Automatentheorie und formale Sprachen

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1 Automatentheorie und formale Sprachen Zusammenfassung Kathrin Hoffmann 27. Juni 2012 Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

2 Kontextsensitive Grammatiken und Sprachen Eine Grammatik G = (N, T, S, R) heißt kontextsensitiv wenn alle Regeln die Form u v mit u v haben, d.h. wenn die linke Seite einer Regel ist nie länger als die rechte Seite. Als einzige Ausnahme ist die Regel S ɛ zugelassen, um das leere Wortɛ zu erzeugen. Dann aber darf das Startsymbol S nicht rekursiv sein, d.h. nicht auf der rechten Seite einer Regel auftreten. Eine Regel, deren linke Seite nicht länger ist als die rechte Seite, heißt monoton bezeichnet. Daher heißt eine kontextsensitive Grammatik auch monotone Grammatik. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

3 BSP G = (N, T, S, R) mit T = {a, b, c} N = {S, A, B} R : S asbc axc cb Bc XB bx X b S = asbc = aasbcbc = aaaxcbcbc = aaaxcbbcc = aaaxbcbcc = aaaxbbccc = aaabxbccc = aaabbxccc = aaabbbccc L(G) = {a n b n c n n > 0} Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

4 Aufgabe 57: Geben Sie bitte eine ksg für L = {ww w {a, b, c} } an und leiten dann bitte abcabc ab. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

5 Aufgabe 57: Geben Sie bitte eine ksg für L = {ww w {a, b, c} } an und leiten dann bitte abcabc ab. Tipp: Benutzen Sie pro Terminal als erstes Regeln der Form S xxs. X ist der Indikator dafür, dass noch in der anderen Worthälfte an gleicher Stelle ein x zu setzen ist. Entwerfen Sie nun Regeln, die es erlauben X in die zweite Hälfte des Wortes zu schieben. Wandeln Sie dann die X in die entsprechenden Terminale um. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

6 Lösung von Aufgabe 57 S am a bm b cm c ɛ M a aam a bbm a ccm a E a M b aam b bbm b ccm b E b M c aam c bbm c ccm c E c Nt tn für N {A, B, C} und t {a, b, c} AM a M a a BM a M a b CM a M a c E a a AM b M b a BM b M b b CM b M b c E b b AM c M c a BM c M c b CM c M c c E c c S = am a = abbm a = abbccm a = abcbcm a = abcbm a c = abcm a bc = abcabc Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

7 Turingmaschine 1936 Alan Turing Lösung des Entscheidungsproblems Maschine besteht aus endliche Steuerung/Programm, Lese/Schreibkopf und unendlich langes Band. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

8 Formale Definition einer Turingmaschine Definition Ein Turingmaschine (TM) ist ein Tupel bestehend aus M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, B, F) der endlichen Menge Q von Zuständen, dem Eingabealphabeth Σ, dem Bandalphabet Γ, der Übergangsfunktion δ : Q Σ Γ Q Γ D mit Bewegungsrichtung der Steuerung D = {L, R}, dem Anfangszustand q 0 Q, dem leeren Feld (Blank) B Γ \ Σ und der Menge F Q von Endzuständen. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

9 Beispiel: L(M) = {0 n 1 n n 1} Turingmaschine (TM) M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, B, F) mit der endlichen Menge Q = {q 0, q 1, q 2, q 3, q 4 }, dem Eingabealphabeth Σ = {0, 1}, dem Bandalphabet Γ = {0, 1, X, Y, B}, der Übergangsfunktion δ : Q Σ Γ Q Γ D, dem Anfangszustand q 0 Q, dem leeren Feld (Blank) B Γ \ Σ und der Menge F = {q 4 } Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

10 Beispiel: L(M) = {0 n 1 n n 1} Übergangsfunktion δ : Q Σ Γ Q Γ D mit 0 1 X Y B q 0 (q 1, X, R) - - (q 3, Y, R) - q 1 (q 1, 0, R) (q 2, Y, L) - (q 1, Y, R) - q 2 (q 2, 0, L) - (q 0, X, R) (q 2, Y, L) - q (q 3, Y, R) (q 4, B, R) q Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

