Grundbegriffe der Informatik Kapitel 3: Mengen, Alphabete, Abbildungen

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1 Grundbegriffe der Informatik Kapitel 3: Mengen, Alphabete, Abbildungen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 1 / 40

2 Überblick Mengen Alphabete Relationen und Abbildungen Mehr zu Mengen GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 2 / 40

3 Entschlüsselung der Hieroglyphen GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 3 / 40

4 Entschlüsselung der Hieroglyphen Rosetta-Stein 196 v. Chr. in drei Schriften Hieroglyphen Demotisch Griechisch die gleiche Information commons.wikimedia.org/wiki/file:rosetta_stone_bw.jpeg Jean-François Champollion wesentliche Beiträge zur Entzifferung der ägyptischen Hieroglyphen en.wikipedia.org/wiki/image:jean- Francois_Champollion_2.jpg GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 3 / 40

5 Wo sind wir? Mengen Alphabete Relationen und Abbildungen Mehr zu Mengen GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 4 / 40

6 Menge ein Behälter mit Objekten Beispiel: die Menge, die die Zahlen 1, 2 und 3 enthält und nichts sonst Eine bestimmte Menge kann ein bestimmtes Objekt enthalten oder nicht. hier wird nicht weiter hinterfragt oder erklärt GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 5 / 40

7 Namen als Abkürzungen und Variablen Abkürzung die Menge A, die die Zahlen 1, 2 und 3 enthält und nichts sonst ermöglicht In A ist die 42 nicht enthalten. GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 6 / 40

8 Namen als Abkürzungen und Variablen Abkürzung die Menge A, die die Zahlen 1, 2 und 3 enthält und nichts sonst ermöglicht In A ist die 42 nicht enthalten. sei nun A wie oben Variablen Es sei x ein Objekt, das in A enthalten ist. x kein bestimmtes Objekt Bedeutung etwa Wir nehmen jetzt ein beliebiges Objekt her, das in A enthalten ist. Es ist gleichgültig, welches es ist. Wir nennen es x. Platzhalter, durch jedes konkrete Objekt ersetzbar, das in A ist GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 6 / 40

9 Menge Es sei A eine Menge und x ein Objekt. x ist Element von A, wenn es in A enthalten ist. geschrieben x A Gegenteil x A Es sei x ein Element der Menge A kurz: Es sei x A. Menge eindeutig bestimmt durch die enthaltenen Elemente: es seien A und B zwei Mengen A = B, wenn für jedes Objekt x gilt: wenn x A, dann x B und wenn x B, dann x A. GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 7 / 40

10 Teilmengen es seien A und B zwei Mengen A Teilmenge von B und B Obermenge von A geschrieben A B wenn jedes Element von A auch Element von B folglich: A = B genau dann, wenn A B und B A GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 8 / 40

11 Notation kleiner endlicher Mengen kleine Mengen: Aufzählung aller Elemente in geschweiften Klammern {1, 2, 3, 4, 5, 42, A, B} leere Menge: gar keine Elemente { } oder Achtung {1, 2, 3} = {3, 2, 1} = {1, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3} GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 9 / 40

12 Notation großer Mengen ohne explizite Definition N + = {1, 2, 3, 4,... } und N 0 = {0, 1, 2, 3, 4,... } Pünktchen? set comprehension es sei P (x) eine Aussage für jedes Objekt x wahr oder falsch {x M P (x)} enthält genau die y M, für die P (y) wahr ist falls M klar: {x P (x)} Beispiel: {x N + x ist ohne Rest durch 2 teilbar} GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 10 / 40

13 Vereinigung und Durchschnitt zweier Mengen Es seien A und B zwei Mengen. Vereinigung A B Für jedes Objekt x gilt x A B genau dann, wenn x A oder x B. Beispiel {1, 2, 3} {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} Durchschnitt A B Für jedes Objekt x gilt x A B genau dann, wenn x A und x B. Beispiel {1, 2, 3} {3, 4, 5} = {3} Was ist, wenn eine der Mengen leer ist? disjunkte Mengen: A B = {} GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 11 / 40

