 2 x z 3 z 3 z 3 x x z 4 z 4 x x x x z 4 x x x x z 0 z 1 z 2 z 3 z 0 z 1 z 2 z 3 z 0 z 1 z 2 z 3 M 0 : z 0 z 1 z 4 (z 2 ) (z 3 ) 0, 1 L(M) = L(M 0 ) = { x x enthält 00}. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 228 / 311

53 Beispiel 2: z 1 z 2 z 3 x x x x x z 3 0 1, 0 0 z 1 1, 0 1 z 4 1, 0 z 0 z z 1, 0 5 z 2 1, 0 1 z 6 z 4 x x x z 5 x x x z 6 x x x z 7 x x x x x x x Also: z 0 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 {z 1, z 2 } und {z 3, z 4, z 5, z 6 }, d.h. 0, 1 z 0 z 1, z 2 z 3, z 4, z 5, z 6 L(M) = L(M min ) = { w {0, 1} w 3 } 0, 1 0, 1 0, 1 z 7 Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 229 / 311

54 Kapitel 2: Automatentheorie und Formale Sprachen Zusammenfassung: Sei L Σ eine Sprache. Dann sind die folgenden Aussagen über L alle äquivalent zueinander: (1.) L ist regulär, d.h. L REG(Σ). (2.) Type 3-Grammatik G: L = L(G). (3.) det. endliche Automaten A: L = T(A). (4.) nicht-det. endliche Automaten B: L = T(B). (5.) regulären Ausdruck r: L = L(r). (6.) Die Nerode-Kongruenz R L hat endlichen Index. Dabei sind die jeweiligen Übergänge effektiv: G B A R L r Ist L regulär, so erfüllt L das Pumping Lemma (Abschnitt 2.2.4). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 230 / 311

55 2.2.6 Abschlusseigenschaften Satz 2.26 Die Klasse der regulären Sprachen ist unter den folgenden Operationen abgeschlossen: Vereinigung, Durchschnitt, Komplement, Produkt, Stern. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 231 / 311

56 Beweis:,, : reguläre Ausdrücke. Komplement: Sei L = T(M) für einen DEA M = (Z,Σ,δ, z 0, E). Dann ist Σ L = T(M ) für den DEA M = (Z,Σ,δ, z 0, Z E). Durchschnitt: L 1 L 2 = Σ ((Σ L 1 ) (Σ L 2 )). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 232 / 311

57 Ein DEA für L 1 L 2 : Sei M i = (Z i,σ,δ i, z (i) 0, E i) ein DEA für L i. Definiere M = (Z,Σ,δ, z 0, E) durch: Z := Z 1 Z 2, z 0 := (z (1) 0, z(2) 0 ), E := E 1 E 2, δ((z 1, z 2 ), a) := (δ 1 (z 1, a),δ 2 (z 2, a)). Dann ist M ein DEA mit T(M) = L 1 L 2. Analog: DEA M mit T(M ) = L 1 L 2. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 233 / 311

58 2.2.7 Entscheidbarkeit Das Wortproblem für eine reguläre Sprache: Gegeben : x Σ. Frage : Liegt x in L? Entscheidbar in linearer Zeit mittels eines DEA. Das Leerheitsproblem für DEA (NEA): Gegeben : DEA (NEA) M. Frage : Ist T(M) =? Entscheidbar: T(M) gdw. ein Endzustand ist von einem Startzustand aus erreichbar. (Quadratischer Aufwand) Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 234 / 311

59 Das Endlichkeitsproblem für reguläre Grammatiken: Gegeben : Grammatik G. Frage : Ist L(G) <? Entscheidbar, denn: Sei n := V + 1. Dann gilt: L(G) = gdw. x L(G) : n x < 2n. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 235 / 311

60 Beweis: : Sei x L(G) mit n x < 2n. Dann x = uvw mit v 1 und uv i w L(G) (i 0). : Sei L(G) =. Sei x L(G) das kürzeste Wort in L(G) mit x n. Angenommen: x 2n x = uvw mit n v 1 und uv i w L(G) (i 0). Dann ist uv 0 w L(G) mit uv 0 w = uw < x. Andererseits: uw x n n. Widerspruch! Teste für alle Wörter x mit n x < 2n, ob x L(G) ist. (Exponentieller Aufwand) Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 236 / 311

61 Endlichkeitsproblem für DEA (NEA): L ist unendlich gdw. z 0 Startzustand z 1 z 2 Endzustand: z 0 z 1 + z 1 z 2. (Polynomieller Aufwand) Das Schnittproblem für reguläre Grammatiken: Gegeben : Grammatiken G 1, G 2. Frage : Ist L(G 1 ) L(G 2 ) =? Entscheidbar: Konstruiere NEA (Grammatik) für L(G 1 ) L(G 2 ), und teste auf Leerheit. (Quadratischer Aufwand) Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 237 / 311

62 Das Äquivalenzproblem für reguläre Grammatiken: Gegeben : Grammatiken G 1, G 2. Frage : Gilt L(G 1 ) = L(G 2 )? Entscheidbar, denn: L(G 1 ) = L(G 2 ) (L(G 1 ) L(G 2 )) (L(G 2 ) L(G 1 )) =. (NP-hart, quadratischer Aufwand für DEA) Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 238 / 311