11 Chomsky-Hierarchie Reguläre Sprachen Beispiel: L = {a n b m n, m N} Wie werden sie erkannt? Kontextfreie Sprachen: Beispiel: L = {a n b n n N} Wie werden sie erkannt? Kontextsensitive Sprachen: Beispiel: L = {a n b n c n n N} Wie werden sie erkannt? Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

12 Chomsky-Hierarchie Reguläre Sprachen Beispiel: L = {a n b m n, m N} Wie werden sie erkannt? Endliche Automaten Kontextfreie Sprachen: Beispiel: L = {a n b n n N} Wie werden sie erkannt? Kellerautomaten Kontextsensitive Sprachen: Beispiel: L = {a n b n c n n N} Wie werden sie erkannt? Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

13 Aufgabe 58: Gegeben ist die Grammatik G N = (N, D, S, R N ) mit R N :S d 0 dx wobei d 0 {0, 1,.., 9} = D und d {1,.., 9}. X d 0 X ɛ Geben Sie bitte darauf aufbauend eine Grammatik an für die ganzen Zahlen Z die rationalen Zahlen Q und die reellen Zahlen R Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

14 Aufgabe 58: Gegeben ist die Grammatik G N = (N, D, S, R N ) mit R N :S d 0 dx wobei d 0 {0, 1,.., 9} = D und d {1,.., 9}. X d 0 X ɛ Geben Sie bitte darauf aufbauend eine Grammatik an für die ganzen Zahlen Z G Z = (N {V }, D {, +}, V, R N {V S +S S}) die rationalen Zahlen Q und die reellen Zahlen R Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

15 Aufgabe 58: Gegeben ist die Grammatik G N = (N, D, S, R N ) mit R N :S d 0 dx wobei d 0 {0, 1,.., 9} = D und d {1,.., 9}. X d 0 X ɛ Geben Sie bitte darauf aufbauend eine Grammatik an für die ganzen Zahlen Z G Z = (N {V }, D {, +}, V, R N {V S +S S}) die rationalen Zahlen Q G Q = {N {V, Q}, D {, +, /}, Q, R N {V S +S S} {Q V /S V }) und die reellen Zahlen R Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

16 Aufgabe 58: Gegeben ist die Grammatik G N = (N, D, S, R N ) mit R N :S d 0 dx wobei d 0 {0, 1,.., 9} = D und d {1,.., 9}. X d 0 X ɛ Geben Sie bitte darauf aufbauend eine Grammatik an für die ganzen Zahlen Z G Z = (N {V }, D {, +}, V, R N {V S +S S}) die rationalen Zahlen Q G Q = {N {V, Q}, D {, +, /}, Q, R N {V S +S S} {Q V /S V }) und die reellen Zahlen R geht nicht!!! Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

17 Abzählbar Definition Eine Menge M ist abzählbar, falls es eine Funktion f : N M gibt, die surjektiv ist (d. h. alle Elemente aus M kommen als Bildelement vor), oder falls M =. Ist eine Menge nicht abzählbar, so ist sie überabzählbar. BSP: Abzählbare Mengen Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

18 Mächtigkeit der Menge aller Wörter über Σ Satz: Sei Σ ein Alphabet. Es gibt abzählbar unendlich viele Wörter über Σ, d.h. die Menge Σ aller Wörter über Σ hat die Mächtigkeit abzählbar unendlich. Beweis: Σ enthält unendlich viele Elemente: Angenommen, Σ sei endlich. Dann enthält Σ ein Wort w maximaler Länge. Sei a Σ. Dann wa Σ, aber andererseits wa Σ, da Σ nur Wörter der Länge kleiner gleich w enthält und wa > w gilt. Dies ist ein Widerspruch; also ist die Annahme falsch. Σ ist abzählbar unendlich: Standard-Ordnung auf Σ (zunächst ihrer Länge nach und dann bei gleicher Länge lexikographisch) und liefert eine surjektive Abbildung von N Σ Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