14 Eigenschaften von Vereinigung und Durchschnitt Für alle Mengen A, B und C gilt: A A = A und A A = A Idempotenz von und A B = B A und A B = B A Kommutativgesetze für und (A B) C = A (B C) und (A B) C = A (B C) Assoziativgesetze für und (A B) C = (A C) (B C) und (A B) C = (A C) (B C) Distributivgesetze für und A A B und A B A Das kann man alles beweisen. tun wir es in einem Fall... GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 12 / 40

15 Beweis der Idempotenz von Es sei A eine Menge. Zeige: A = A A Wann sind diese beiden Mengen gleich? Wenn 1. A A A Jedes Element x A ist auch Element von A A. 2. A A A Jedes Element x A A ist auch Element von A. GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 13 / 40

16 Beweis der Idempotenz von Es sei A eine Menge. Zeige: A = A A Wann sind diese beiden Mengen gleich? Wenn 1. A A A Jedes Element x A ist auch Element von A A. 2. A A A Jedes Element x A A ist auch Element von A. Beweis von 1. GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 13 / 40

17 Beweis der Idempotenz von Es sei A eine Menge. Zeige: A = A A Wann sind diese beiden Mengen gleich? Wenn 1. A A A Jedes Element x A ist auch Element von A A. 2. A A A Jedes Element x A A ist auch Element von A. Beweis von 1. Es sei x A. beginne mit Voraussetzung GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 13 / 40

18 Beweis der Idempotenz von Es sei A eine Menge. Zeige: A = A A Wann sind diese beiden Mengen gleich? Wenn 1. A A A Jedes Element x A ist auch Element von A A. 2. A A A Jedes Element x A A ist auch Element von A. Beweis von 1. Es sei x A. beginne mit Voraussetzung Also ist x A A. GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 13 / 40

19 Beweis der Idempotenz von Es sei A eine Menge. Zeige: A = A A Wann sind diese beiden Mengen gleich? Wenn 1. A A A Jedes Element x A ist auch Element von A A. 2. A A A Jedes Element x A A ist auch Element von A. Beweis von 1. Es sei x A. beginne mit Voraussetzung Dann ist x A oder x A. einfache logische Schlussfolgerung Also ist x A A. nach Definition von GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 13 / 40

20 Beweis der Idempotenz von Es sei A eine Menge. Zeige: A = A A Wann sind diese beiden Mengen gleich? Wenn 1. A A A Jedes Element x A ist auch Element von A A. 2. A A A Jedes Element x A A ist auch Element von A. Beweis von 2. GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 13 / 40

21 Beweis der Idempotenz von Es sei A eine Menge. Zeige: A = A A Wann sind diese beiden Mengen gleich? Wenn 1. A A A Jedes Element x A ist auch Element von A A. 2. A A A Jedes Element x A A ist auch Element von A. Beweis von 2. Es sei x A A. beginne mit Voraussetzung GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 13 / 40

22 Beweis der Idempotenz von Es sei A eine Menge. Zeige: A = A A Wann sind diese beiden Mengen gleich? Wenn 1. A A A Jedes Element x A ist auch Element von A A. 2. A A A Jedes Element x A A ist auch Element von A. Beweis von 2. Es sei x A A. beginne mit Voraussetzung Also ist x A. GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 13 / 40

23 Beweis der Idempotenz von Es sei A eine Menge. Zeige: A = A A Wann sind diese beiden Mengen gleich? Wenn 1. A A A Jedes Element x A ist auch Element von A A. 2. A A A Jedes Element x A A ist auch Element von A. Beweis von 2. Es sei x A A. beginne mit Voraussetzung Dann ist x A oder x A. nach Definition von Also ist x A. GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 13 / 40

24 Beweis der Idempotenz von Es sei A eine Menge. Zeige: A = A A Wann sind diese beiden Mengen gleich? Wenn 1. A A A Jedes Element x A ist auch Element von A A. 2. A A A Jedes Element x A A ist auch Element von A. Beweis von 2. Es sei x A A. beginne mit Voraussetzung Dann ist x A oder x A. nach Definition von Also ist x A. einfache logische Schlussfolgerung GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 13 / 40