19 Alle Sprachen sind abzählbar Satz: Jede Teilmenge M einer abzählbaren Menge M ist auch abzählbar. Beweis: Sei surjektives f : N M gegeben. Definiere f : N M mit f f (n) falls f (n) M (n) = w M sonst Da f surjektiv, werden alle Elemente von M abgedeckt. Dieselben Bildelemente in N decken durch f die Menge M ab. Damit ist f auch surjektiv. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

20 Aufgabe 59: Zeigen Sie, dass Q abzählbar unendlich ist. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

21 Aufgabe 59: Zeigen Sie, dass Q abzählbar unendlich ist. Lösung Wir haben Grammatik G Q für Q. Also ist Q = L(G) Σ, also ist Q abzählbar unendlich. oder 1. Cantorsche Diagonalisierungsverfahren Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

22 Cantorsche Diagonalisierungsverfahren Zweidimensionale Darstellung aller Brüche Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

23 Cantorsche Diagonalisierungsverfahren Zweidimensionale Aufzählung aller Brüche Hausaufgabe 60: Geben Sie bitte die Abbildung f : N Q an, die diese Aufzählung beschreibt. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

24 Mächtigkeit der Menge aller Sprachen über Σ Satz: Sei Σ ein Alphabet. Es gibt überabzählbar viele Sprachen über Σ, d.h. die Mächtigkeit der Menge aller Sprachen über Σ ist überabzählbar unendlich. Der Satz lässt sich mit dem 2. Cantorschen Diagonalverfahren beweisen. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

25 2. Cantorschen Diagonalverfahren für Sprachen Angenommen, die Menge aller Sprachen über Σ sei abzählbar. Sprachen L 1, L 2, L 3,... Σ und Wörtern w j Σ in Standardordnung in folgender Tabelle: w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6... L mit Tabelleneinträgen L falls w j L i L t ij = 0 falls w j L i Diagonale der Tabelle ist die charakteristische Funktion von L d, der Diagonalsprache. L d enthält hier die Wörter w 1, w 3,... L d ist nicht in der Tabelle, denn L d kann keine der L i sein, weil sie in der i-ten Spalte genau dann eine 0 hat, wenn L i dort eine 1 hat, und umgekehrt. WIDERSPRUCH zur Annahme, dass die Menge aller Sprachen über Σ abzählbar ist. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

26 2. Cantorschen Diagonalverfahren für Sprachen Angenommen, die Menge aller Sprachen über Σ sei abzählbar. Sprachen L 1, L 2, L 3,... Σ und Wörtern w j Σ in Standardordnung in folgender Tabelle: w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6... L mit Tabelleneinträgen L falls w j L i L t ij = 0 falls w j L i Diagonale der Tabelle ist die charakteristische Funktion von L d, der Diagonalsprache. L d enthält hier die Wörter w 1, w 3,... L d ist nicht in der Tabelle, denn L d kann keine der L i sein, weil sie in der i-ten Spalte genau dann eine 0 hat, wenn L i dort eine 1 hat, und umgekehrt. WIDERSPRUCH zur Annahme, dass die Menge aller Sprachen über Σ abzählbar ist. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

27 2. Cantorschen Diagonalverfahren für Sprachen Angenommen, die Menge aller Sprachen über Σ sei abzählbar. Sprachen L 1, L 2, L 3,... Σ und Wörtern w j Σ in Standardordnung in folgender Tabelle: w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6... L mit Tabelleneinträgen L falls w j L i L t ij = 0 falls w j L i Diagonale der Tabelle ist die charakteristische Funktion von L d, der Diagonalsprache. L d enthält hier die Wörter w 1, w 3,... L d ist nicht in der Tabelle, denn L d kann keine der L i sein, weil sie in der i-ten Spalte genau dann eine 0 hat, wenn L i dort eine 1 hat, und umgekehrt. WIDERSPRUCH zur Annahme, dass die Menge aller Sprachen über Σ abzählbar ist. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

28 2. Cantorschen Diagonalverfahren für Sprachen Angenommen, die Menge aller Sprachen über Σ sei abzählbar. Sprachen L 1, L 2, L 3,... Σ und Wörtern w j Σ in Standardordnung in folgender Tabelle: w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6... L mit Tabelleneinträgen L falls w j L i L t ij = 0 falls w j L i Diagonale der Tabelle ist die charakteristische Funktion von L d, der Diagonalsprache. L d enthält hier die Wörter w 1, w 3,... L d ist nicht in der Tabelle, denn L d kann keine der L i sein, weil sie in der i-ten Spalte genau dann eine 0 hat, wenn L i dort eine 1 hat, und umgekehrt. WIDERSPRUCH zur Annahme, dass die Menge aller Sprachen über Σ abzählbar ist. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

29 2. Cantorschen Diagonalverfahren für Sprachen Angenommen, die Menge aller Sprachen über Σ sei abzählbar. Sprachen L 1, L 2, L 3,... Σ und Wörtern w j Σ in Standardordnung in folgender Tabelle: w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6... L mit Tabelleneinträgen L falls w j L i L t ij = 0 falls w j L i Diagonale der Tabelle ist die charakteristische Funktion von L d, der Diagonalsprache. L d enthält hier die Wörter w 1, w 3,... L d ist nicht in der Tabelle, denn L d kann keine der L i sein, weil sie in der i-ten Spalte genau dann eine 0 hat, wenn L i dort eine 1 hat, und umgekehrt. WIDERSPRUCH zur Annahme, dass die Menge aller Sprachen über Σ abzählbar ist. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

30 Sprachen mit endlicher Beschreibung überabzählbar viele Sprachen: sehr, sehr viele die meisten dieser Sprachen nicht explizit angebbar, denn keine endliche Beschreibung endliche Beschreibung einer Sprache z.b. ein regulärer Ausdruck, eine Grammatik oder auch eine informelle Beschreibung alle diese endlichen Beschreibungen sind endliche Zeichenfolgen nur abzählbar viele endliche Beschreibungen, denn nur abzählbar viele Wörter über einem Alphabet, also nur abzählbar viele Sprachen mit einer endlichen Beschreibung ganz, ganz wenige gegenüber der überwältigend großen Menge aller Sprachen Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

31 Aufzählbar Definition Eine Menge M ist aufzählbar (auch rekursiv aufzählbar oder semi-entscheidbar) falls es eine surjektive Funktion f : N M gibt, und einen Algorithmus, der es gestattet, für jedes n N den Funktionswert f (n) zu berechnen, oder falls M =. Satz: Die Menge aller Wörter Σ über einem Alphabet Σ ist aufzählbar. Beweis: Wörter können in Standardordnung erzeugt werden Aufgabe 61: : Weshalb heißen aufzählbare Mengen auch semi-entscheidbar? Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

32 Entscheidbar Definition Gegeben sei ein Alphabet Σ. Eine Sprache L Σ heißt entscheidbar, falls es einen abbrechenden Algorithmus, Entscheidungsverfahren genannt, gibt, der für jedes w Σ feststellt, ob w L oder w L BSP: Aufzählbare Sprache, die nicht entscheidbar ist L ASCII L = {xy x ist ein Programm, y ist eine Eingabe, und x stoppt bei der Eingabe von y nach endlich vielen Schritten} Halteproblem!! Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