25 Mengendifferenz Es seien A und B zwei Mengen. Mengendifferenz A B A B = {x A x B} Beispiel {1, 2, 3} {3, 4, 5} = {1, 2} A B A B A B B A GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 14 / 40

26 Kardinalität einer Menge ihre Größe Kardinalität einer Menge A die Anzahl ihrer Elemente hier nur für endliche Mengen definiert notiert als A (evtl. card A) Beachte, dass zum Beispiel {1, 2} + {2, 3} = = 4 3 = {1, 2, 3} = {1, 2} {2, 3} Für endliche Menge A ist A nichtnegative ganze Zahl. Bei unendlichen Mengen reden wir nicht über ihre Kardinalität. GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 15 / 40

27 Wo sind wir? Mengen Alphabete Relationen und Abbildungen Mehr zu Mengen GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 16 / 40

28 Alphabet eine endliche nichtleere Menge Alphabet von Zeichen oder Symbolen Was ist ein Zeichen? das hinterfragen wir nicht weiter... elementare Bausteine, aus denen Inschriften zusammengesetzt sind Beispiele: das deutsche Alphabet A = { }, A = {0, 1},... A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} etwas kreativer: A = {1, 0, } gelegentlich etwas abstrakter jeder Kasten ein Zeichen: int adams = 42 ; 1 GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 17 / 40

29 ASCII-Zeichensatz und Unicode zwei wichtige Alphabete in der Informatik ASCII: American Standard Code for Information Interchange u. a. 94 druckbare und ein unsichtbares Zeichen es fehlen z. B. ä, ç, è, ğ, ñ, œ, ß, ů,... Kyrillisch, Japanisch,... Unicode: ein sehr großes Alphabet: Zeichen außerdem u. a. Namen für Zeichen, z. B. latin small letter c with cedilla für ç Sortierreihenfolge von Buchstaben (sprachabhängig) Zuordnung Großbuchstaben Kleinbuchstaben GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 18 / 40

30 ASCII-Zeichensatz 40 ( < 70 F 41 ) = 71 G * > 72 H 33! ? 73 I 34 " 44, J 35 # A 75 K. 84 T 94 ^ 104 h 114 r U 95 _ 105 i 115 s 125 } 86 V j 116 t 126 ~ 87 W 97 a 107 k 117 u 88 X 98 b 108 l 118 v 89 Y 99 c 109 m 119 w. jedes Zeichen hat Nummer druckbare Zeichen zwischen 32 und 126 Leerzeichen an vielen Stellen von Bedeutung GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 19 / 40

31 s syntaktische Gebilde mit genau definierter Struktur From: To: Subject: GBI Klausur WS 2015/2016 Die GBI-Klausur findet am um 14:00 Uhr statt. Spezifikation in RFC 5322 http: //tools.ietf.org/html/rfc Kopf mit Verwaltungsinformationen -Rumpf mit eigentlicher Nachricht nur ASCII-Zeichen erlaubt laut RFC 5322 wirklich GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 20 / 40

32 s syntaktische Gebilde mit genau definierter Struktur From: To: Subject: GBI Klausur WS 2015/2016 Die GBI-Klausur findet am um 14:00 Uhr statt. Spezifikation in RFC 5322 http: //tools.ietf.org/html/rfc Kopf mit Verwaltungsinformationen -Rumpf mit eigentlicher Nachricht nur ASCII-Zeichen erlaubt laut RFC 5322 wirklich Umlaute,...? siehe Kapitel über Codierungen... GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 20 / 40

33 Unicode: Code Points Alphabet A U jedes Zeichen hat einen Code Point nichtnegative ganze Zahl Liste der benutzten Code Points hat Lücken Beziehung zwischen Unicode-Zeichen a A U und nichtnegativen ganzen Zahlen n N 0 Man spricht von einer Relation. GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 21 / 40

34 Wo sind wir? Mengen Alphabete Relationen und Abbildungen Mehr zu Mengen GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 22 / 40