33 Aufgabe 62: Wahr oder falsch und warum???? 1 Jede Teilmenge einer aufzählbaren Sprache ist aufzählbar. wahr oder 2 Jede Teilmenge einer aufzählbaren Sprache ist abzählbar. wahr oder 3 Jede Teilmenge einer abzählbaren Sprache ist aufzählbar. wahr oder 4 Jede Teilmenge einer abzählbaren Sprache ist abzählbar. wahr oder falsch falsch falsch falsch 5 Jede Teilmenge einer entscheidbaren Sprache ist aufzählbar. wahr oder falsch 6 Jede Teilmenge einer entscheidbaren Sprache ist abzählbar. wahr oder falsch Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

34 Aufgabe 62: Wahr oder falsch und warum???? 1 Jede Teilmenge einer aufzählbaren Sprache ist aufzählbar. X wahr oder X falsch 2 Jede Teilmenge einer aufzählbaren Sprache ist abzählbar. X wahr oder X falsch 3 Jede Teilmenge einer abzählbaren Sprache ist aufzählbar. X wahr oder X falsch 4 Jede Teilmenge einer abzählbaren Sprache ist abzählbar. X wahr oder X falsch 5 Jede Teilmenge einer entscheidbaren Sprache ist aufzählbar. X wahr oder X falsch 6 Jede Teilmenge einer entscheidbaren Sprache ist abzählbar. X wahr oder X falsch Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

35 Vergleich von Grammatiken Falsche Annahme: Je mächtiger, desto mehr Wörter Umfangreichste Sprache Σ für gegebenes Alphabet Σ kann durch reguläre Grammatik beschrieben werden: S as ɛ für alle a Σ Statt dessen: Grenze zwischen Wörter in und außerhalb der Sprache hat einen komplexeren Verlauf Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

36 Mengendiagramm für Sprachen Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

37 Chomsky-Hierarchie mit Ergänzungen Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

38 Zusammenfassung Kontextfreie Grammatiken sind geeignet, Blockstrukturen und richtig geklammerte Ausdrücke zu erzeugen. Reguläre Sprachen sind kontextfrei. Es gibt kontextfreie Sprachen, die nicht regulär sind. Kontextfreie Grammatiken werden zur Syntaxdefinition von Programmiersprachen benutzt. Sie werden üblicherweise in der Backus-Naur-Form notiert. Nicht-deterministische PDAs akzeptieren kontextfreie Sprachen. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

39 Wörter & Sprachen Verkettung, Vereinigung, Komplement, Schnitt, Kleene-Hülle, Spiegelung, Potenz Σ +, Σ, Σ n Typ der Sprache: regulär, kontextfrei, kontextsensitiv, aufzählbar Abgeschlossenheit von Sprachklassen Aufgabe 63: Sei Σ = {a, b, c} das Alphabet. Verketten Sie bitte die beiden Sprachen L 1 = {a, bb, ccc} und L 2 = Σ +. Geben Sie L 1 L 2 formal und als RA an. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

40 Wörter & Sprachen Verkettung, Vereinigung, Komplement, Schnitt, Kleene-Hülle, Spiegelung, Potenz Σ +, Σ, Σ n Typ der Sprache: regulär, kontextfrei, kontextsensitiv, aufzählbar Abgeschlossenheit von Sprachklassen Aufgabe 63: Sei Σ = {a, b, c} das Alphabet. Verketten Sie bitte die beiden Sprachen L 1 = {a, bb, ccc} und L 2 = Σ +. Geben Sie L 1 L 2 formal und als RA an. {av, bbv, cccv v L 2 } und (a + bb + ccc) (a + b + c) + Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

41 Automaten DEA,NEA, ɛ-nea, NKA, DKA Semantik Akzeptierte Sprachen Konfigurationen, erweiterte Zustandsüberführung Äquivalenzen zu anderen Automaten NEA DEA, ɛ-nea DEA, Minimierung reguläre Ausdrücken Grammatiken Abgeschlossenheit Input,Output Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

42 Aufgabe 64: Gegeben der NEA N. 1 Berechnen Sie bitte δ N (q 0, ab). 2 Geben Sie bitte L(N) an. 3 Geben Sie bitte den äquivalenten DEA D an. 4 Berechnen Sie bitte δ D (q 0, ab). Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