35 Paare anders als Mengen Es seien A und B zwei Mengen und a A und b B Paar (a,b) hat erste Komponente a und zweite Komponente b die beiden Komponenten dürfen gleich sein (1, 1) ist ein Paar Paare (a, b) und (x, y) genau dann gleich, wenn a = x und b = y also (1, 2) (2, 1) GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 23 / 40

36 Kartesisches Produkt zweier Mengen Es seien A und B zwei Mengen. kartesisches Produkt A B A B = {(a,b) a A und b B} GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 24 / 40

37 Kartesisches Produkt zweier Mengen Es seien A und B zwei Mengen. kartesisches Produkt A B A B = {(a,b) a A und b B} Verallgemeinerung mit mehr Mengen z. B. (M 1 M 2 ) M 3 alle Paare der Form ((x 1, x 2 ), x 3 ) mit erster Komponente (x 1, x 2 ) M 1 M 2 und mit zweiter Komponente x 3 M 3 Klammern dürfen wir weglassen M 1 M 2 M 3 = {(x 1, x 2, x 3 ) x 1 M 1 und x 2 M 2 und x 3 M 3 } sogenannte Tripel allgemein? M 1 M 2 M n aber ohne Pünktchen!? GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 24 / 40

38 Kartesische Produkte vieler Mengen definiere für jedes n N + die Menge P n = {i N + i n} Es sei n N + und für jedes i P n eine Menge M i gegeben. Definiere ą i P n M i so: ą M i = M 1 i P 1 ą (ą für jedes n N + : M i = i P n+1 i P n M i ) M n+1 GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 25 / 40

39 Kartesische Produkte vieler Mengen ą M i = M 1 i P 1 ą (ą für jedes n N + : M i = i P n+1 leichtes Rechnen ą (ą M i = i P 2 dann ą (ą M i = i P 3 i P 1 M i i P 2 M i dann ą (ą M i = i P 4 i P 3 M i i P n M i ) M 2 = M 1 M 2 ) M n+1 ) M 3 = (M 1 M 2 ) M 3 ) M 4 = ((M 1 M 2 ) M 3 ) M 4 GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 26 / 40

40 Induktive Definitionen Man definiert zunächst explizit den Fall n = 1 ą i P 1 M i = M 1 dann wie sich aus Definition für den Fall n Definition für den Fall n + 1 ergibt Warum wird für jedes n etwas definiert? GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 27 / 40

41 Induktive Definitionen Man definiert zunächst explizit den Fall n = 1 ą i P 1 M i = M 1 dann wie sich aus Definition für den Fall n Definition für den Fall n + 1 ergibt Warum wird für jedes n etwas definiert? Mathematik: Wenn Menge M nur positive ganze Zahlen enthält und gilt 1. 1 M und 2. für jedes n N + gilt: wenn n M dann n + 1 M dann ist M = N +. GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 27 / 40

42 Kartesisches Produkt einer Menge mit sich selbst Es sei M eine Menge und n N +. M n = ą i P n M. GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 28 / 40

43 Relationen Paare in Beziehung stehender Elemente Unicode: Angabe aller Paare (a, n), für die n N 0 der Code Point von a A U ist (A, 65) (ß, 223) (α, 945) (N, 8469) (, 8704) (, 10799)... GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 29 / 40

44 Relationen Paare in Beziehung stehender Elemente Unicode: Angabe aller Paare (a, n), für die n N 0 der Code Point von a A U ist (A, 65) (ß, 223) (α, 945) (N, 8469) (, 8704) (, 10799)... Für die Menge U aller dieser Paare gilt: U A U N 0. Relation R: Teilmenge R A B genauer binäre Relation von A in B Beispiele: (A, 65) U aber (B, 4711) U GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 29 / 40