43 Lösung von Aufgabe 64 Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

44 Lösung von Aufgabe 64 1 δ N (q 0, ɛ) = {q 0 } δ N (q 0, a) = δ N (q 0, ab) = 2 (ab + ) (a + ɛ) q δ N (q 0,ɛ) q δ N (q 0,a) 3 a b δ N (q, a) = {q 1, q 2 } {q0} {q1, q2} {q1, q2} {q0, q2} {q0, q2} {q1, q2} {q0, q2} δ N (q, b) = δ N (q 1, b) δ N (q 2, b) = {q 0, q 2 } Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

45 Lösung von Aufgabe 64(ff) Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

46 Lösung von Aufgabe 64(ff) 4 δ D ({q 0 }, ab) = δ D ( δ D ({q 0 }, a), b) = δ D (δ D ( δ D ({q 0 }, ɛ)a), b) = δ D (δ D ({q 0 }, a), b) = δ D ({q1, q2}, b) = {q0, q2} Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

47 Aufgabe 65: Minimieren Sie bitte diesen DEA A: Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

48 Aufgabe 65: Minimieren Sie bitte diesen DEA A: Table-Filling q1 X q2 X X q3 X X X q4 X X X q5 X X X q6 X X X X X X q0 q1 q2 q3 q4 q5 Äquivalent sind q4, q5 und q2 Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

49 Reguläre Sprachen und Ausdrücke reguläre Ausdrücke Syntax, Sematik, Äquivalenzen RA zu ɛ-nea rekursiver Aufbau DEA zu RA k-pfade, Eliminierung Abschlusseigenschaften Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

50 Aufgabe 66: Für eine Alphabet Σ, seien zwei reguläre Sprachen gegeben mit L i = L(A i ) für zwei DEAs A i = (Q i, Σ, δ i, q i, F i für i {1, 2}. 1 Konstruieren Sie eine Automaten A, der L 1 L 2 erkennt. 2 Geben Sie dafür ein BSP mit Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

51 Aufgabe 66: Für eine Alphabet Σ, seien zwei reguläre Sprachen gegeben mit L i = L(A i ) für zwei DEAs A i = (Q i, Σ, δ i, q i, F i für i {1, 2}. 1 Konstruieren Sie eine Automaten A, der L 1 L 2 erkennt. 2 Geben Sie dafür ein BSP mit 1 Variante 1: Wir kennen den Automaten für das Komplement und für die Vereinigung. Variante 2: Produktautomat A = A 1 A 2 = (Q 1 Q 2, Σ, δ, (q 1, q 2 ), F 1 F 2 ) mit δ((p 1, p 2 ), a) := δ 1 δ 2 ((p 1, p 2 ), a) = (δ 1 (p 1, a), δ 2 (p 2, a)) Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

52 Lösung von Aufgabe 66 2 Variante 1: Es gilt L 1 L 2 = (L 1 L 2 ). Achtung : Komplementbildung für nur DEAS!! DEA für (L 1 L 2 ): ɛ-nea für (L 1 L 2 ): a {q, q0, p0} {q1, p1} {q1, p3} {q1, p1} {q2, p3} {q2, p0} {q1, p3} {q2, p3} {q2, p3} {q2, p3} {q0, p3} {q0, p3} {q2, p0} {q0, p1} {q0, p3} {q0, p3} {q1, p3} {q1, p3} {q0, p1} {q1, p3} {q1, p0} {q1, p0} {q2, p1} {q2, p3} {q2, p1} {q0, p3} {q0, p0} {q0, p0} {q1, p1} {q1, p3} b Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