45 Abbildungen als spezielle Relationen A B Unicoderelation U A U N 0 hat schöne Eigenschaften: Für jedes a A U existiert (mindestens) ein n N 0 mit (a, n) U. R A B heißt linkstotal, wenn für jedes a A ein b B existiert mit (a,b) R. Für kein a A U gibt es mehrere n N 0 mit (a, n) U. R A B heißt rechtseindeutig, wenn es für kein a A zwei b 1 B und b 2 B mit b 1 b 2 gibt, so dass sowohl (a,b 1 ) R als auch (a,b 2 ) R ist. Relationen, die linkstotal und rechtseindeutig sind, heißen Abbildungen. Schreibweise R : A B. A Definitionsbereich B Zielbereich (a, b) R schreibt man R(a) = b b heißt Funktionswert an der Stelle a Gelegentlich (vorletztes Kapitel) betrachtet man partielle Funktionen: nicht linkstotal, nur rechtseindeutig GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 30 / 40

46 Abbildungen als spezielle Relationen A B Unicoderelation U A U N 0 hat schöne Eigenschaften: Für jedes a A U existiert (mindestens) ein n N 0 mit (a, n) U. R A B heißt linkstotal, wenn für jedes a A ein b B existiert mit (a,b) R. Für kein a A U gibt es mehrere n N 0 mit (a, n) U. R A B heißt rechtseindeutig, wenn es für kein a A zwei b 1 B und b 2 B mit b 1 b 2 gibt, so dass sowohl (a,b 1 ) R als auch (a,b 2 ) R ist. Relationen, die linkstotal und rechtseindeutig sind, heißen Abbildungen. Schreibweise R : A B. A Definitionsbereich B Zielbereich (a, b) R schreibt man R(a) = b b heißt Funktionswert an der Stelle a Gelegentlich (vorletztes Kapitel) betrachtet man partielle Funktionen: nicht linkstotal, nur rechtseindeutig GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 30 / 40

47 Abbildungen als spezielle Relationen Unicoderelation U A U N 0 hat schöne Eigenschaften: Für jedes a A U existiert (mindestens) ein n N 0 mit (a, n) U. R A B heißt linkstotal, wenn für jedes a A ein b B existiert mit (a,b) R. A B Für kein a A U gibt es mehrere n N 0 mit (a, n) U. R A B heißt rechtseindeutig, wenn es für kein a A zwei b 1 B und b 2 B mit b 1 b 2 gibt, so dass sowohl (a,b 1 ) R als auch (a,b 2 ) R ist. Relationen, die linkstotal und rechtseindeutig sind, heißen Abbildungen. Schreibweise R : A B. A Definitionsbereich B Zielbereich (a, b) R schreibt man R(a) = b b heißt Funktionswert an der Stelle a Gelegentlich (vorletztes Kapitel) betrachtet man partielle Funktionen: nicht linkstotal, nur rechtseindeutig GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 30 / 40

48 Spezielle Eigenschaften von Abbildungen injektiv, surjektiv, bijektiv A B Verschiedene Unicodezeichen a 1, a 2 haben immer verschiedene Code Points n 1, n 2 R A B heißt linkseindeutig, wenn für alle (a 1,b 1 ) R und alle (a 2,b 2 ) R gilt: wenn a 1 a 2, dann b 1 b 2. Eine Abbildung, die linkseindeutig ist, heißt injektiv. R A B heißt rechtstotal, wenn für jedes b B ein a A existiert, für das (a,b) R ist. Eine Abbildung, die rechtstotal ist, heißt surjektiv. Abbildung bijektiv, wenn sowohl injektiv als auch surjektiv GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 31 / 40

49 Spezielle Eigenschaften von Abbildungen injektiv, surjektiv, bijektiv A B Verschiedene Unicodezeichen a 1, a 2 haben immer verschiedene Code Points n 1, n 2 R A B heißt linkseindeutig, wenn für alle (a 1,b 1 ) R und alle (a 2,b 2 ) R gilt: wenn a 1 a 2, dann b 1 b 2. Eine Abbildung, die linkseindeutig ist, heißt injektiv. R A B heißt rechtstotal, wenn für jedes b B ein a A existiert, für das (a,b) R ist. Eine Abbildung, die rechtstotal ist, heißt surjektiv. Abbildung bijektiv, wenn sowohl injektiv als auch surjektiv GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 31 / 40

50 Spezielle Eigenschaften von Abbildungen injektiv, surjektiv, bijektiv Verschiedene Unicodezeichen a 1, a 2 haben immer verschiedene Code Points n 1, n 2 R A B heißt linkseindeutig, wenn für alle (a 1,b 1 ) R und alle (a 2,b 2 ) R gilt: wenn a 1 a 2, dann b 1 b 2. Eine Abbildung, die linkseindeutig ist, heißt injektiv. A B R A B heißt rechtstotal, wenn für jedes b B ein a A existiert, für das (a,b) R ist. Eine Abbildung, die rechtstotal ist, heißt surjektiv. Abbildung bijektiv, wenn sowohl injektiv als auch surjektiv GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 31 / 40

51 Definition von Abbildungen immer Definitions- und Zielbereich angeben f : A B Spezifikation von Funktionswerten z. B. so x Ausdruck, in dem x vorkommen darf Name (hier x) für den Wert, auf den Abbildung angewendet wird. oder z. B. so (x, y) Ausdruck, in dem x und y vorkommen dürfen Abbildung wird auf Paar angewendet Namen (x und y) für seine Bestandteile GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 32 / 40

52 Definition von Abbildungen: Beispiel f : N 0 N 0, n n/2, 3n + 1, falls n gerade, falls n ungerade. Namen sind irrelevant das ist die gleiche Abbildung: д : N 0 N 0, x 3x + 1, x/2, falls x ungerade. falls x gerade, GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 33 / 40

53 Zu jeder Abbildung gehören Definitions- und Zielbereich R + 0 : die reellen Zahlen 0 Um die Injektivität einer Abbildung f : A B beurteilen zu können, muss man A kennen: f : R + 0 R+ 0 : x x2 ist injektiv, aber f : R R + 0 : x x2 ist nicht injektiv Um die Surjektivität einer Abbildung f : A B beurteilen zu können, muss man B kennen: f : R + 0 R+ 0 : x x2 ist surjektiv, aber f : R + 0 R : x x2 ist nicht surjektiv Zu einer Abbildung gehören der Definitionsbereich A und der Zielbereich B die Abbildungsvorschrift analog für Relationen GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 34 / 40

54 noch ein kleines bisschen Notation Es sei f : A B und M A f (M) = {b B es gibt ein a M mit f (a) = b} Abkürzung bei set comprehensions statt {b B es gibt ein a mit f (a) = b und P (a)} kurz {f (a) P (a)} damit f (M) = {f (a) a M} GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 35 / 40

55 Wo sind wir? Mengen Alphabete Relationen und Abbildungen Mehr zu Mengen GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 36 / 40

56 Die Elemente einer Menge können selbst Mengen sein Diese Menge enthält sieben Elemente: M = { 1, {2, 3}, 4, 5, 6, {7, 8, 9}, {} } Die Menge { {} } enthält ein Element. GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 37 / 40

57 Potenzmenge einer Menge M alle Teilmengen Es sei M eine Menge. Potenzmenge von M 2 M = {A A M} andere Notation P(M) Beispiel M = {1} 2 {1} = { {}, {1} } Beispiel M = {1, 2, 3}. 2 {1,2,3} = {{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} A 2 M äquivalent zu A M GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 38 / 40

58 Große Vereinigungen und Durchschnitte Es seien I und M zwei Mengen und f : I 2 M. z. B. I = {1, 2} oder I = N 0 oder... schreibe M i statt f (i) definiere M i = {x es gibt ein i I so, dass x M i } i I M i = {x für jedes i I ist x M i } i I für I = {1, 2} ist i I M i = M 1 M 2 i I M i = M 1 M 2 GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 39 / 40

59 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: Alphabete ASCII und Unicode sind wichtige Beispiele binäre Relationen Abbildungen Spezialfälle: injektiv, surjektiv, bijektiv, partiell Das sollten Sie üben: Benutzung der Begriffe Alphabet, Relation, Abbildung Rechnen mit Mengen einfaches Argumentieren GBI Mengen, Alphabete, Abbildungen KIT, Institut für Theoretische Informatik 40 / 40