53 Lösung von Aufgabe 66 2 Variante 1: Es gilt L 1 L 2 = (L 1 L 2 ). Achtung : Komplementbildung für nur DEAS!! DEA zu (L 1 L 2 ): {q, q0, p0} {q1, p1} {q1, p3} {q1, p1} {q2, p3} {q2, p0} {q1, p3} {q2, p3} {q2, p3} {q2, p3} {q0, p3} {q0, p3} {q2, p0} {q0, p1} {q0, p3} {q0, p3} {q1, p3} {q1, p3} {q0, p1} {q1, p3} {q1, p0} {q1, p0} {q2, p1} {q2, p3} {q2, p1} {q0, p3} {q0, p0} {q0, p0} {q1, p1} {q1, p3} a b Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

54 Lösung von Aufgabe 66 2 Variante 2: A = A 1 A 2 = (Q 1 Q 2, Σ, δ, (q 1, q 2 ), F 1 F 2 ) mit δ((p 1, p 2 ), a) := δ 1 δ 2 ((p 1, p 2 ), a) = (δ 1 (p 1, a), δ 2 (p 2, a)) Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

55 Pumping-Lemma (für reguläre Sprachen) Pumping Lemma Sei L eine reguläre Sprache. Dann gibt es eine natürliche Zahl p N, (die so genannte PL-Konstante) so dass jedes Wort w L mit w p zerlegt werden kann in w = xyz mit xy p y ɛ xy i z L für alle i N Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

56 Chomsky-Grammatiken Terminale und Nonterminale (Symbole), Regeln Regeln Aufgabe 67: Wie sind Regeln u v definiert für regulär: kontextfrei: kontext-sensitiv: Ableitungen Abschlusseigenschaften Chomsky-Hierarchie Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

57 Chomsky-Grammatiken Terminale und Nonterminale (Symbole), Regeln Regeln Aufgabe 67: Wie sind Regeln u v definiert für regulär: links ein Nonterminal, rechts höchstens ein Nonterminal, und dann ganz rechts kontextfrei: links ein Nonterminal, rechts ist alles erlaubt kontext-sensitiv: links kürzer als rechts, ausser S ɛ für nicht-rekursive S Ableitungen Abschlusseigenschaften Chomsky-Hierarchie Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

58 Aufgabe 68: 1 Geben Sie eine Grammatik an, die weder regulär noch kontextfrei ist, und die L = {a n n teilbar durch 3} erzeugt. 2 Seien C eine kontextfreie und R eine reguläre Sprache. Ist C R kontextfrei oder regulär? Warum? Geben Sie bitte eine Beweisidee an. 3 Zeigen Sie, dass L = {w w {a, b, c} enthält gleich viele a s, b s und c s} nicht kontextfrei ist. PL für kfg s oder unter Verwendung von 2. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

59 Lösung von Aufgabe 68 1 S aaas ɛ XCX, CX CX 2 Produktautomat zwischen NKA und DEA: Sei K = (Q, Σ, Γ, δ K, q 0, Z, F K ) mit L(K ) = Cund D = (P, Σ, δ D, p 0, F D ) mit L(D) = R, dann erkennt der NKA P = (Q P, Σ, Γ, δ, (q 0, p 0 ), F K F D ) mit δ((q, p), a, X) = {((q, δ D (p, a)), α) (q, α) δ K (q, a, X)} Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

60 Lösung von Aufgabe 68 3 L = {w w {a, b, c} enthält gleich viele a s, b s und c s} PL für kfg: L sei kontextfrei, also gilt das Pumping-Lemma. Sei z = a p b p c p, dann z L und z p. vwx enthält höchstens zwei unterschiedliche Zeichen, denn vwx p. Weil vx ɛ, wird durch das Löschen von v und x für ein oder zwei Zeichen der Exponent erniedrigt, aber für den dritten auf jeden Fall nicht, also uv 0 wx 0 y = uwy L. Widerspruch zur Aussage des Pumping-Lemmas. Es gilt L {a i b j c k i, j, k 0} = {a n b n c n n 0}, wobei {a i b j c k i, j, k 0} offensichtlich regulär und {a n b n c n n 0} bekanntermaßen nicht kontextfrei ist. Wegen ➋ kann dann L nicht kontextfrei sein. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

61 Viel Erfolg bei der Klausur!! Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen